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Chapitre 2 : Cercle trigonom´etrique
I - Cercle trigonom´etrique et radian
1 - Le cercle trigonom´etrique
D´efinition Dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e ( O, I, J ), le cercle trigonom´etrique est le cercle C de centre O et de rayon 1 orient´e dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre). Ce sens est aussi appel´e sens trigonom´etrique.
2 - Enroulement de la droite des r´eels sur le cercle trigonom´etrique
- Rappeler la formule permettant de calculer le p´erim`etre d’un cercle de rayon R. R´eponse : 2 πR
- Quel est le p´erimetre du cercle trigonom´etrique? R´eponse : 2 _πR_ = 2 _π_ × 1 = 2 _π_ car _R_ = 1 Dans un repere orthonorm´e ( O, I, J ), on considere le cercle trigonom´etrique et la droite (d) tangente au cercle au point _I_. **D´efinition :** La tangente en un point _I_ d’un cercle C de centre _O_ est la droite perpendiculaire en ce point _I_a la droite ( OI ).
On d´efinit sur cette droite un rep`ere d’origine I comme indiqu´e sur la figure ci-contre. On imagine que la droite (d) s’enroule autour du cercle.
Propri´et´es
- Pour tout nombre r´eel a , le point d’abscisse a sur (d) co¨ıncide avec un unique point M du cercle trigonom´etrique. M s’appelle l’ image de a sur le cercle trigonom´etrique.
- R´eciproquement, a tout point _M_ du cercle trigonom´etrique correspond une **infinit´e** de valeurs qui peuvent ˆetre consid´er´es comme les abscisses de points de la droite (d). Si _M_ le point du cercle associ´ea un nombre r´eel a , M est ´egalement le point associ´e a tous les nombres r´eels de la forme _a_ + 2 _kπ_ avec _k_ ∈ Z c’esta dire a , a + 2 π , a + 4 π , ..., a − 2 π , a − 4 π , ...
La droite orient´ee peut ˆetre enroul´ee plusieurs fois autour du cercle trigonom´etrique. Cons´equences :
- Un mˆeme point du cercle est l’image d’une infinit´e de r´eels. Ces r´eels sont s´epar´es d’un certain nombre de tours autour du cercle trigonom´etrique, c’est-a-dire de 2 _kπ_ ou k ∈ Z ( k correspond au nombre de tours).
- A chaque r´eel _a_ , on associe un point _M_ sur le cercle trigonom´etrique. _a_ est li´ea l’angle au centre ÷ IOM. Ceci permet de d´efinir une nouvelle unit´e d’angle appel´ee radian.
Exemple. Donner tous les r´eels rep´erant le mˆeme point du cercle trigonom´etrique que π
Ce sont tous les r´eels de la forme π 3
- k × 2 π avec k ∈ Z ( k correspond au nombre de tours effectu´es).
Par exemple : π 3 +2 π ( π 3 puis un tour dans le sens direct) ; π 3 +2 × 2 π ( π 3 puis deux tours dans le sens direct) ; π 3 − 2 π ( π 3 puis un tour dans le sens indirect) ; π 3 − 2 × 2 π ( π 3 puis deux tours dans le sens indirect) ; ...
Application. Placer sur le cercle trigonom´etrique repr´esent´e ci-dessous les points suivants :
a) A image de π.
c) C image de^13 π 2
e) E image de − 7 π 6
g) G image de − 176 π.
b) B image de^4 π 3
d) D image de − 3 π 4
f) F image de^11 π 6
h) H image de^23 π.
M´ethode : D´eterminer si deux nombres r´eels sont associ´es `a un mˆeme point du cercle trigo
- On calcule leur diff´erence.
- Si la diff´erence s’´ecrit sous la forme d’un multiple de 2 π (2 kπ avec k ∈ Z) alors ils sont associ´es au mˆeme point sur le cercle trigonom´etrique.
- Sinon, ils ne sont pas associ´es au mˆeme point.
Application. Dire si les deux nombres r´eels ont le mˆeme point image sur un cercle trigonom´etrique.
a) π 4 et^17 π 4
. 17 π 4 − π 4 =^16 π 4 = 4 π = 2 × 2 π.
