Trigonométrie (règles), Lecture notes of Mathematics

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Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018- 2019 Semestre 1 http:// xriadiat.e-monsite.com 1

Résumé de Cours CALCUL TRIGONOMETRIQUE

PROF: ATMANI NAJIB http:// xriadiat.e-monsite.com 1 et 2 BAC

1)Formules de transformations :

tan tan

tan

1 tan tan

x y

x y

x y

et  

tan tan tan 1 tan tan

x y x y x y

    

𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 1 et 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛²𝑥

𝑠𝑖𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠x

1 cos 2

cos ²

x

x

 et

1 cos 2

sin ²

x

x

cos 2 cos ² 1

x

x   cos 1 2sin ²

x

x  

sin 2sin cos

x x

x  et

2 tan tan 2 1 tan ²

x x x

 

2 ) Les valeurs trigonométrique en fonction

de : 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 (

x

) : Si 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 (

x

)on a :

cos

1 t ²

t

x

sin

1 t ²

t

x 

tan

t

x

t

3 ) Transformations des sommes en produits

Pour tous réels 𝑝 , 𝑞, on a :

sin 𝑝 + sin 𝑞 = 2sin (

2

p  q ). 𝑐𝑜𝑠 ( 2

p  q )

sin 𝑝 - sin 𝑞 = 2cos (

2

p  q ). sin ( 2

p  q )

2

p  q ). 𝑐𝑜𝑠 ( 2

p  q )

𝑐𝑜𝑠 𝑝- 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = - 2 sin (

p  q

). sin (

p  q

4 ) Transformations des produits en sommes.

Pour tous réels 𝑥, 𝑦 on a :

[𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)]

[𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)]

[𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦)]

La linéarisation d’une expression c’est de l’écrire

sous la forme d’une somme.

5 ) LES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES.

a) cos^ x^ ^ cos^ x 0^ ^ x^ ^ x 0^ ^2 k^  ou x^  ^ x 0^ ^2 k^ 

b) sin x  sin x 0  x  x 0  2 k  ou x   x 0  2 k 

c)tan^ x^ ^ tan x 0^ ^ x^ ^ x 0^  k^ 

2) ’équation : ( 𝐸 ): 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 = 0

Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels non nuls on a :

Pour tout réel 𝑥 :

cos sin ² ² cos sin ² ² ² ²

a b a x b x a b x x a b a b

 ^  

a cos x  b sin x  a ²  b ² cos  cos x sin sin x 

où le réel 𝜑 est déterminer par :

a

a  b

et 𝑠𝑖𝑛𝜑 =

b

a  b

a cos x  b sin x  a ²  b ² cos x  

6 ) Les limites trigonométriques

a) 0

sin

lim 1

x

x

 x

 b)

0

tan lim 1 x

x

 (^) x

(^)  c) 0

sin lim 1 x

ax

 (^) ax

d) 0

tan

lim 1

x

ax

 ax

 e)

0 2

1 cos 1 lim x 2

x

 x

x 0



6



4



cos x 1

2

2

sin x^0

2

2

2

3 1 0

7 ) autre propriétés trigonométriques

Pour tout nombre réel x , on a :

1)   1 cos x  1 2)  1 sin x  1

3. cos

2 x + sin

2

x = 1 4) cos x  cos  x  2 k où k 

5 ) sin x  sin  x  2 k  6 ) tan  x  k tan x k 

sin tan cos

x x x

9 ) cos(  x ) cos x et sin(  x )  sin x

10 ) cos^  ^ x^  cos x et^ sin^  ^ x^  sin x

11 ) cos   x  cos x et sin   x  sin x

12 )cos sin 2

x x

    ^    

et sin cos 2

x x

    ^   

13 )cos sin 2

x x

    ^   

etsin cos 2

x x

    ^   

14 ) tan   x  tan x et tan   x tan x

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices

Que l’on devient un mathématicien

k 

   

2 2

1 1 tan cos

x x

 