Matrices Pascal Lainé
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Matrices
Exercice 1.
Pour une matrice à une ligne et une colonne de ℳ1(ℝ) on posera (𝑎)=𝑎.
Soit 𝑋=(𝑥1
𝑥2
𝑥3)∈ℳ3,1(ℝ), soient 𝐴=1
3(6 −2 2
−2 5 0
2 0 7) et 𝑃=1
3(2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2)
1. Calculer 𝑃
𝑡𝑃, en déduire que 𝑃 est inversible et donner 𝑃−1.
2. Calculer 𝐷=𝑃−1𝐴𝑃
3. Calculer 𝑋
𝑡𝐴𝑋
4. On pose 𝑋′=𝑃−1𝑋=(𝑥1′
𝑥2
′
𝑥3
′)
Calculer 𝑋′
𝑡𝐷𝑋′ et montrer que ce réel est strictement positif pour 𝑋′≠(0
0
0)
En déduire que pour tout 𝑋∈ℳ3,1(ℝ),𝑋≠(0
0
0) , 𝑋
𝑡𝐴𝑋≥0.
Indication : on pourra utiliser les questions précédentes.
Allez à : Correction exercice1
Exercice 2.
Soit 𝐴=(1 0
2 1)
1. Exprimer 𝐴𝑛 en fonction de 𝑛. Pour tout 𝑛∈ℕ.
2. Si 𝐴 est inversible, calculer 𝐴−1 et 𝐴𝑛 pour tout 𝑛∈ℤ.
Allez à : Correction exercice2
Exercice 3.
Soit 𝐴=(1 2 3
0 0 1
−1 0 −2)
1. Calculer 𝐴2 et 𝐴3. Calculer 𝐴3+𝐴2+𝐴
2. Exprimer 𝐴−1 en fonction de 𝐴2, 𝐴 et 𝐼3.
CORRECTION
Correction exercice1.
1. 𝑃
𝑡𝑃=1
3(2 2 −1
−1 2 2
2 −1 2)1
3(2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2)=1
9(9 0 0
0 9 0
0 0 9)=(100
010
001)=𝐼
