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Cours de ProbabilitÈ

GE S

Mohamed BELAM

ENSEM UniversitÈ Hassan 2 de Casablanca

Septembre 2023

I ) PrÈrequis - DÈnombrement - ThÈorie des ensembles

1 ) DÈnombrement. Analyse combinatoire

1.1. Principe multiplicatif

Proposition

Soit E une expÈrience qui comporte 2 Ètapes : la 1ere^ a p rÈsultats possibles et la 2eme^ a q rÈsultats. Alors líexpÈrience a p  q rÈsultats possibles.

Exemples

(^1) On jette un dÈ 3 fois successives. Combien y-a-t-il de rÈsultats possibles?

Proposition

Si une expÈrience E consiste ‡ rÈpÈter n fois de faÁon indÈpendante une mÍme expÈrience E 0 qui a p rÈsultats possibles, alors le nombre de rÈsultats de E est : pn^ = p  p 


 p | {z } n fois

1.2. Permutations sans rÈpÈtitions

DÈÖnition

Si Pn est le nombre de permutations de n ÈlÈments alors :

Pn = n!

Exemples

(^1) On a 3 lettres a, b, c; les permutations sont les sous-ensembles ordonnÈs de {a, b, c}

abc acb bac cab cba bca

1.2. Permutations sans rÈpÈtitions

DÈÖnition

Si Pn est le nombre de permutations de n ÈlÈments alors :

Pn = n!

Exemples

(^1) On a 3 lettres a, b, c; les permutations sont les sous-ensembles ordonnÈs de {a, b, c}

abc acb bac cab cba bca

(^2) De combien de maniËre peut-on classer 4 individus? (^3) Une maÓtresse de maison doit placer 6 personnes autour díune table ronde. Combien a-t-elle de possibilitÈs?

1.3. Les arrangements sans rÈpÈtition

DÈÖnition

Un arrangement de p ÈlÈments parmi n est une disposition ordonnÈe sans rÈpÈtition de p ÈlÈments. (une fa∏con de ranger p ÈlÈments pris parmi n en tenant compte de líordre)

Proposition

Le nombre díarrangement de p ÈlÈments parmi n est :

Apn = n! (n p)!

Exemples

(^1) Pour accÈder ‡ une banque de donnÈes, il faut 4 lettres di§Èrentes. Combien de mots de passe peut-on avoir? (^2) 12 candidats se prÈsentent aux Èlections díun conseil díadministration comportant 8 places di§Èrentes. Combien y-a-t-il de listes possibles?

Exemples

(^1) Pour accÈder ‡ une banque de donnÈes, il faut 4 lettres di§Èrentes. Combien de mots de passe peut-on avoir? (^2) 12 candidats se prÈsentent aux Èlections díun conseil díadministration comportant 8 places di§Èrentes. Combien y-a-t-il de listes possibles?

Exemples

(^1) Pour accÈder ‡ une banque de donnÈes, il faut 4 lettres di§Èrentes. Combien de mots de passe peut-on avoir? (^2) 12 candidats se prÈsentent aux Èlections díun conseil díadministration comportant 8 places di§Èrentes. Combien y-a-t-il de listes possibles?

Remarque

Quíest-ce quíun arrangement avec rÈpÈtition de p ÈlÈments parmi n? Cíest une disposition ordonnÈe de p ÈlÈments parmi n avec autant de rÈpÈtition que líon souhaite. Le nombre díarrangements avec rÈpÈtition est de np^.

Exemple

Un code PIN est composÈ de 4 chifres. Combien de codes peut-on former?

1.4. Combinaisons sans rÈpÈtitions

DÈÖnition

Une combinaison de p ÈlÈments parmi n est une disposition non ordonnÈe de p ÈlÈments parmi n. (sous ensembles de p ÈlÈments parmi n )

Remarque

Arrangement : on tient compte de líordre Combinaison : on ne tient pas compte de líordre.

Proposition

Le nombre de combinaisons de p ÈlÈments parmi n est :

C (^) np = n! (n p)!p!

Exemple

Une urne contient 6 boules numÈrotÈes de 1 ‡ 6. On tire 2 boules simultanÈment. Combien peut-on avoir de possibilitÈes?

Remarque

On tire p boules parmi n :

SimultanÈment =) C (^) np. Successivement sans remise =) Apn. Successivement avec remise =) np^.

Exemples

(^1) Pour accÈder ‡ une banque de donnÈes, il faut 4 lettres. Combien de mots de passe peut-on avoir? (^2) 12 candidats se prÈsentent aux Èlections díun conseil díadministration comportant 8 places di§Èrentes. Combien y-a-t-il de listes possibles?

PropriÈtÈs

 C (^) n^0 = C (^) nn = 1 ; C (^) nk = C (^) nn k ; 8 n 2 N ^ ; 8 k 6 n

 C (^) nk+ 1 = C (^) nk ^1 + C (^) nk 8 n 2 N ^ ; 8 k tq 1 6 k 6 n

 (a + b)n^ =

n

k = 0

C (^) nk ak^ bnk^ ; 8 n 2 N (formule du binÙme)

Soient Ω un ensemble, A, B 2 P (Ω)

Appartenance : x 2 Ω : x un ÈlÈment de Ω. Le cas contraire : x 2 / Ω. Inclusion : A  B () 8x 2 A, x 2 B. Le cas contraire : A * B. ComplÈmentaire (Ac^ ou A) : x 2 A () x / 2 A. Union A [ B : x 2 A [ B () x 2 A ou x 2 B. Intersection : A \ B : x 2 A \ B () x 2 A et x 2 B. Di§Èrence : A r B = A \ B : x 2 A r B () x 2 A et x 2 / B.

Remarque

 A [ A = A  A \ A = A

 A [? = A  A ? =?

 si A  B alors A [ B = B  si A  B alors A \ B = A

DÈÖnition

On dit que A et B sont disjoints si et ssi A \ B = ?.

DÈÖnition

Soient Ai 2 P (Ω) , i = 1 , ..., n. On dit que la famille fAi gi = 1 ,...,n. forment une partition de Ω si et ssi :

[^ n

i = 1

Ai = Ω ; 2 ) Ai \ Aj =? 8 i 6 = j.