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Slides of the software Derive (basic Calculus), Slides of Mathematics

Universidad Central de Bayamón (UCB)Mathematics

Slides of the software Derive (basic Calculus)

Typology: Slides

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UniversidaddeValladolid

Cátedra de

Estudios de Género

F. Cabo

B. Llamazares

T. Pe˜na

L´ımites y contin.

C´alculo diferencial

C´alculo Integral

Utilidades

Pantalla completa

JJ II

P´agina 1de 23

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C´

ALCULO CON DERIVE 5

Francisco Cabo Garc´ıa

Bonifacio Llamazares Rodr´ıguez

Mar´ıa Teresa Pe˜na Garc´ıa

Dpto. de Econom´ıa Aplicada (Matem´aticas)

Universidad de Valladolid

Discover Slides of Mathematics Universidad Central de Bayamón (UCB)

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UniversidaddeValla EstudiosCátedra de Génerode

F. Cabo B. Llamazares T. Pe˜na L´ımites y contin. C´alculo diferencial C´alculo Integral Utilidades Pantalla completa JJ II J I P´agina 1 de 23 Regresar Cerrar

C ´ALCULO CON DERIVE 5

Francisco Cabo Garc´ıa Bonifacio Llamazares Rodr´ıguez Mar´ıa Teresa Pe˜na Garc´ıa

Dpto. de Econom´ıa Aplicada (Matem´aticas) Universidad de Valladolid

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L´ımites y continuidad

Funciones definidas a trozos
Curvas de nivel de una funci´on
L´ımite de una funci´on

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Curvas de nivel de una funci´on

Dada f : D −→ R, con D ⊆ R^2 , se define para cada k ∈ R la curva de nivel k de f como el conjunto

Ck = {(x, y) ∈ D | f (x, y) = k} = f −^1 ({k})

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Curvas de nivel de una funci´on

Dada f : D −→ R, con D ⊆ R^2 , se define para cada k ∈ R la curva de nivel k de f como el conjunto

Ck = {(x, y) ∈ D | f (x, y) = k} = f −^1 ({k})

C´alculo con DERIVE:
- C´alculo → Vector. Antes de usar esta opci´on, la ecuaci´on f (x, y) = k debe estar seleccionada en la Ventana de Algebra; adem´´ as hay que escoger k como variable
- VECTOR(f (x, y) = k, k, m, n, s). Crea un vector cuyas componentes son las curvas de nivel m, m + s, m + 2s,... , hasta el nivel n Antes de dibujar las curvas con el comando PLOT hay que eje- cutar para obtener el vector expl´ıcitamente; o bien asegu- rarnos de que la opci´on Opciones → Simplificar antes de Dibujar est´a activada en la Ventana de Gr´aficas 2D

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L´ımite de una funci´on

Para funciones de una variable:
- Escribir la funci´on y seleccionar la opci´on C´alculo → L´ımites o el bot´on
- LIM(f, x, x 0 ). Calcula el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a x 0
- LIM(f, x, x 0 , 1 ). Calcula el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a x 0 por la derecha
- LIM(f, x, x 0 , − 1 ). Calcula el l´ımite de la funci´on f cuando x tiende a x 0 por la izquierda
Para funciones de dos variables, los l´ımites direccionales se cal- culan con el siguiente comando: - LIM2(f, x, y, x 0 , y 0 ). Calcula el l´ımite direccional cuando (x, y) → (x 0 , y 0 ) a lo largo de l´ıneas rectas de pendiente @1, es decir, a trav´es de cualquier recta que pasa por (x 0 , y 0 )

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C´alculo diferencial

Derivada de una funci´on
Gradiente de una funci´on
Matriz Hessiana
Matriz Jacobiana
Polinomios de Taylor de una funci´on
Funciones impl´ıcitas
Funciones homog´eneas

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Para funciones de varias variables (derivadas parciales):
- Reiterando el proceso el n´umero de veces que sea necesario. Por ejemplo: ∂^4 f ∂x^3 ∂y

(x, y) se obtiene con DIF(DIF(f (x, y), x, 3 ), y, 1 )

Utilizando el comando DIF una sola vez, para lo cual se in- troducen como argumentos dos vectores: el primero contiene las variables respecto a las cuales se va a derivar mientras que el segundo indica el n´umero de veces que se deriva cada una. Por ejemplo: ∂^5 f ∂x^2 ∂y^3

(x, y, z) se obtiene con DIF(f (x, y, z), [x, y], [2, 3])

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Gradiente de una funci´on

Sean f : D −→ R, con D ⊆ Rn, y ¯a ∈

◦ D. Si existen todas las derivadas parciales de f en ¯a, se define el vector gradiente de f en ¯a como

∇f (¯a) =

( (^) ∂f ∂x 1

(¯a),... , ∂f ∂xn

(¯a)

