Andrea Beggi Il Calcolo Combinatorio
Il Calcolo Combinatorio
Docente: Beggi Andrea
Classe: 4AES
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Il Calcolo Combinatorio, Schemes and Mind Maps of Economics
Un'introduzione approfondita al calcolo combinatorio, partendo dalla definizione e dalle proprietà dei numeri fattoriali, per poi passare alla classificazione dei raggruppamenti (disposizioni, permutazioni e combinazioni, con e senza ripetizione) e alle relative formule di calcolo. Vengono inoltre affrontati i raggruppamenti composti e vincolati, con esempi e approfondimenti sui problemi complessi e sui 'cambiamenti di prospettiva' nella risoluzione. Una solida base teorica e pratica per comprendere e applicare i concetti chiave del calcolo combinatorio, utili in ambiti come la probabilità, la statistica, la matematica discreta e l'informatica.
Typology: Schemes and Mind Maps
2022/2023
1 / 38
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Andrea Beggi
Il Calcolo Combinatorio
Il Calcolo Combinatorio
Docente:
Beggi Andrea Classe:^ 4AES
Andrea Beggi
Il Calcolo Combinatorio
Indice I.^ Premessa: I numeri fattoriali^ –
Definizione e proprietà ricorsiva – Coefficienti binomiali – Approfondimenti: Leggi sui coefficienti binomiali
(facoltativo)
II.^ Introduzione al calcolo combinatorio^ –
Obiettivo: distribuire
n^ oggetti in
k^ posti
-^ Alcuni problemi tipici –^ Classificazione dei raggruppamenti –^ Il problema della scelta multipla III. Le formule del calcolo combinatorio –^ Disposizioni semplici e con ripetizione –^ Permutazioni semplici e con ripetizione –^ Combinazioni semplici e con ripetizione IV. Raggruppamenti speciali –^ Raggruppamenti composti –^ Raggruppamenti vincolati –^ Approfondimento:
Problemi complessi e “cambiamenti di prospettiva”
Andrea Beggi
Il Calcolo Combinatorio
Il Fattoriale^ Definiamo
n fattoriale
(in simboli
n! ) il prodotto di tutti i
numeri naturali da
n^ a 1, in sequenza discendente:
n! =^ n
·( n– 1)·(
n –2)·…·2·
Es:^
ATTENZIONE:
Per convenzione
e per utilità pratica
(lo
vedremo meglio nel seguito) si è deciso che:
Allora, le
due proprietà fondamentali
che consentono di definire il
fattoriale di un numero n
5! sono espresse dalle seguenti leggi:
!^ (^
n^ n^ 0!^1
n = ⋅ − ^ =
Proprietà ricorsivaFattoriale di zero
“Fattoriale di 6” oppure“6 fattoriale”
Andrea Beggi
Il Calcolo Combinatorio
Velocità di crescita^ Come si può notare la
funzione fattoriale
ha
una^ crescita velocissima
, anche
maggiore di
quella esponenziale
(è la funzione a crescita più veloce di tutte quelle che vedremo): 0!^ = 1^
1!^ = 1 2!^ = 2^
3!^ = 6 4!^ = 24^
5!^ = 120 6!^ = 720
7!
= 5040 8!^ = 40320
… Attenzione:
le^ calcolatrici scientifiche meno recenti non sono in grado di calcolareoltre 21! o 22! Quelle più recenti calcolano anche numeri fattoriali più grandi (fino a 69!)ma in forma approssimata, grazie alla
Formula di Stirling: lim^!^
lim^
n^ n n^ n^ n^ n
e^
n π
− →+∞^
Andrea Beggi
Coefficienti Binomiali^ Definiamo i coefficienti binomiali attraverso la cosiddetta^ legge dei tre fattoriali
Simbolo del coeff. binomiale
Valore del
(NON è una frazione!)
coeff. binomiale
Esempio: Attenzione
: la maggior parte dei libri usa una definizione più
contorta ma del tutto equivalente a questa
n^
n k n^ k k^
=^
^
^
!^
6!^ 6 5 4!
6 5^
n k n^ k ^ ^
⋅^ ⋅^
=^
=^
=^
=^ =
^ ^
⋅^ −^
⋅^
⋅^
^
con^0
≤^ k^ ≤^ n
Si legge “n su k”^ n k
Andrea Beggi
Alcune proprietà dei coeff. binomiali^ Legge delle classi complementari:
infatti
n^ Esempio: Legge di ricorrenza: Dimostriamola assieme come se fosse un’identità.
n k^ n
k ^ ^
^ ^
^ −
^ ^
^
[^
]^
[^ ]
!^
!
(^ )!^
(^ )!
