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🎲 RÉVISION EXPRESS — PROBABILITÉS
& STATISTIQUES S
Tableaux récapitulatifs complets | Méthodologie TD | Formules clés
🔢 1. DÉNOMBREMENT — Tableau complet
CONCEPT FORMULE ORDRE? REMISE? QUAND L'UTILISER EXEMPLETYPIQUE (TD)
Factorielle OUI — Compter le nombre de façons d'ordonner objets distincts. Base de tout dénombrement.
Ranger 5 livres sur une étagère :
Permutation simple
OUI SANS Ranger objets tous distincts. Ordre total.
Anagramme de "ABCDE"
Permutation avec répétitions
OUI AVEC (indiscernables)
Objets identiques par groupes. Somme .
Anagramme de "ABBBC" →
Arrangement OUI SANS Ordre compte et pas de remise. Choisir parmi en classant.
Podium ( parmi 8) →
Arrangement avec remise
OUI AVEC Ordre compte ET on peut répéter (code, mot de passe).
Mots de passe 12 car. parmi 62 symboles →
Combinaison NON SANS L'ordre ne compte pas , pas de remise. Équiprobabilité.
Lotto 6/49, comité de 3 parmi 10
n! n! = 1 × 2 × ⋯ ×^ n
n 5!
Pn
Pn = n! (^) n
n^ n! 1!^ n 2! ⋯^ nr!
ni = n 5!3! = 20
Apn
Apn = (^) (n−n!p)! p n A^38 = 336
np
(np)
(np) = (^) p!(nn−!p)!
CONCEPT FORMULE ORDRE? REMISE? QUAND L'UTILISER EXEMPLETYPIQUE (TD)
Combinaison avec répétition
NON AVEC Choix non ordonné avec remise (types d'objets, pas individus).
4 parfums → 10 glaces :
Coefficient multinomial
OUI — Répartir objets en groupes ordonnés de tailles .
EXO 5 : 2 pairs, 3 impairs, 3 min, 4 maj →
📐 2. PROBABILITÉS — Fondamentaux & Conditionnement
CONCEPT FORMULE QUAND L'UTILISER
Équiprobabilité Tous les résultats ont la même chance. Cas favorables / cas possibles.
Probabilité conditionnelle
On a une info partielle : "sachant que B est réalisé".
Probabilités composées
Chaîne d'événements dépendants → arbre de probabilité.
Probabilités totales Univers partitionné en causes/scénarios. On pondère par chaque scénario.
Bayes Inverser une conditionnelle : remonter de l'effet vers la cause.
Indépendance Résultat de A n'influence pas B (et vice versa).
Complément "Au moins un" → 1 - "aucun". Très fréquent!
Union (inclusif) Probabilité que A ou B (ou les deux) se réalise.
📊 3. LOIS DISCRÈTES — Tableau complet
(n+p p −1)
(^1310 ) = 286
k^ n! 1!^ k 2! ⋯^ km!^ n m
ki 277200
P (A) = ||Ω|A|
P (A|B) = P^ P(A (∩BB))
P (⋂ Ai) = P (A 1 ) × P (A 2 |A 1 ) × ⋯
P (B) = ∑i P (B|Ωi)P (Ωi)
P (Ωk|A) = P^ (A|Ω P k()AP)^ (Ωk)
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
P ( A¯) = 1 − P (A)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
CONCEPT FORMULE QUAND L'UTILISER
Fonction de densité (PDF)
,. L'aire sous la courbe = probabilité.
Fonction de répartition (CDF)
. .
Espérance (continue)
Moyenne pondérée par la densité. Linéaire : .
Variance (continue)
Mesure de dispersion. .
Médiane Résoudre.
LOI CONTINUE NOTATION DENSITÉ QUAND L'UTILISER
Uniforme Tous les intervalles de même longueur ont la même probabilité. Équiprobabilité continue.
Exponentielle Temps d'attente, durée de vie, phénomènes sans vieillissement. Sans mémoire : . .
Normale (Gaussienne)
Phénomènes naturels, erreurs de mesure, TCL. La courbe en cloche.
Normale centrée réduite
Standardisation :
. On utilise la table.
🧮 Règles essentielles Loi Normale 68-95-99.7 : , ,
Standardisation : → toujours passer par pour utiliser la table Lecture table :. Symétrie :. Calcul inverse : Si , lire dans la table (quantile).
