Download Résolution d'équations du second degré and more Schemes and Mind Maps Mathematics in PDF only on Docsity!
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les équations – inéquations - systèmes page
I
I
I
Equations de 1
ère
degré d’ un seul inconnu – inéquation de 1
ère
degré d’un seul inconnu : ( rappel )
A. Equations de 1
ère
degré d’un seul inconnu :
a. Définition :
Soient a et b de ( avec a 0 ).
Toute équation son écriture se ramène sous la forme suivante x / ax b 0
est appelée
équation du 1
er
degré d’un seul inconnu x de et ses coefficients réels sont a et b.
b. Exemple :
x / 2x 3 5x 12.
x / 2x 3 2x 12.
x / 2 x 3 2x 12
c. Vocabulaire :
Toute sol ution d’ équation est appelée : solution de l’équation ou racine de l’équation ou zéro de
l’équation.
B. – Inéquation de 1
ère
degré d’un seul inconnu :
a. Définition :
Soient a et b de ( avec a 0 ).
Toute inéquation son écriture se ramène sous la forme suivante x / ax b 0 ou
x / ax b 0 ou x / ax b 0 ou x / ax b 0 est appelée inéquation du 1
er
degré
d’un seul inconnu x de et ses coefficients réels sont a et b.
b. Exemple :
x / 2x 3 5x 12.
x / 2x 3 2x 12.
x / 2x 3 2x 12
c. Le signe du binôme du 1
er
degré ax b.
1
er
cas a 0 :
Son signe à l’aide d’un tableau
2
ième
cas a 0 :
Son signe à l’aide d’un tableau
d. Exercice :
Donner le signe des binômes suivants :
1. 2x 7 2. 3x 4 3. 2x 7 3x 4
I
I
I
I
I
I
Equations de 2
ième
degré d’un seul inconnu :
A. Equations de 2
ième
degré d’un seul inconnu
a. Définition :
Soient a et b et c de ( avec a 0 ).
Toute équation son écriture se ramène sous la forme suivante
2
x / ax bx c 0 est appelée
équation du 2
ième
degré d’un seul inconnu x de et ses coefficients réels sont a et b et c.
b
a
x
Casa 0
ax b 0
b
a
x
Casa 0
ax b 0
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les équations – inéquations - systèmes page
b. Exemple :
2
E : x / 2x 4x 6 0 est – ce que 1 est racine de l’équation
E
B. Forme canonique du trinôme de second degré
2
ax bx c
a 0 :
a. Activité :
On considère trinôme de second degré
2
ax bx c
.
Compléter les étapes suivantes :
2
2
2
2
2
ax bx c a
b b .... c
a x 2 x
2a 2a .... a
a x
... 4a
b. Vocabulaire :
L’ écriture
2
2
2
b b 4ac
a x
2a 4a
est appelée la forme canonique du trinôme de second degré
2
ax bx c.
a 0
Le nombre
2
b 4acest appelé le discriminant du trinôme de second
2
ax bx c.
Le nombre
2
b 4ac est appelé aussi le discriminant de l’équation :
2
x / ax bx c 0.
le discriminant
2
b 4acon le note par on écrit
2
b 4ac.
la forme canonique du trinôme de second degré
2
ax bx c on l’écrit :
2 2
2
2 2
b b 4ac b
a x a x
2a 4a 2a 4a
d’où :
2
2
2
b
a x
2a
ax c
4a
bx
c. Exemple :
On considère l’équation suivante
2
E : x / 2x 4x 6 0.
1. Calculer le discriminant de l’équation E.
- Ecrire l’équation on utilise la forme canonique de
2
2x 4x 6
.
3. Résoudre l’équation E.
C. Détermination les solutions de l’équation
2
x / ax bx c 0.
a. Activité :
On a :
2
2
2
ax b
b
a
a
x 0 x
4a
c
(la forme canonique de
2
ax bx c)
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les équations – inéquations - systèmes page
b. Propriété :
Soit l’équation :
2
x / ax bx c 0
avec a 0
et son discriminant
2
b 4ac
.
Si 0 l’équation admet deux solutions distinctes( ou deux racines distinctes ) dans :
1 2
b b
x et x
2a 2a
Si 0 l’équation admet une solution( ou deux racines ) dans :
b
x
2a
(solution double ).
Si 0 l’équation n’a pas de solution (n’a pas de racines ) dans. ( S ).
c. Exercice :
On considère l’équation suivante :
2
E : x / 2x 4x 6 0.
- Calculer discriminant de l’équation
E.
- Donner l’ensemble des solution de l’équation
E.
D. La somme et le produit des racines de l’équation
2
x / ax bx c 0 :
a. Activité :
On considère l’équation suivante
2
x / ax bx c 0 tel qu’il admet deux racines distinctes
1 2
x et x.
- Donner
1 2
x et x en fonction de a et b et c.
- Calculer
1 2
x + x puis
1 2
x x ; puis donner la propriété.
b. Propriété :
Si l’équation
2
x / ax bx c 0
admet deux racines distinctes
1 2
x et x on a :
1 2 1 2
b c
x + x et x x
a a
.
c. Exercice :
On considère l’exercice précédente
2
E : x / 2x 4x 6 0.
- Calculer
1 2
x + x puis
1 2
x x par deux méthodes différentes.
