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Slides of the software Derive (basic Algebra), Slides of Mathematics

Universidad Central de Bayamón (UCB)Mathematics

Slides of the software Derive (basic Algebra)

Typology: Slides

Pre 2010

Uploaded on 09/18/2023

carlos-hermosillo-hernandez
carlos-hermosillo-hernandez 🇺🇸

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UniversidaddeValladolid
Cátedra de
Estudios de Género
F. Cabo
B. Llamazares
T. Pe˜na
Introducci´on
EV. Matrices-Det.
Aplicaciones Lin.
Diagonalizaci´on
F. Cuadr´aticas
Utilidades
Pantalla completa
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ALGEBRA LINEAL CON DERIVE 5
Francisco Cabo Garc´ıa
Bonifacio Llamazares Rodr´ıguez
Mar´ıa Teresa Pe˜na Garc´ıa
Dpto. de Econom´ıa Aplicada (Matem´aticas)
Universidad de Valladolid
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UniversidaddeValla EstudiosCátedra de Génerode

F. Cabo B. Llamazares T. Pe˜na Introducci´on EV. Matrices-Det. Aplicaciones Lin. Diagonalizaci´on F. Cuadr´aticas Utilidades Pantalla completa JJ II J I P´agina 1 de 28 Regresar Cerrar

ALGEBRA LINEAL CON DERIVE 5^ ´

Francisco Cabo Garc´ıa Bonifacio Llamazares Rodr´ıguez Mar´ıa Teresa Pe˜na Garc´ıa Dpto. de Econom´ıa Aplicada (Matem´aticas) Universidad de Valladolid

UniversidaddeValla EstudiosCátedra de Génerode

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Ventana de ´Algebra

L´ınea de Edici´on

UniversidaddeValla EstudiosCátedra de Génerode

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Introducci´on

Operadores Fundamentales ̂ (acento) ∗ /

  • −

X : XXXXXz

4 ∗ (3^2 ) = 36

(4 ∗ 3)^2 = 144

Teclado Rat´on Definici´on

sqrt(a) ⇐⇒ Ctrl+q a

a

a

a! a!

inf ∞ ∞

#e ⇔ Ctrl+e ê ln(e) = 1

#i ⇔ Ctrl+i ̂i

pi⇔ Ctrl+p π π = 3. 1416

#eˆa ⇔ exp(a) ⇔ Crtl+eˆa ea

ln(a) ⇔ log(a) ln(a)

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Espacios Vectoriales. Matrices y Determinantes.

  • Definici´on de vectores y matrices
  • Operaciones con matrices
  • Definir un vector a partir de una funci´on
  • Resoluci´on de ecuaciones

UniversidaddeValla EstudiosCátedra de Génerode

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Definici´on de vectores y matrices

  • Definir un vector
    • Editar (Autor) → Vector o el bot´on
    • x := [x 1 ,... , xn]
  • Definir una matriz
    • Editar (Autor) → Matriz o el bot´on
    • A := [a 11 ,... , a 1 n; a 21 ,... , a 2 n;... ; am 1 ,... , amn]
    • A := [[a 1 ,... , an]]. Genera matrices con una ´unica fila

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Operaciones con matrices

  • Suma matricial
    • A + B
  • Producto matricial
    • A ∗ B ⇔ AB Se recuerda que la divisi´on matricial no existe. Al escribir A/B, DERIVE calcula A ∗ B−^1
  • Potencia n-´esima de una matriz
    • Aˆn

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  • Traspuesta de una matriz
    • A‘ (acento grave)
  • Traza de una matriz
    • TRACE(A)
  • Rango de una matriz Sea A ∈ Mm×n, se denomina rango de A por filas (colum- nas) al n´umero m´aximo de vectores fila (columna) linealmente independientes

El rango de A es el orden del mayor menor no nulo de A

  • RANK(A)
  • Matriz identidad de orden n
  • IDENTITY MATRIX(n)

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Definir un vector a partir de una funci´on

Crear un vector cuyos componentes son el resultado de evaluar una funci´on de una variable que sigue una progresi´on aritm´etica:

  • C´alculo → Vector. Antes de usar esta opci´on, la funci´on debe estar seleccionada en la Ventana de Algebra´
  • VECTOR(f, k, m, n, s). En este comando f es la funci´on, k la variables, m el valor inicial, n el valor final y s la raz´on de la progresi´on aritm´etica; es decir, k toma los valores: m, m + s, m + 2s, ... ≤ n. Si m y/o s no aparecen, su valor por defecto es 1

Ejemplo:

[1, 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100] −→ VECTOR(kˆ 2 , k, 1 , 10 , 1 )

[16, 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100] −→ VECTOR(kˆ 2 , k, 4 , 10 , 1 )

[16, 36 , 64 , 100] −→ VECTOR(kˆ 2 , k, 4 , 10 , 2 )