)

C´alculo con DERIVE:
- GRAD(f ). Calcula el vector gradiente de f respecto de las tres variables x, y, z
- GRAD(f, [x 1 , x 2 ,... , xn]). Calcula el vector gradiente de f respecto de las variables x 1 , x 2 ,... , xn. Por ejemplo: GRAD(xˆ2 + yˆ 2 , [x, y]) devuelve el vector [2x, 2 y]

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Matriz Jacobiana

Sean f : D −→ Rm, con D ⊆ Rn, y ¯a ∈

◦ D. Si^ f^ es diferenciable en a¯, la matriz Jacobiana de f en a¯ es la matriz asociada a la diferencial de f en a¯ respecto de las bases can´onicas de Rn^ y Rm:

J f (¯a) = M(df¯a, CRn^ , CRm^ )

Se puede comprobar que

J f (¯a) =

   

∂f 1 ∂x 1 (¯a)^ · · ·^

∂f 1 ∂xn^ (¯a) · · · · · · · · · ∂fm ∂x 1 (¯a)^ · · ·^

∂fm ∂xn^ (¯a)

   

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En consecuencia

df¯a(x 1 ,... , xn) =

   

∂f 1 ∂x 1

(¯a) · · · ∂f^1 ∂xn

(¯a) · · · · · · · · · ∂fm ∂x 1

(¯a) · · · ∂fm ∂xn

(¯a)

   

 

x 1 ... xn

 

C´alculo con DERIVE:
- JACOBIAN(f, [x 1 , x 2 ,... , xn]). Devuelve la matriz Jaco- biana de la funci´on f respecto de las variables x 1 , x 2 ,... , xn. Conviene destacar que f tiene que ser dada a trav´es de un vector. Por ejemplo: Si f (x, y) := xˆ2 + yˆ 2 , entonces hay que escribir JACOBIAN([f (x, y)], [x, y]) Si f (x, y) := [xˆ2 + yˆ 2 , xˆ 2 − y], entonces hay que escribir JACOBIAN(f (x, y), [x, y])

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Funciones de varias variables

Sean f : Rn^ −→ R de clase Cq^ y ¯a ∈ Rn. Se define el polinomio de Taylor de grado q de f en ¯a como:

Pq(¯x) = f (¯a) +

∑^ n i=

∂f ∂xi^ (¯a) (xi^ −^ ai) +

+^1 2!

∑^ n i,j=

∂^2 f ∂xi ∂xj

(¯a) (xi − ai) (xj − aj ) + · · · +

+^1

∑^ n i 1 ,...,iq=

∂qf ∂xi 1 · · · ∂xiq

(¯a) (xi 1 − ai 1 ) · · · (xiq − aiq )

Si q = 2

Pq(¯x) = f (¯a) + ∇f (¯a) (¯x − ¯a) + 12 (¯x − ¯a)t^ Hf (¯a) (¯x − a¯)

C´alculo con DERIVE:
- Utilidad creada con DERIVE

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Funciones impl´ıcitas

Existencia

Sean f : D −→ R, con D ⊆ Rn+1^ abierto y (¯x 0 , y 0 ) ∈ D. Si
1. f ∈ C^1 (D)
2. f (¯x 0 , y 0 ) = 0

∂f ∂y (¯x^0 , y^0 )^6 = 0 entonces se puede garantizar la existencia de una funci´on impl´ıcita g de clase C^1 (D), ´unica, que muestra la dependencia de la variable y respecto de las variables x 1 ,... , xn (y = g(¯x))

Derivaci´on

Bajo las hip´otesis anteriores: ∂g ∂xi

(¯x) = −

∂f ∂xi

(¯x, g(¯x)) ∂f ∂y (¯x, g(¯x))

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Funciones homog´eneas

Sean D ⊆ Rn^ un cono, f : D −→ R y α ∈ R. Se dice que f es homog´enea de grado α si para cualesquiera x¯ ∈ D y λ > 0 se verifica f (λ x¯) = λα^ f (¯x)
C´alculo con DERIVE
- Se halla f (λx 1 ,... , λxn) y se factoriza en funci´on de λ

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Teorema de Euler Si f : Rn^ −→ R es diferenciable, entonces:

f homog´enea de grado α ⇔ x¯·∇f (¯x) = α f (¯x), ∀x¯ ∈ Rn

C´alculo con DERIVE
- Se halla (x 1 ,... , xn) · ∇f (x 1 ,... , xn) f (x 1 ,... , xn) Si el resultado es un n´umero, la funci´on es homog´enea y su grado de homogeneidad es este valor Si el resultado depende de alguna variable, entonces la funci´on no es homog´enea

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C ´ALCULO CON DERIVE 5

+^1