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Année universitaire 2019- Parcours MIP - (M111)
Analyse 1, Série 1 : Nombres Réels
Exercice 1 Soient x et y deux réels. Montrer que :
- |x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y|
- 1 + |xy − 1 | ≤ (1 + |x − 1 |)(1 + |y − 1 |)
Exercice 2 E(x) designe la partie entière du réel x. Montrer les propriétés suivantes :
- ∀x ∈ Z, E(x) + E(−x) = 0 et ∀x ∈ R \ Z, E(x) + E(−x) = − 1.
- ∀x, y ∈ R, E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.
Exercice 3 Déterminer (s'ils existent) les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximun et le minimum des ensembles suivants :
- N; [0, 1] ∩ Q; ]0, 1[∩Q
- A =
1 − (^) n^1 | n ∈ N∗
3. B =
(−1)n^ + (^) n^12 | n ∈ N∗
4. C =
x − y | x ∈]2, 9[, y ∈] − 1 , 10[
Exercice 4 Soient A et B deux parties non vide et bornées de R et x ∈ R. On note : −A =
− a | a ∈ A
; A + B =
a + b | a ∈ A, b ∈ B
; x + A =
x + a | a ∈ A
AB =
ab | a ∈ A, b ∈ B
- Montrer que : sup(−A) = − inf(A), sup(A + B) = sup(A) + sup(B), sup(x + A) = x + sup(A).
- A-t-on toujours sup(AB) = sup(A) ∗ sup(B)? Quelle hypothèse peut-on ajouter pour que cela soit vrai?
Exercice 5
- Rappeler la caractérisation de la borne inférieure d'une partie de R, montrer que
inf{1 + 1 4 n^2 , n ∈ N∗} = 1
- ∀x ∈ R, 0 ≤ E(2x) − 2 E(x) ≤ 1.
- Soit (a, b) ∈ (Q+)^2 , tel que
ab /∈ Q. Montrer que
a + 3
b /∈ Q.
- Démontrer que pour tout réel x, E(x) + E(x + 12 ) = E(2x).
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Analyse 1, Série 2 : Suites
Exercice 1 Calculer, lorsqu'elle existent, les limites suivantes :
a) Un = (^) sinncosn+lnn b) Un = (^1) × 3 ×...π×n(2n+1) c) Un = ln ln^45 × ln ln^67 × ... × (^) lnln(2(2n+1)n) d) Un = E(
√n) n e)^ Un^ =^32 nn^2 +1+1 +^32 nn^2 +1+2 +^ ...^32 nn^2 +1+n f^ )^ Un^ =^ (E(
√n)) 2 n Exercice 2 1. Montrer qu'une suite (Un)n converge vers l ∈ R si et seulement si les deux sous-suites (U 2 n)n et (U 2 n+1)n convergent vers la même limite l.
- Pour n ≥ 1 , on pose Un = ∑n k=
(−1) kk +1. Montrer que la suite (Un)n est convergente.
Exercice 3 Soient (Un)n et (Vn)n deux suites dé nies par Un = ∑n k= k^1! , Vn^ =^ Un^ +^ n^1 !.n.
- Montrer que (Un)n et (Vn)n sont adjacentes.
- En déduire que (Un)n converge vers une limite l.
- Montrer que l /∈ Q. Exercice 4 Soit (Un)n une suite réelle de terme général :
Un = 1 +^12 + ... + n^1 , ∀n ∈ N∗
- Montrer que ∀n ∈ N∗, U 2 n − Un ≥ 12.
- En déduire que (Un)n n'est pas de Cauchy.
- Montrer que (Un) est croissante et conclure (^) n→lim+∞ Un.
Exercice 5 Etudier la convergence des suites (Un)n et (Vn)n dé nies par
U 0 = 1, Un+1 = √Un + 1, ∀n ∈ N { (^) U 0 = 1, Un+1 = 1 + (^) U^1 n , ∀n ∈ N.
Exercice 6 Soit (Un)n une suite croissante de limite l. On pose
Vn = U^1 +^ U^2 n+^ ...^ +^ Un
- Montrer que la suit (Vn)n est croissante.
- Montrer que V 2 n ≥ Un+ 2 Vn.
- Montrer que (^) n→lim+∞ Vn = l.
- Application : (a) Soit (vn)n∈N∗ la suite de terme général : vn =^1 n + (^21) n + (^31) n + .... + (^) n^12 Calculer (^) n→lim+∞ vn.