P (a ≤ X ≤ b) = ∫ (^) ab f(x) dx (^) f(x) ≥ 0 ∫ (^) −∞+∞ f(x) dx = 1
F (x) = P (X ≤ x) = ∫ (^) −∞x f(t) dt (^) F ′(x) = f(x) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
E[X] = ∫ (^) −∞+∞ xf(x) dx E[aX + b] = aE[X] + b
V ar(X) = ∫ (x − μ)^2 f(x) dx = E[X 2 ] − (E[X])^2 V ar(aX + b) = a^2 V ar(X)
F (m) = 0.5 (^) ∫ (^) −∞m f(x) dx = (^12)
F(X) E[X] V AR(X)
U(a, b) (^) b−^1 a ,^ a^ ≤^ x^ ≤^ b^ a+ 2 b (b− 12 a)^2
E(λ) λe−λx,^ x^ ≥ 0^ λ^1 λ^12
P (X > t + s|X > t) = P (X > s) F (x) = 1 − e−λx
N (μ, σ^2 ) (^1) σ√2π e
− (x− 2 σμ 2 ) 2 μ σ^2
N (0, 1) φ(z) =^ √2^1 π e−z^2 /2^0 1 Z = X−σ μ∼ N (0, 1) Φ(z) = P (Z ≤ z)
P (μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0.68 P (μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0. P (μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0. Z = X−σ μ∼ N (0, 1) Z Φ(z) Φ(z) = P (Z ≤ z) Φ(−z) = 1 − Φ(z) P (Z ≤ z) = α z
🎯 Théorème Central Limite (TCL) Énoncé : Soit i.i.d. avec ,. Alors pour grand :
En pratique : pour Utilité : Approximer la somme/moyenne de v.a. quelle que soit leur loi d'origine (sauf condition de variance finie). ⚠ Ne pas confondre : TCL ≈ loi de la moyenne , alors que la loi Normale standardise une seule v.a.
🧠 5. MÉTHODOLOGIE — Comment attaquer chaque problème
🎯 Problème de DÉNOMBREMENT
1. Lire l'énoncé : **ordre compte ou pas?
- Avec ou sans remise?** (remise = possibilité de répéter) 3. Choisir la formule : Arrangement ( ) si ordre+SR, si ordre+AR, Combinaison ( ) si pas d'ordre+SR, si pas d'ordre+AR 4. Pour les mots de passe : pour le total, coefficient multinomial pour composition fixe 5. "Au moins un" → utiliser le complément
🎲 Problème de PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
1. Identifier les événements et la partition de l'univers 2. Dessiner un arbre de probabilité (multiplication des branches) 3. Si on demande alors que B dépend de causes → Probabilités totales 4. Si on demande "sachant que" / probabilité a posteriori → Bayes 5. Vérifier que la somme des branches = 1
🎲 Problème de TIRAGE (URNE) AVEC remise : Loi Binomiale.
SANS remise : Loi Hypergéométrique. Utiliser
Transfert entre urnes : D'abord hypergéométrique pour le transfert, puis probabilités totales pour le tirage final Plusieurs couleurs : Hypergéométrique multivariée (coefficients multinomiaux au numérateur)
📈 Problème de VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
1. Vérifier que (normalisation) 2. Pour → intégrer entre et 3. Pour → intégrer de à 4. Loi Uniforme : probabilité = longueur relative 5. Loi Exponentielle : , utiliser la propriété sans mémoire 6. Loi Normale : toujours standardiser puis lire la table 7. TCL : si ,
X 1 , … , Xn E[Xi] = μ V ar(Xi) = σ^2 n X^ ¯n − μ σ/√n →^ N^ (0, 1)
d
X^ ¯n ≈ N (μ, σ n^2 ) n ≥ 30 n
Apn np^ (np) (n+ pp −1) np
1 − P (aucun)
P (B)
B(n, p) p = favorablestotal
(Kk )(Nn−−Kk )/(Nn )
∫ f(x)dx = 1 P (a ≤ X ≤ b) f a b F (x) f −∞ x
F (x) = 1 − e−λx
Z = X−σ μ Φ(z) n ≥ 30 X¯ ≈ N (μ, σ n^2 )
MOT-CLÉ DANS L'ÉNONCÉ LOI / MÉTHODE
"transfert d'urne", "plusieurs étapes" Prob. totales + Bayes
"sachant que", "test positif", "cause" Bayes
"au moins un", "aucun" Complément
"premier succès", "jusqu'à" Géométrique
"événements rares", "taux constant" Poisson
"podium", "classement", "ordre" Arrangement
"comité", "groupe", "tirage au sort" Combinaison
"mot de passe", "code" (ordre + remise)
"temps d'attente", "durée de vie", "sans vieillissement" Exponentielle
"cloche", "mesure", "erreur", "TCL", "grand échantillon" Normale
"équiprobable sur un intervalle" Uniforme
"somme de v.a.", "moyenne", "n 30" TCL →
"standardiser", "centrer réduire", "table" (^) :
Révise bien et bonne chance pour l'examen! 🍀 Probabilités & Statistiques S4 — Résumé express basé sur le cours et les TD
1 − P (aucun)
Apn
(np)
np
E(λ)
N (μ, σ^2 )
U(a, b)
≥ N (μ, σ^2 /n)
N (0, 1) Z = X−σμ
