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FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Partie 1 : Cercle trigonométrique et radian
- Le cercle trigonométrique
Définition : Sur un cercle, on appelle sens
direct , sens positif ou sens trigonométrique
le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Définition :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé et
orienté dans le sens direct, le cercle
trigonométrique est le cercle de centre O et de
rayon 1.
- Enroulement d'une droite autour du cercle trigonométrique
Dans le repère orthonormé
( O ;
i ,
j )
, on
considère le cercle trigonométrique et
une droite ( AC ) tangente au cercle en
A et orientée telle que (
A ;
j
) soit un
repère de la droite.
Si l’on « enroule » la droite autour du
cercle, on associe à tout point N
d’abscisse x de la droite orientée un
unique point M du cercle.
La longueur de l’arc
^
AM
est ainsi égale à
la longueur A N.
On a ainsi défini un repérage sur le cercle.
- Le radian
Propriété :
La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2.
En effet, son rayon est 1 donc P = 2R = 2 × 1 = 2.
Ainsi, à un tour complet sur le cercle, on peut faire correspondre le
nombre réel 2.
On définit alors une nouvelle unité d’angle : le radian, tel qu’un tour
complet mesure 360° ou 2 radians.
- Correspondance degrés et radians
Ainsi, à 2 radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360°.
Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :
Méthode : Passer des degrés aux radians et réciproquement
Donner la mesure en radians de l'angle de mesure 33°.
Donner la mesure en degrés de l'angle de mesure
radians.
Correction
1)? = 33 ×
×
Angle en degré
0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°
Angle en radian 0
2
Radian
s
Degrés 360° 33°?
Méthode : Lire une valeur sur le cercle
trigonométrique
Lire sur le cercle trigonométrique le nombre
associé
au point A :
a) Sur l’intervalle
[ 0 ; 2 π ]
b) Sur l’intervalle [− π ; π ].
Correction
a) Sur l’intervalle [ 0 ; 2 π ], le nombre associé au point A est
En effet,
appartient bien à l’intervalle [ 0 ; 2 π ].
b) Sur l’intervalle [− π ; π ], le nombre associé au point A est
En effet,
appartient bien à l’intervalle [− π ; π ].
On compte « 5 ×
» dans le sens
direct.
Méthode : Placer un point sur le cercle trigonométrique
Placer sur le cercle trigonométrique :
a) Le point A associé au nombre
.
b) Le point B associé au nombre
.
c) Le point C associé au nombre
d) Le point D associé au nombre
Correction
a)
b )
correspond à un tour complet dans le sens
direct +
Le point B a la même position sur le cercle que
le point associé à
On compte «
3 ×
» dans le sens
indirect.
Correction
- On choisit un multiple de 4 proche de 27, soit 28 :
- Dans , on fait apparaître un multiple de 2 π , soit 6 π :
¿ 6 π +
3 π
6 π correspond à 3 tours entiers.
est bien compris dans l’intervalle ¿− π ; π ¿ ¿.
La mesure principale de
est