UniversidaddeValla EstudiosCátedra de Génerode

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Resoluci´on de ecuaciones

  • Una ecuaci´on algebraica

Representaci´on gr´afica →^ Ra´ıces de forma aproximada

Sea f una funci´on, al menos de x. La ecuaci´on f = 0 puede resolverse respecto de esta variable de las siguientes formas:

  • Escribir la ecuaci´on y Resolver →Expresi´on o ∗ Algebraico 99K Mediante f´ormulas ∗ Cualquiera 99K Todas las ra´ıces de forma num´erica ∗ Num´erico 99K Una ra´ız en un intervalo determinado ∗ Dominio Real ↔ Complejo
  • SOLVE(f, x). Equivalente al m´etodo Algebraico y el do- minio Complejo
  • APPROX(SOLVE(f, x)). Equivalente al m´etodo Cualquiera y el dominio Complejo

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  • Sistema de Ecuaciones:

Sistema de Ecuaciones Lineales

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2

.............. am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm

    

Sistema de Ecuaciones no Lineales

g 1 (x 1 , x 2 ,... , xn) = b 1 g 2 (x 1 , x 2 ,... , xn) = b 2

........ gm(x 1 , x 2 ,... , xn) = bm

    

Elegir tantas variables a despejar como ecuaciones tenga el sistema

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F. Cabo B. Llamazares T. Pe˜na Introducci´on EV. Matrices-Det. Aplicaciones Lin. Diagonalizaci´on F. Cuadr´aticas Utilidades Pantalla completa JJ II J I P´agina 12 de 28 Regresar Cerrar

  • Sistema de Ecuaciones Lineales
    • Escribir el sistema de ecuaciones como: [a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1 ,... , am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm] o a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1 and... and am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm o a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1 ∧... ∧ am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm hacer clic en el bot´on , seleccionar las m variables a despejar y el m´etodo Algebraico
    • SOLVE(sistema, [xi 1 ,... , xim ]). El 1 er^ argumento recoge el sistema de ecuaciones y el 2o^ las m variables a despejar

Las m ecuaciones no son independientes

Sistema equivalente de menos ecuaciones. Todas independientes.

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F. Cabo B. Llamazares T. Pe˜na Introducci´on EV. Matrices-Det. Aplicaciones Lin. Diagonalizaci´on F. Cuadr´aticas Utilidades Pantalla completa JJ II J I P´agina 13 de 28 Regresar Cerrar

  • Sistema de Ecuaciones no Lineales
    • Escribir el sistema de ecuaciones como: [g 1 (x 1 ,... , xn) = b 1 ,... , gm (x 1 ,... , xn) = bm] o g 1 (x 1 ,... , xn) = b 1 and... and gm (x 1 ,... , xn) = bm o g 1 (x 1 ,... , xn) = b 1 ∧ · · · ∧ gm (x 1 ,... , xn) = bm hacer clic en el bot´on , seleccionar las m variables a despejar y el m´etodo Cualquiera
    • APPROX(SOLVE(sistema, [xi 1 ,... , xim ])). El 1 er^ argumen- to recoge el sistema de ecuaciones y el 2o^ las m variables a despejar

UniversidaddeValla EstudiosCátedra de Génerode

F. Cabo B. Llamazares T. Pe˜na Introducci´on EV. Matrices-Det. Aplicaciones Lin. Diagonalizaci´on F. Cuadr´aticas Utilidades Pantalla completa JJ II J I P´agina 14 de 28 Regresar Cerrar Salir

Aplicaciones Lineales

  • Matrices asociadas a una aplicaci´on lineal Sean U, V espacios vectoriales sobre R, B = {u 1 ,... , un} y B′^ = {v 1 ,... , vm} bases de U y V, respectivamente, y f ∈ L (U, V). La matriz asociada a f en las bases B y B′^ se denota por M (f, B, B′) y se obtiene como:

M (f, B, B′) = (f (u 1 )B′^ | · · · | f (un)B′^ ) ∈ Mm×n(R)

f (x)B′^ = M (f, B, B′) xB

La aplicaci´on

L (U, V) (^) −→Φ Mm×n(R) f 7 −→ M (f, B, B′)

es un isomorfismo

  • Utilidades creadas con DERIVE

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Diagonalizaci´on

  • Endomorfismos y matrices diagonalizables Sean U un espacio vectorial sobre R y f ∈ End (U). f es diagonalizable si y s´olo si existe una base B = {u 1 ,... , un} de U tal que M (f, B, B) es diagonal Sea A ∈ Mn×n(R). A es diagonalizable ⇐⇒ ∃P, D ∈ Mn×n(R), P inversible y D diagonal tal que A = P DP −^1

(f (u 1 )B | · · · | f (un)B) =

   

λ 1 0 0 · · · 0 0 λ 2 0 · · · 0 · · ·...^ ... 0 · · · · · · · · · λn

   

= D

f (u 1 )B = (λ 1 ,... , 0)

.......... f (un)B = (0,... , λn)

⇒ ∀i ∈ 1 ,... , n f (ui) = λiui