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Série 3
Exercice 1
- Montrer que pour tout 0 < < 1 , et pour x ∈ IR on a :
|x − 1 | < 4 ⇒ |x^2 + x − 2 | <
- En déduire, en utilisant la dé nition de la limite,
x^ lim→ 1 (x^2 +^ x^ −^ 1)^ et^ lim x→ 1 (x^2 +^ x^ −^ 2)cosx
Exercice 2
Calculer, lorsqu'elle existent, les limites suivantes :
a) lim x→ 0 + xE(x − (^) x^1 ) b) (^) x→lim+∞ xE( (^1) x ) c) lim x→ 03
√x (^2) +1− 1 x^2 d) lim x→ 0
sinx− 12 sin 2 x x^3 e) lim x→ 1 |x|
√x (^2) − 2 x+ x− 1 f^ ) lim x→ 0 xsinx 1 −cosx g) lim x→ 0 xtanx cos^2 x− 1 h) lim x→ 0 tanx−sinx sin^3 ( x 2 )
Exercice 3 1. Trouver les couples (a, b) ∈ IR^2 tels que la fonction f soit continue sur IR dans les cas suivants :
a)f (x) =
sin(ax) x si^ x <^0 1 si x = 0 ebx^ − x si x > 0
b)f (x) =
ax + b si x < 0 ex^ si x ≥ 0
Exercice 4 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue. Montrer que la fonction f (x) = x admet une solution sur α ∈ [0, 1].
Exercice 5 Etudier la dérivabilité sur IR des fonctions suivantes :
f (x) = x|x|, g(x) = (^) 1 +x |x|, h(x) = (^) 1 +^1 |x|.
Exercice 6 Prolonger par continuité en 0 et étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
f (x) =
xlnx, g(x) = e
x (^) − 1 √ x.
Exercice 7 Soit f la fonction réelle dé nie par
f (x) = ex^ si x < 0 , f (x) = 1 si x = 0, f (x) = −x^2 + x + 1 si 0 < x ≤ 1 , f (x) = 1 −^ x x si x > 1.
- Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur IR.
- Montrer qu'il existe c ∈] − 1 , 1[ tel que f ′(c) = e 2 −e^1 , et déterminer les valeurs possibles de c.
Exercice 8 Soit f : [a, b] → IR une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On pose
φ(x) = (f (b) − f (a))x^3 − (b^3 − a^3 )f (x)
Calculer φ(a) et φ(b) et montrer qu'il existe c ∈]a, b[, tel que
3 c^2 (f (b) − f (a)) = (b^3 − a^3 )f ′(c)
Exercice 9 Montrer que :
- ∀x ∈ IR, |sinx| ≤ |x|,
- ∀x ∈ [0, π 2 ], 1 − cosx ≤ xsinx,
- ∀x ∈ IR, ex^ ≥ 1 + x.
Exercice 10 1. Soit α ∈]0, 1[, (a) montrer que pour tout entier naturel n on a α (n + 1)^1 −α^ ≤^ (n^ + 1)
α (^) − nα (^) ≤ α n^1 −α
(b) En déduire (^) n→lim+∞ ∑^ n p=
1 pα^.
- Par application du théorème des accroissements nis à f (x) = lnx sur [n, n+1], montrer que (^) n→lim+∞ ∑^ n k=
1 k = +∞.
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Série 5
Exercice 1 En utilisant la formule de Taylor, calculer le DL 3 (0) de arctanx. Puis calculer le DLn(0) de la fonction f dans les cas ci-dessous :
(1 + 2arctanx)(2ex^ − sin x) n = 3 ; f (x) = (1 + 2x) 1 x^ n = 2 f (x) = 2 +^ arctanxchx , n = 4 ; f (x) = (^) ex x− 1 , n = 3
f (x) = e
√2+cosx , n = 2 ; f (x) = ln(ln(1 + x x)), n = 2
Exercice 2 Caluler le DLn(x 0 ) de la fonction f dans les cas suivants :
- f (x) = cos(x), x 0 = π 2 , n = 3 2) f (x) = ln(x), x 0 = 3, n = 2
- f (x) =
2 e − ex, x 0 = 1, n = 2 4) f (x) =^4
2 − ln(x), x 0 = 1, n = 2
Exercice 3 Calculer la limite en x 0 de la fonction f dans les cas suivants :
- f (x) = x−sinarcsinx (^3) (x) , x 0 = 0 2) f (x) = (^1 1+−xx ) 1 x^ , x 0 = 0
- f (x) = ( (^) sinxshx) x^12 , x 0 = 0
Exercice 4 Etudier à l'in ni : asymptote à la courbe représentative de f , position par rapport à l'asymptote, les fonctions suivantes :
f (x) = x(
x^2 + 1 −
x^2 − 1) f (x) = (x − 1)e x^1 + f (x) = ln(e^2 x^ − ex^ + 3e−^3 x^ + 1)
Solution : Série 3 (Exo 1, 2 et 3)
Exercice 2
On a x-(1/x)-1< E(x-1/x)≤x-(1/x) donc x^2- 1 - x< xE(x-1/x)≤x^2- 1
D’après le T. G, lim xE(x-1/x)=-1 quand x tend vers 0+
