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Ecole Normale Supérieure A.U. 2022/ Université de Tunis L3 Physique
Cours Physique Statistique_________________________________
Chapitre 2 : Système isolé : Distribution Microcanonique I. Définition d’un système isolé :
C’est un système qui n’échange rien avec l’extérieur, ni énergie, ni matière (dans notre cas ceci correspond à aucune particule échangée). On considère un système ayant une énergie et contenant particules dans un volume.
Figure 1 : chambres a parois isolantes
, et sont fixes pour un système isolé. Ce sont des paramètres fixés de l’extérieur, on dira que ce sont des paramètres extérieurs. Il y a une loi de conservation, donc des grandeurs conservées Il y a aussi des paramètres imposés par la situation du système, ce sont les v ariables internes : grandeurs physiques libres de fluctuer
Le problème est de déterminer les lois de distribution sur les variables internes. Remarque : si le système n’est pas isolé, l’énergie devient une variable interne. II. Distribution Microcanonique
La distribution microcanonique s’applique au cas de systèmes à l’équilibre macroscopique. De plus ces systèmes doivent être des ensembles statistiques constitués d’un grand nombre de systèmes isolés identiques, tous préparés de la même façon du point de vue macroscopique. Ces ensembles sont appelés « ensembles microcanoniques ». L’étude d’un système en situation microcanonique nécessite une description quantique et classique des micro- et macro-état. **_III. Description de l’état quantique d’un système macroscopique
- Généralités :_** Soit un système macroscopique, constitué par un très grand nombre de particules (électrons, atomes, molécules...) peuvent être décrites à partir des lois de la mécanique quantique, en particulier le système peut être décrit par une fonction
d'onde q q 1 , 2 , q 3 ,..., qi ,..., qd .
où i=1,2,3... coordonnées généralisées: position ou rotation.
, , fixes
d: représente le nombre de degré de liberté du système pour un gaz monoatomique composé de N particules d=3N. Cette fonction d'onde est solution de l'équation de Schrödinger qui s'écrit dans une représentation donnée:
2 i (^) t q 1 (^) , q 2 (^) , q 3 (^) ,..., q i ,..., qd , t (^) 2 m V q 1 (^) , q 2 (^) , q 3 (^) ,..., qi ,..., qd , t q 1 (^) , q 2 (^) , q 3 ,..., qi ,..., qd , t
^ ^
^
Si l'ont connait l'état du système en un instant t 0 on peut connaitre son état à toute instant t ultérieur t>t 0. Si l'énergie potentiel V est indépendante du temps:
H q q 1 , 2 , q 3 ,..., qi ,..., qd , t E q q 1 , 2 , q 3 ,..., qi ,..., qd , t
où
2 H (^2) m V q 1 (^) , q 2 (^) , q 3 ,..., qi ,..., qd
1. La loi de distribution des probabilités
On considèrera un mélange statistique d’états stationnaires d’origine quantique. La valeur de l’énergie est définie dans les limites définies par le principe d’indétermination de Heisenberg. Elle vaudra donc : (3)
représente ici l’énergie totale du système étudié La physique quantique dit que l’indétermination sur l’énergie est égale au quotient du quantum d’action par le temps nécessaire à la mesure (on dira « le temps caractéristique de la mesure ») :
(4)
A cette indétermination viennent s’ajouter l’incertitude sur la mesure de l’énergie , due aux limitations mêmes des appareils de mesure, et enfin le fait que les systèmes réels ne soient jamais parfaitement isolés. Au total il y a une incertitude globale sur la connaissance de la valeur de l’énergie, et on écrira :
On va considérer l’état d’énergie telle que :
Soient : = nombre d’états accessibles entre et est la densité d’états correspondante Postulat fondamental de la mécanique statistique : « Pour un système isolé à l’équilibre (macroscopique), tous les états microscopiques accessibles sont équiprobables ».
Evènements certains : ils ont une probabilité égale à 1, soit la probabilité d’un tel évènement. On a :
Ces évènements n’affectent pas non plus la valeur de l’entropie
Montrons que est maximum quand les évènements sont équiprobables :
Soit une liste de évènements recouvrant la totalité des possibilités. Les probabilités associées sont. On a :
D’où :
Existe-t-il une valeur particulière de la probabilité d’un évènement , , telle que :
C’est-à-dire telle que :
Ceci est possible si et seulement si :
La réponse à la question posée est donc oui, s’il y a équiprobabilité des évènements possibles. L’entropie est maximum lorsque les évènements sont équiprobables. Cette hypothèse correspond aussi au maximum d’information. On posera alors Il vient alors :
Où
Soit :
On écrira :
Où est le nombre d’états accessibles d’énergie
2. Entropie microcanonique
a. Définition elle correspond à la distribution microcanonique de probabilité
(8)
Avec il vient :
Considérons particules identiques dans une boite. Soit le nombre des états d’énergie totale inférieure à
Où si sinon Nous ferons seulement une approximation de On admettra que l’énergie de chaque particule peut se mettre sous la forme suivante :
Sachant que est proportionnelle à et en passant des variables aux
variables , il vient :
Avec par définition :
On a :
Et : car est grand
