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Chapitre 1 : Fonctions polynômes et équations du second degré Mathématiques
Première Spécialité 2023
FICHE D’EXERCICES
Fonctions polynômes et équations du second degré
Exercice n°1 : Pour chaque fonction, déterminer si c’est une fonction polynôme de degré
a) 𝑓
b) 𝑔
1
𝑥
c) ℎ
Exercice n° 2 : Parmi les fonctions ci-dessous, indiquer les fonctions du second degré en
indiquant les coefficients.
a) 𝑓
b) 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1 )(𝑥 − 1 )
c) ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1 )
2
Exercice n°3 : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓
2
1. Développer 𝑓(𝑥). 2. En déduire que 𝑓 est une fonction polynôme de degré 2 et déterminer ses coefficients.
Exercice n° 4 : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓
1. Développer l’expression − 3 (𝑥 − 4 )
2
2. En déduire la forme canonique de 𝑓.
Exercice n° 5 : Déterminer la forme canonique des trinômes suivants :
Exercice n° 6 : Pour chaque fonction, déterminer le tableau de variations et le signe de 𝒂.
Exercice n° 7 : Déterminer le tableau de variations des fonctions suivantes :
Exercice n° 8 : Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
Exercice n° 9 : En fonction d’un paramètre :
Pour quelle valeur de 𝑚 l’équation : 𝑥² − 4 𝑥 + 𝑚 − 1 = 0 admet-elle une racine double?
Calculer cette racine.
Exercice n°16 :
On considère la fonction 𝑃 définie sur ℝ par 𝑃(𝑥) = 2 𝑥² − 4 𝑥 − 30.
1. Calculer 𝑃( 0 ) et en déduire les coordonnées du point d’intersection de la courbe de 𝑃
avec l’axe des ordonnées.
2. a) Déterminer la forme canonique de 𝑃(𝑥).
b) En déduire le tableau de variations de la fonction 𝑃.
3. a) Calculer le discriminant ∆ de ce trinôme.
b) En déduire les solutions de l’équation 2 𝑥
2
c) Résoudre l’inéquation 2 𝑥
2
− 4 𝑥 − 30 ≥ 0 (on pensera à dresser le tableau de signe
de la fonction 𝑃).
Exercice n°1 7 :
Dans un repère orthonormal du plan d’origine 𝑂, on
donne la droite 𝔇 d’équation 𝑦 = 2 𝑥 + 2.
𝑀 désigne un point variable de la droite 𝔇, de
coordonnées
On cherche à déterminer s’il existe un point 𝑀 tel
que le carré de la distance 𝑂𝑀 est minimal et à
déterminer alors ses coordonnées.
1. Montrer que 𝑂𝑀
2
2
2. On désigne par 𝑓 la fonction associant à
l’abscisse 𝑥 du point 𝑀 le nombre réel 𝑂𝑀
2
Calculer les coordonnées du sommet de la
courbe de 𝑓.
3. En déduire la réponse au problème posé. 4. Montrer qu’il existe deux points 𝑀 de la droite 𝔇 tels que 𝑂𝑀 = √
8 et calculer leur
coordonnées.
Exercice n°1 8 : Soit Ω la parabole d’équation : 𝑦 = 𝑥
2
Pour tout réel 𝑚, on appelle 𝐷 𝑚
la droite d’équation : 𝑦 = −𝑚𝑥 − 5
Déterminez les valeurs de 𝑚 pour lesquelles :
𝑚
coupe Ω en un seul point.
𝑚
coupe Ω en deux points distincts.
𝑚
ne coupe pas Ω
Aide : Pour cela, on montrera que le problème revient à résoudre l’équation :
(E) : 𝑥² +
𝑥 + 1 = 0 et on calculera Δ
𝑚
Exercice n°1 9 :
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle tel que : 𝐴𝐵 = 1 et 𝐴𝐷 = 2. 𝐼 est le milieu de [𝐴𝐵].
Pour tout point 𝑀 du segment [𝐴𝐷], on pose 𝐴𝑀 = 𝑥.
1. Quelles valeurs peuvent prendre 𝑥? 2. On pose 𝑓(𝑥) = 𝑀𝐼
2
2
Montrer que 𝑓(𝑥) = 2 𝑥
2
21
4
3. On admet que le triangle IMC est rectangle si
17
4
Déterminez les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le triangle IMC est rectangle.
Exercice n° 20 : Equation du troisième degré :
Soit (𝐸) l’équation définie par :
3
2
1. Montrer que 1 est solution de (𝐸). 2. Montrer que :
3
2
2
3. Résoudre alors l’équation (𝐸).
Exercice n°22 : Optimisation :
On considère un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 et les points 𝐸, 𝐹, 𝐺 et 𝐻 situés respectivement sur les
segments [𝐴𝐵], [𝐵𝐶], [𝐶𝐷] et [𝐷𝐴] tel que 𝐴𝐸 = 𝐵𝐹 = 𝐶𝐺 = 𝐷𝐻.
On pose 𝐴𝐵 = 10 et 𝐵𝐶 = 2 et 𝐴𝐸 = 𝑥.
1. Montrer que la somme des aires des triangles 𝐸𝐵𝐹 et 𝐺𝐷𝐻 est égale à 10 𝑥 − 𝑥
2
2. Montrer que la somme des aires des triangles 𝐻𝐴𝐸 et 𝐹𝐶𝐺 est égale à 2 𝑥 − 𝑥
2
3. On appelle 𝐴(𝑥) l’aire de 𝐸𝐹𝐺𝐻 en fonction de 𝑥.
Montrer que 𝐴
2
− 12 𝑥 + 20. Préciser le domaine de définition de 𝐴.
4. Dresser en justifiant, le tableau de variation de la fonction 𝐴. 5. Résoudre l’inéquation 𝐴
