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RoveuMEDUManoc
Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur; de la Formation des Cadres et de la Recherche^ Scientifique
Présidencedu ConcoursNational Cotnmttn Institut Nationale de Statistiqueet d'EconomieAppliquée INSEA
Concours National Commun d'admission
aux GranCesÉcolesd'Ingénieurs ou assimilées
Session^2009
EpnsuvEDEPsvsteuEI
Filière MP
Durée 4 heures
Cette épreu\re comporte 11 pages au format A4, en plus de cette page de garde L"rrsacede la calculatrice est^ autorisé
concours National commun - session 2oog - Filière Mp
L'énoncé (^) de cette épreuve comporte (^) 11 pages.
' (^) On ueillera à une présentation (^) et une (^) réd.action claires et soignées d.es copies. Il conuient en particulier (^) de rappeler auec précision les-références des questions abordées. t (^) Si au cours de l'épre7tue, (^) rln candid.at repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il Ie signale sur sa copie et pouisuit (^) sa (^) composition (^) en indiquant clairement les raisons d.es initiatiues qu'it est amené ù prend.re.
L'épreuve (^) se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - OPTIQUE
Données :
o (^) Constantedes gazparfaits: R: g,314 J.K-1.mol-l. o (^) Masse (^) molaire de l,air i Ma = 29 g.mol-r.
o (^) Fonction (^) sinus cardinal : sinc(x)= ïj
o (^) Les grandeurs (^) complexes sont .ro,é." (^) aves (^) des iettres soulignées et expriméesavec j tel que j2 = -7.
Ce probième propose l'étude de quelques propriétés d'un télescopemonté en cassegrain' Il se composede trois pàrties tar[ement indépendantes.
lere partie Etude et propriétés (^) des télescopes
1.1. (^) Questions de cours
- l.Expliquer (^) ce qu'est l'approximation de I'optique géométrique.
- 1.2.Qu'appelle-t-onsystème (^) optique centré?
1'1'S.Rappeler brièvement les conditions de l'approximation de Gauss. Quelles sont^ les^ propriétés^ d'un (^) système optiq.t. (^) centré (^) utilisé (^) dans (^) ces conditions?
Dans lq. suite (^) du probrème, (^) les systèmes optiques (^) étudiés (^) seront considérés (^) centrés (^) et utitisés (^) d.ans-les (^) condiîiois (^) d.e Gauss.
L.2. (^) Etude d'un miroir sphérique ' On considère (^) un miroir sphérique de rayon R, de centre C, de sornmet S, et de diamètre d'ouverture D (figure i).
Epreuvede PhysiqueI (^) ulr Toumezla pageS.V.P.
Concours Nationai Commun - Session^ 2OO9- Filière MP
Queli est la plus petite valeur crminde l'angle a séparant les deux étoiies , et B que l'on peut espérer résoudre avec cette caméra?
1.3. Ett ie du télescope Cassegrain
Pour i cbservation d'objets^ célestes, on^ n'utilise^ pas^ un^ simple^ miroir sphérique mais une combinaison de plusieurs^ d'entre eux^ avec des formes différentes
Le Very Large TéIecsope^ (VLT) au^ chiii^ est composé de quatre téiescopes montés en Cassegrain, Ces télescopes pourront^ fonctionner indépendamment ou en asso'iation, totalisant alors (lorsque leurs faisceaux sont combinés)^ un télescopedt puissance^ importante.
Afin de n 3ner une étude quantitative et dans un so^ simpiification, on par deux miroirs réel est équivalent
peut modél ser un téiescope réel^ de^ F pe^ Casse sphériques. rinsi, dans 1esconditions de Gauss. ie tél au télescopecomposé de deux miroirs sphériques (figu
ligure (^) 2 : TéIescopedu VLT en configuration Cassegrain
o (^) Le miroi- primaire (Mt) est concave, de sommet Si, de foyer Ft, de distance focale 7, de rayon R, = 28,76 m et de diamètre extérieur Dt = 8,2O rn. Il est percé d'u r trou de diamètre D = I m en son centre. o (^) Le miroir secondaire (Mz)est convexe, de sommet Sb,de foyer Fz, de distance focale .f, de rayon R, = 4,56 m et de diamètre extérieur Dz :^ l,I2^ m. La d.istanceentre les sommets des miroirs vaut d = SJ,^ = I2,4 m.
A l'aide du télesconeci-dessus,on observeies deux étoiles A et B de la question 1.2,2.
1.3.1.Soit A, l'irnage de A par (Mt) et A. celle^ de A, pat (Mz' Où se trouve f image A,? Que représente A,^ pour le télescope? Détermin^ et S.'1, en fonction de ,R,,R, et d. Faire le r:alcul numérique.
