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| @ | ESCUELA POLITECNICA x % NACIONAL Capitulo 4 Geometria plana I: Rectas Nestor ACEVEDO Conocimientos previos: Para esta clase, necesitardés conocimientos previos de los siguientes capitulos de los cursos anteriores: = (Basico, Cap 6.) Ecuaciones lineales de una sola incégnita. = (Intermedio, Cap 3.) Funciones: grafico de funciones. = (Intermedio, Cap 4.) Sistemas de ecuaciones lineales. iQué es una recta? Una recta es un conjunto infinito de puntos que se mantiene en la misma direccién, es decir, que no presenta curvas. Ademds, una recta se prolonga indefinidamente. Para determinar una recta, solo hace falta conocer dos puntos que estén en esta. A continuacion, tenemos el grafico de la recta que pasa por los puntos A = (1,2) y B = (3,5): 35 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario 4.1. Formas de representar una recta. Existen mds formas de representar una recta, y no solo a través de dos puntos y un dibujo. 4.1.1. Ecuacién cartesiana de la recta Una forma de definir una recta es a través de su ecuacién cartesiana: y=mr+b La recta esta conformada. por todos los pares ordenados (x, 3) tales que verifican su respectiva ecuacién cartesiana. En la ecuacién, a 7m se le conoce como la pendiente de una recta y a b se le conoce como puuto de interseccién con el eje vertical. La pendiente. La pendiente, tal como su nombre lo indica, determina la inclinacién de la recta. Graficamente, podemos entender este concepto de la siguiente forma. Si la pendiente de una recta es mm = 3, esto significa que por cada recuadro que nos movamos hacia la derecha en el eje x, la recta subira 3 recuadros: y y= 32 / 2 xr 1 Si la pendiente es negativa, digamos m = —2, por cada recuadro que nos movamos a la derecha, la recta bajara 2 recuadros: Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. 36 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario Para hallar la pendiente de una recta, podemos hacer uso de la siguiente expresién: — way m > 2-21 donde (x1, 41) y (£2, y2) son las coordenadas de cualquier par de puntos distintos que pertenecen a la recta. Esta expresién nos indica que la pendiente es el cociente entre el movimiento vertical de la recta y el movimiento horizontal de la misma. Por ejemplo, la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (3,5) es: y (1,2) 2 El punto de interseccién El punto de interseccién con el eje y Neva ese nombre, porque es la altura en el eje y por donde cruza la recta. Es decir, el punto ((),)) siempre es parte de la recta: Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. 38 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario Si ya conocemos la pendiente y al menos un punto que pase por la recta, para hallar el valor de 6 tan solo debemos despejarlo de la misma ecuacién cartesiana. Por ejemplo, ya descubrimos que la recta que pasa por los puntos (1,2) y (3,5) tiene pendiente 1m = 5, asi que de momento, su ecuacidn cartesiana se ve asi: = s5a+b, y ae ae pero también sabemos que el punto (1,2) es parte de la recta, por lo que debe verificar la ecuacién: 3 Z gM) +6 1 ae | Esto quiere decir que la recta se interseca con el eje y en el punto (0, 3): Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. 39 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario Si una recta viene representada por la ecuacién general: ax +by+c=0, entonces su pendiente viene dada por: a at y el punto de interseccién con el eje vertical viene dado por: c a Pasar de la forma cartesiana a la forma general es un proceso igual de simple. Recor- demos que la recta que pasa por los puntos (1,2) y (3,5) tiene ecuaci6n cartesiana: 3 i 1 Y— ae a: YD Si pasamos todos los términos al lado izquierdo obtenemos: 3 1 gt ty 5 = y esta es la ecuacién general de la recta. Pero, si no nos gustan las fracciones, podemos multiplicarla por 2 a ambos lados y obtener: 32 +2y—1=0, que sigue siendo la ecuacién general de la misma. recta. 4.1.3. Forma paramétrica de la recta La representacién paramétrica de una recta viene dada por dos ecuaciones: Wagons teR. y=ctdt? En este par de ecuaciones, a, b,c y d son constantes, pero ¢ es variable, y puede tomar el valor de cualquier nttmero real. Esta representacién es util para generar distintos pares ordenados que pertenezcan a la recta. Por ejemplo, si consideramos la siguiente recta teR, w=142t y=-2-t’ Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. 41 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario y ponemos t = 0, obtenemos que r=14+2(0)=1 y=-2-0=-2° Esto quiere decir que el punto (1,—2) pertenece a la recta. Si, en cambio, ponemos t = 2, entonces 2=142(2)=5 {re de donde hemos hallado otro punto, (5, —4), que también pertenece a la recta: y =a En general, podemos darle a t cualquier valor que queramos y, asi, podemos facilmente hallar mas elementos de la recta. 