E. Factorisation – signe de trinôme de second degré
2
ax bx c
Factorisation de
2
ax bx c:
a. Activité :
On considère le trinôme de second degré
2
ax bx c.
- Donner son discriminant en fonction de a et b et c.
- Donner la forme canonique de
2
ax bx c.
- D’après le signe de donner la factorisation de
2
ax bx cdans les cas possibles en
utilisant les racines
1 2
x + x .
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les équations – inéquations - systèmes page
b. Propriété :
est le discriminant de l’équation
2
x / ax bx c 0
.
Si 0 l’équation admet deux solutions distincte s
1 2
x et x on a :
2
1 2
ax bx c a x x x x.
Si 0 l’équation admet une solution
1
b
x
2a
on a :
2
2
1
ax bx c a x x.
Si 0 l’équation n’a pas de solution dans on ne peut pas factoriser
2
ax bx c
sous forme de
produit de deux polynômes de 1
er
degré ( deux monômes ).
signe de trinôme de second degré
2
ax bx c:
a. Activité :
On considère le trinôme de second degré
2
ax bx c.
1
er
cas : 0
On a deux racines
1 2
x et x on pose
1 2
x x.
- Donner les racines
1 2
x et x en fonction dea et b et c
- Factoriser
2
ax bx c.
- Compléter le tableau suivant :
- En déduit le signe de
2
ax bx c.
2
ième
cas : 0
On a une racine double
1
x.
- Donner la racine double en fonction de a et b.
- Factoriser
2
ax bx c .
- Compléter le tableau suivant :
- En déduit le signe de
2
ax bx c.
1
x
2
x x
Signe de a Signe de a Signe de a
a
1
x x
2
x x
…. 0 …. 0 ….
1 2
a x x x x
Signe de .... Signe de .... Signe de ....
2
ax bx c
1
x x
a Signe de a Signe de a
2
1
x x
…………. 0 ………….
2
1
a x x
Signe de .... .… Signe de ....
2
ax bx c
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les équations – inéquations - systèmes page
- On considère l’inéquation suivante :
2
I : x, y / 2x 5y 10.
a. Prenez plusieurs points
A x, y quelconque de
1
P puis vérifier est-ce que leurs
coordonnées
x, y sont solutions de l’inéquation
I.
b. Prenez plusieurs points
B x, y
quelconque de
2
P
puis vérifier est-ce que leurs
coordonnées x, y sont solutions de l’inéquation I.
b. Méthode graphique :
Pour résoudre graphique les inéquations :
2
I : x, y / ax by c 0
ou
2
I : x, y / ax by c 0 .
2
I : x, y / ax by c 0 ou
2
I : x, y / ax by c 0.
On suit les étapes suivantes :
On construit la droite d’équation :
D : ax by c 0 dans un plan
P muni d’un
repère
0, i, j.
On place un point
A e,f sur le plan
P tel que :
A e,f D.
On désigne ( arbitrairement ) par
1
P le demi plan de bord
D qui contient
A e,f ,
l’autre demi plan par
2
P.
Si les coordonnées e,fde A vérifie l’inéquation I donc l’ensemble des solutions de
I toutes les coordonnées des points de ce demi plan
1
P fermé (c.à.d. contient la droite
D si l’inéquation
I est écrit avec les symboles ou si non toutes les coordonnées
des points de ce demi plan
1
P ouvert.
Niveau : TRONC COMMUN - Cours les équations – inéquations - systèmes page
Si les coordonnées e,fde A ne vérifie pas l’inéquation I donc l’ensemble des solutions
de I toutes les coordonnées des points de l’autre demi plan
2
P fermé [ avec bien sûr
(c.à.d. contient la droite
D si l’inéquation
I est écrit avec les symboles ou si non
toutes les coordonnées des points de ce demi plan
2
P ouvert ].
I
I
I
V
V
V
Système de deux équations de premières degré à deux inconnues :
a. Déterminants d’un système :
Définition :
On considère le système suivant
2
ax by c
S : x, y /
a' b'y c'
.
Le nombre
a b
ab' a'b
a' b'
est appelé le déterminant du système
S
.
Le nombre
x
c b
cb' c'b
c' b'
est appelé le déterminant pour déterminer x.
Le nombre
x
c b
cb' c'b
c' b'
est appelé le déterminant pour déterminer y.
propriété :
On considère le système suivant
2
ax by c
S : x, y /
a' b'y c'
.
1
er
cas
a b
ab' a'b 0
a' b'
Le système est appelé système de Cramer , le système admet une et une solution c’est le couple
y
x
,
d’où l’ensemble des solutions de Sest
y x
S ,
.
2
ième
cas
a b
ab' a'b 0
a' b'
on a :
a. si
x
ou
y
0 le système n’ pas de solution , , d’où l’ensemble des solutions de SestS
b. si
x
0 et
y
0 le système se ramène a une seule équation ( on prend une par exemple
2
S : x, y / ax by c ) le système a une infinité de solutions. d’où l’ensemble des solutions de
S est
b c
S x, y / y x , x
a a
( si a 0 ) ( sib 0
a c
S x, y / y x , x
b b
).
b. Exercice : Résoudre dans
2
les systèmes suivants on utilise la méthode des déterminants
a.
2x y 3
3x 10y 7
. b.
x 2y 3
3x 6y 9
. c.
x 2y 3
3x 6y 7