(^
)!^!
n^
n
n^
n
n^ k^
k
n^ k^ n
n^ k^
n^ k^ k
^ ^
^
=^
=^
=
^ ^
^
−^
−^ ⋅^ −
−^
−^ ⋅
^ ^
^
8!^
3! 5!^
^ ^
^
=^
=^
^ ^
^
⋅^
^ ^
^
k^ n-k^
k^ n-k^1
n^
n^ n^
k k^
k^ k ^
^ ^
=^ ⋅
^
^ +
^
^
Andrea Beggi
Approfondimento: Triangolo di Tartaglia (1)^ È possibile
calcolare ricorsivamente
il valore dei coefficienti
binomiali utilizzando il cosiddetto
Triangolo di Tartaglia (o
Triangolo di Pascal):
che equivale a
k=^
k=n
Andrea Beggi
Approfondimento: Triangolo di Tartaglia (2)^ La semplicità del calcolo sta nel fatto che nel triangolo di Tartaglia i^ numeri sui lati esterni
valgono tutti
^1 , mentre per i
numeri interni ogni
termine
è uguale alla
somma dei due termini superiori:
Da qui la
legge di Stiefel
(o^ del Triangolo di Tartaglia
n n +1^0 Es:
k^ k +
n
n^
n^
n k^ k
- k ^ ^
^
^
+^
^ ^
^
^ + +
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
+^ = ^ ^
^
^ ^
^ ^
Andrea Beggi
Il Calcolo Combinatorio
II – Introduzione al calcolocombinatorio
Andrea Beggi
Il Calcolo Combinatorio
Il Calcolo Combinatorio: Che cos’è?^ È una branca della matematica che si occupa di^ costruire
e di^ contare
i raggruppamenti di oggetti
.
Risponde alla domanda: In quanti modi posso distribuire n oggetti in k posti? ovverosia, In quanti modi posso costruire un raggruppamentodi k oggetti scelti tra n possibili?
Andrea Beggi
Esempi di problemi di calcolo combinatorio (2) 5.^ Ad una gara olimpica partecipano 10persone: in quanti modi posso formareil podio dei tre vincitori (
°^ , 2°
e
3 °^ classificato)? 6. Quanti gruppi da 3 interrogati possoformare in una classe di 20 persone? 7. Un distributore di caramelle eroga acaso una caramella dal gusto fragola,menta o limone.Se compro 4 caramelle, quanti possibilicasi diversi posso avere?
Andrea Beggi
Classificazione dei raggruppamenti (1)^ La risposta a queste domande dipende dalle regole^ che noi fissiamo sui raggruppamenti:^ –^
Se gli oggetti non si possono ripetere
, il raggruppamento si
dice “ semplice
”, viceversa si dice “
con ripetizione
-^ Se l’ordine
degli oggetti nei k posti conta
, allora il
raggruppamento si dice “
disposizione
” (“ permutazione
nel caso particolare in cui
n = k ), viceversa se l’ordine non
conta il raggruppamento si dice “
combinazione
Discutiamone assieme in riferimento all’esempio 6:chi sono
n^ e^ k
? L’ordine conta? Si possono fare ripetizioni?
Andrea Beggi
Classificazione dei raggruppamenti (3)^ Ciascuna delle
sei casistiche
elencate nella tabella precedente si
risolve applicando una
formula diversa
, che conta il numero di
raggruppamenti possibili. Per poter risolvere un problema di calcolo combinatorio è quindiimportante innanzitutto capire:^ –^ Quali sono gli “
oggetti
” da distribuire e
quanti sono? (cioè
quanto vale
n )
-^ In quanti “
posti ” li vado a distribuire? (cioè^ quanto vale
k )
-^ Conta
l’ordine
degli oggetti all’interno del raggruppamento? ( disposizioni/permutazioni
vs^ combinazioni
-^ Si possono fare
ripetizioni
? (distribuzioni
semplici
vs^ con
ripetizione
Questi dati ci serviranno per scegliere la formula corretta
e per
poterla applicare
nella risoluzione del problema.
È fondamentale capirebene chi sono gli
n oggetti e cosa sono i
k posti^ in cui vado a distribuirli (è laprincipale^ fonte di errore
)
Andrea Beggi
Il problema della
scelta multipla
Questo problema costituisce un valido esempio dei meccanismi di baseper il conteggio dei raggruppamenti. Problema:
Marco ha 3 pantaloni (blu-nero-marrone) e 2 magliette (bianca e rossa): in quanti modi diversi può vestirsi? La soluzione si ottiene facilmente con un diagramma ad albero Giungiamo quindi al seguente risultato:
in presenza di un problema di
scelta multipla, il numero totale di scelte è dato dal prodotto del numerodi modi in cui può essere fatta ciascuna singola scelta:
(^
n° modi per)
n° modi per
n° scelte totali
...
la 1ª scelta
la 2ª scelta ^
^
=^
⋅^
⋅
^
^
^
^
1ª scelta: pantaloni(3 modi)2ª scelta: maglietta(2 modi)
TOT:6 scelte