1. Despejamos de la primera de las ecuaciones paramétric: e=atbt —a t= 2. Reemplazamos ¢ en la segunda ecuacién: y=etdt a—a = d y=c+d(*>*) 44, 4 yaprte >. Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. Si queremos hallar la ecuacién cartesiana de una recta que viene en su forma paramétrica, debemos deshacernos del valor de t, utlizando el método de sustitucién. 42 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario Rectas perpendiculares Decimos que dos rectas son perpendiculares cuando si se cruzan, pero, ademas, forman un Angulo de 90° al hacerlo. Para determinar si dos rectas son perpendiculares, uo hace falta sacar el s forman un cién entre pendientes nos de —1. Es graduador. Si conocemos las pendientes, para determinar si las dos rect Angulo de 90°, debemos verificar que la multipli decir, si una recta tiene pendiente mm, una recta perpendicular debe tener pendiente 1 m Por ejemplo, entre las siguientes tres rectas: 3 1 Recta 1: y= =x += Recta 2 2 Recta 3: y = =3r tenemos que la Recta | y laRecta 2 son paralelas, y ambas son perpendiculares a la Recta 3, porque 8 2) 4 3X (3) =-1 Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. 44 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario Recta 2 Recta 1 Ve Recta 3 ee 4.2.2. Interseccién Si dos rectas no son paralelas, entonces comparten un tnico punto entre si. A este punto se lo conoce como el punto de interseccién de las rectas. Para determinar el punto de interseccién entre dos rectas, debemos resolver el sistema de dos ecuaciones y dos incégnitas que generan las dos ecuaciones cartesianas de las rectas. Por ejemplo, si consideramos las rectas: Recta 4: y = 32 +1 Recta 5: y= —a-1 estamos completamente seguros de que no son paralelas, porque sus pendientes son distintas. Entonces, se deben intersecar en algtin punto. Si reemplazamos el valor de Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. 45 CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario litros de laca comprar. A la cantidad de pintura la llamamos z y a la cantidad de laca la denominamos y. Lucia sabe que, para hacer el mural, por lo menos necesita de 30 litros de pintura y 10 de litros de laca. Lo que compre extra de pintura puede usarlo para que el mural quede mas bonito, y lo que compre de sobra de laca le permitiré protegerlo mejor para la posteridad. O bien, podria guardar el dinero que le sobre. Ella debe tomar en cuenta que cada litro de pintura cuesta 8$ y cada litro de laca cuesta 10$. Lucia quiere saber cuanto de pintura y cuanto de laca puede comprar. En verdad, tiene muchas opciones, asi que a continuacién, le ayudaremos a decidir con un grafico. Primero, traduzcamos a términos matematicos nuestra informacién. Sabemos que Lu- cia necesita de al menos 30 litros de pintura, es decir que a > 30. A parte, requiere de al menos 10 litros de laca y > 10. Usemos el plano cartesiano para resolver este problema. Supongamos que un par or- denado (x,y) representa la decisién de comprar z litros de pintura e y litros de laca. Laca 60 50 40 30 a 20 10 x > 30 10 20 30 40 50 60 = 7 } Pintura Todos los pares ordenados a la derecha de la linea azul representan las decisiones en las que Lucia compra al menos 30 litros de pintura. Todos los pares ordenados por encima de la linea roja son las decisiones en las que ella compra al menos 10 litros de laca. En la regién sombreada de morado, que est por encima de la linea roja y a la derecha de la linea azul, tenemos las decisiones en las que ella compra al menos 30 litros de pintura y 10 litros de laca. Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. AT CLAVEMAT - Escuela Politécnica Nacional Prepa Mate - Nivel Preuniversitario Pero estas no eran las tinicas restricciones a las que se enfrentaba Lucia. Ella también tiene que atenerse a un presupuesto. Ella cuenta con 500$ y sabe que cada litro de pin- tura cuesta 8$ y cada litro de laca cuesta 10$, por lo tanto, debe cerciorarse de que su presupuesto sea suficiente: 8a + 10y < 500 iCémo se ve esta desigualdad en el plano? Primero, tracemos la recta definida por la ecuacion: 8x + 10y = 500. Luego, la regidn que representa las decisiones que toman en cuenta el presupuesto es aquella que se encuentra por debajo de la recta. Laca 60 no 30 20 10 8a + 10y 304 ; Pintura 10 20 30 40 50 60 7 Para asegurarnos de que escogimos el lado correcto de la recta, podemos verificar que el punto (0,0), que se encuentra por debajo de la linea, cumple con la restriccién: 8(0) + 10(0) < 500. Finalmente, cuando combinamos nuestras tres restricciones: x > 30, ya} 8a + 10y < 500, obtenemos que nuestro conjunto de soluciones es la regién sombreada de negro, que se encuentra delimitada por las tres rectas que trazamos: Prohibida la reproduccién total o parcial y el uso con fines comerciales de este material. 48 
