Universit´e Hassan II - F.S.T. Mohammedia
D´epartement de math´ematiques - Ann´ee 2019 - 2020
MIP - Module M112 : Analyse 2.
SERIE 3
Exercice 1. Calculer les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes :
a) Z+∞
0
dx
(1 + ex)(1 + e−x)b) Z+∞
0
e−√x
√xdx c) Z+∞
1
ln x
x2dx d) Z1
0
ln x dx
Exercice 2. D´eterminer la nature des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes :
a) Z+∞
0
1
√xe−√x2+x+1 dx b) Z+∞
0
1 + sin x
1 + √x3
dx
Exercice 3. D´eterminer la nature des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes :
a) Z+∞
1
2x+ 1
p(x−1)(x4+ 1)
dx b) Z1
0
ln x
√1−x
dx c) Z+∞
0
arctan x
xαdx
Exercice 4. Discuter la convergence ou la semi-convergence des int´egrales g´en´eralis´ees sui-
vantes :
a) Z+∞
π/2
sin x
x3/2dx b) Z+∞
π
cos x
√x
Exercice 5.
1. Montrer que les int´egrales I=Zπ/2
0
ln(sin x)dx et J=Zπ/2
0
ln(cos x)dx sont convergentes
et ´egales.
2. En d´eduire que I=1
2Zπ/2
0
ln sin 2x
2dx.
3. Transformer cette derni`ere int´egrales pour trouver la valeur de I.
Exercice 6.
1. Calculer
J=Z+∞
0
t
1 + t4dt
2. Etablir
I=Z+∞
0
dt
1 + t4=Z+∞
0
t2
1 + t4dt
3. En factorisant 1 + t4d´eterminer la valeur de I.
1