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2 J.
Epreuvede PhysiqueI^ 3 l 1 l^ Tournezla pageS.V.P.
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1.3.2.Faire une construction soignée^ et détaillée des images B, et B. de l'étoiJ
B par les miroirs successifs (Ml) et (Mz).On précisera aussi les images .J,^ et
1.3.3.On note y = &^ le grand.issementtransversal du miroir secondaire. A,B,
Détermine, ,qrg,et A$, en fonction de R,, y et u.
1.3.5.Applicationnumérique : on donne cx= 2 secondesd'arc.
Caiculer la position du foyer image global F'^ du télescope^ (on donn.ta^ J t-
grandissement (^) T, la focale équivalente (^) f du^ télescope et^ la^ taille^ ,^ B,
f image finale. Conclure sur l'avantage du télescope^ à deux miroirs par rapport à ceh i à seul miroir.
1.3.4.On définit la focale équivalente du
fonction de y et R,.
1.3.6.On place dans le plan de front de f image finale ArB,
définie dans la question L.2.3.
Quel est la plus petite valeur o'minde l'angle o séparant B que l'on peut espérer résoudre avec cette caméra? obtenu en 1.2.3. Conclure.
télescope par .f -
AtB'
. Exprimer en I t
la caméra CC I
les deux étoil s I et Comparer â 'ec c[min
) t ' v l e
d e
un
2e*" partie Diffraction par une fente
Dans cette partie, on prend en compte les effets de la diffraction sut ies performances du téiescope. Afin de simplifier les calculs, le télescc:e utilisé pour les observations astronomiques peut être modélisé par un objet r^ 'iffractant et la lentille convergente équivaiente au télescope dont la distance fo, ale / est
calculée dans la question 1.3.4. L'objet diffractant est une fente tre nsparente rectangulaire de centre O, de largeur^ a^ = Dr^ (diamètre du^ miroir^ primaire) suivant OX, de grande dimension survant l axe perpendiculaire OY (figure 3).
On observe, à l'aide du télescope,une étoile B située dans la directi.on représentée par l'angie orienté a (cr^ est supposé petit en valeur absoiue). Cette étoile (supposée ponctuelle) émet une onde monochromatique^ de^ longueur d'onde dans le vide À.
Epreuvede PhysiqueI 4 n r Tou:nezla pageS.V.P.
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k étant une constante et A. (M)^ le complexe conjugué de l'amplitude^ 4@).
t- TTna^ ".
.l'
Montrer qwe I(M) = 1(x)= 1oI sinc(ï (^) ça +;))^ |. Donner l'expression de 1.,. L /'"^ I^ l
2.7. Représenter la figure de diffraction observée^ sur l'écran (plan F'xA). Préciser ses caractéristiques.
2.a. Tracer l'aliure a" i" courbe représentative^ de l'intensité I(x). Préciser ses caractéristiques. En quel point cette intensité est-elle maximale? Conclure.
3e*" partie Phénomènes limitant^ le pouvoir^ de résolution
On modélise toujours le télescopeutiiisé pour ies observations astronomiques par la lentille convergente équivalente aLl télescope dont^ la distance focaie f est calculée dans la question 1.3.4.^ Cette ientille forme une pupille (^) diffractante circulaire, de centre O, de diamètre a^ = Dr^ (diamètre du miroir primaire). La figure de diffraction dans le plan focal de la lentille peut être schématisée par (^) une tache centrale brillante de rayon^ Ro=r,22k!' entourée d'anneaux nD, alternativement sombres et brillants.
3.1. Justifier qualitativement l'aspect de la figure de diffraction.
3.2. On observeà nouveau les deux étoiles A et B de la question L.2.2 par le télescope.On rappelle que celles-ci sont vues avec un écart angulaire cr^ petit.
3.2.1.A quelle condition sur cx,,Dt, 4 et n,les deux taches de diffraction seront-elles séparées sur l'écran? On adoptera le critère de Rayleigh.
3.2.2.8n déduire la résolution angulaire du télescope^ définie par la valeur minimale crkn de a.
Rappel Critère de Rauleiah : deux taches de diffraction peuvent être séparées si le maximum principal de l'une est confondu avec ie premier minimum^ nul de l'autre.
3.3. Citer quelques phénomènes limitatifs du pouvoir de résolution d'un télescopeterrestre.
3.4. Citer des méthodes permettant de s'affranchir des phénomènes iimitatifs
EpreuvedePhysiqueI 6n1^ Tournezla pageS.V.P.
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du pouvoir de résolution d'un télescope.
3.5. Pour quelles raisons construit-on tout de même de grands téiescopes?
4emepartie Effet de la turbulence^ atmosphérique sur la structure^ d'un^ front^ d'onde
. L'atmosphère terrestre est constituée de couches d'air de différentes
températures qui^ se mélangent^ les^ unes^ au.x autres^ causant^ de^ grands mouvements (appelés^ u turbulences ,')^ dans^ les^ masses^ d'air.^ Pour^ les astronomes, ces turbulences sont néfastes car elles perturbent la trajectoire des rayons lumineux.^ Ce^ faisant,^ elles sont^ responsables du^ scintiliement^ des étoiles dans |e ciel et de la distorsion des images collectéespar les télescopes'
Les turbuiences de l'atmosphère créent des variations de la masse volumique de l'air et par^ conséquent^ entraînent^ des^ fluctuations^ de^ son^ indice^ de réfraction.
On admet que I'indice de réfraction de l'air est lié à sa masse volumique p par la relation empirique (dite de Gladstone) :
n = 7 + C o , C é t a n t^ u n e c o n s t a n t e.
4.L. (^) Quelle est la dimension de la constante C.
4,2. En supposant que l'air se comporte comme vn^ gaz parfait, exprimer zzen fonction de ia température T et de ia pression P'
4.3. Calculer numériquement la constante C, sachant qu'à T = 293 K et P : 1 0 sP a , n = 1 , 0 0 0 2 9.
4.4. On note T(z) et P(z) respectivement^ la température et la pression de l'atmosphère à l'équilibre à l'altitude z. Les fluctuations de la température et de la pression par rapport^ à l'équilibre se manifestent par des écarts ôT et ôP. Exprimer la fluctuation ôn de I'indice n qui en résultent en fonction de ôT et ôP.
On étudie maintenant l'effet des variations de f indice de l'atmosphère sur Ia structure du front d'onde émise par une étoiie.
4.5. Définir ce qu'est une surface d'onde.
4.6. Enoncer le théorème de Malus.
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Figure 1e"epartie Etude théorique
1.1. Justifier simplement que l'amplificateur fonctionne en régime linéaire.
On suppose dans la suite de cette partie que le signal v.^ appliqué à l'entrée du circuit est sinusoïdal de puisation to^.
L.2. Etudier le comportement asymptotique du montage aux basses fréquences, puis aux hautes fréquences et déduire la nature du filtre.
1.3. Appliquer le théorème de Millman aux nceuds^ A et B et déduire deux reiations entre vs, (^) YAet v".
L.4. Montrer que la fonction de transfert H =TOu^ circuit s'écrit sous la v a) CÙ^
Exprimer Ho, Q et atoen fonction de R,, R3,^ R'.=-4'Â2-^ etC. R , + R , 1.5. Dans quel domaine de fréquences ce circuit présente-t-i1un caractère i n t é g r a t e u r? d é r i v a t e u r? E x p r i m e r v s ( t ) e n f o n c t i o n d e v " ( t ) d a n s c h a c u n d e s deux cas.
1.6. Définir, puis calculer 1espulsations de coupure à - 3 dB en fonction de rrloet Q. En déduire ia largeur de la bande passante du filtre.
L.7, Applicationnumérique:on donne Ho= -1, Q = 20 et .fo=? = 3kHz' 2r Calculer la largeur de la bande passante en fréquence^ du filtre.
_ H " t o r m e H - "^ , a v e c
I + j Q @ - r t x ) '
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1.8. (^) On pose H = H(o)exp(jp(at)).
1.8.1. Déterminer le module H(at) et l'argument rp(at)de la fonction de transfert H.
r.8.2. Montrer que f{(ar) passe par un maximum pour une valeur at'ode o que I'on exprimera. Tracer l'allure de H(at).
2a*" partie Analyse de Fourier
On applique à l'entrée du montage de la figure 1, un signal v"(t) de fréquence
f = | I T = 3 kHz etd'amplitude E = 5 V.
2.L. Le signal appliqué est donné par v.(t) = nsin(2r fr). caractéristiques numériques du filtre (données en 1.8), signal v"(t) obtenu en sortie du circuit.
2.2. Le signal appiiqué est un signal en créneau (figure développement en série de Fourier :
En tenant compte des donner I'expressiondu
- dont on donne le
Figure 2
2.3, Justifier, sans calanl, ce déveioppement.
2.4. Donner I'allure du spectre en fréquence du signal ve(t)?
2.5. En tenant compte des caractéristiques numériques du filtre, donner
l'expression du signal vs(t)observé en sortie de circuit.
2.6. Décrire en quelques lignes comment pourrait-on utiliser le circuit de la figure 1 pour déterminer le spectre en fréquence du signal ve(t).
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