La diff´erence des deux nombres r´eels est un multiple de 2 π. Donc π 4 et^17 π 4 ont le mˆeme point image sur un cercle trigonom´etrique.
b) − 8 π 5 et
9 π 5.^ −^
8 π 5 −^
9 π 5 =^ −^
17 π
La diff´erence des deux nombres r´eels n’est pas un multiple de 2 π. 9 π 5 et^
− 8 π 5 n’ont pas le mˆeme point image sur un cercle trigonom´etrique.
3 - Le radian
D´efinition On appelle radian la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonom´etrique un arc de longueur 1.
- Quel est le p´erim`etre du cercle trigonom´etrique? R´eponse : 2 π
- Quel est la longueur de la moiti´e du cercle trigonom´etrique? R´eponse : 2 π ^2
= π
- Quel est la longueur du quart du cercle trigonom´etrique? R´eponse :^2 π 4 = ^2 π (^2) × 2 = π 2
Propri´et´e Par cons´equent 360◦^ = 2 π rad, 180 ◦^ = π rad, 1 rad ≈ 57 , 3 ◦.
2 - Lien avec le cosinus et le sinus d’un angle aigu
Pour un nombre a ∈
ò 0; π 2
ï de la droite num´erique d d’image M , on retrouve :
cos(◊ HOM ) = cˆot´e adjacent hypoth´enuse =^
OH
OM ︸ ︷︷ ︸
=
= OH = abscisse de M
sin(◊ HOM ) = cˆot´e oppos´e hypoth´enuse
= HM
OM ︸ ︷︷ ︸
=
= HM = ordonn´ee de M
OM = 1 car M est sur le cercle trigonom´etrique qui est un cercle de rayon 1 et de centre O.
3 - Valeurs remarquables du cosinus et sinus
Des valeurs remarquables de a , cos( a ) et de sin( a ) sont a connaˆıtre. Elles correspondenta des positions du point M remarquables sur le cercle trigonom´etrique.
Angle ÷ IOM 0 ◦^30 ◦^45 ◦^60 ◦^90 ◦^180 ◦
Mesure en radians a de (
OI ;
OM )
esp 0
esp π 6
esp π 4
esp π 3
esp π 2
esp π
cos( a ) 1
sin( a ) 0 1 2
4 - Propri´et´es
Propri´et´es Pour tout r´eel x , on a :
- − 1 ≤ cos( x ) ≤ 1
- − 1 ≤ sin( x ) ≤ 1
- (cos( x ))^2 + (sin( x ))^2 = 1.
- cos(− x ) = cos( x )
- sin(− x ) = − sin( x )
- cos( x + 2 kπ ) = cos( x ) avec k ∈ Z.
- sin( x + 2 kπ ) = sin( x ) avec k ∈ Z.
D´emonstration de quelques valeurs remarquables du sinus et cosinus :
Å (^) π 4
ã
Un angle de π 4 radians correspond `a un angle de 45
Par construction, le triangle OHM est rectangle en H. Comme la somme des angles d’un triangle est ´egale `a 180◦, on a ◊ OM H + ◊ OHM ︸ ︷︷ ︸ =90◦
+ ◊ HOM ︸ ︷︷ ︸
=45◦
on a donc ◊ OM H = 180 − 90 − 45 = 45◦. Par cons´equent, le triangle OM H est rectangle et isoc`ele en H. On a donc sin
Å (^) π 4
ã = cos
Å (^) π 4
ã . Or, comme le triangle OM H est rectangle en H , on a, d’apres le th´eoreme de Pythagore,
cos^2
Å (^) π 4
ã
Å (^) π 4
ã = 1 ⇐⇒ 2 sin^2
Å (^) π 4
ã = 1 ⇐⇒ sin^2
Å (^) π 4
ã =^12
Comme sin
Å (^) π 4
ã > 0, on a sin
Å (^) π 4
ã
… 1 2
√^1
= √^1
= 1 ×
√^2
2 ×
Et comme cos
Å (^) π 4
ã = sin
Å (^) π 4
ã , on a : cos
Å (^) π 4
ã
Å (^) π 3
ã =^1 2 et sin
Å (^) π 3
ã
Un angle de π 3 radians correspond `a un angle de 60
La somme des angles d’un triangle ´etant ´egale `a 180◦^ on a donc : OM A^ ÷ + OAM ÷ + AOM ÷ ︸ ︷︷ ︸ =60◦
D’ou _OM A_ ÷ + _OAM_ ÷ = 180 − 60 = 120 Comme _OM_ = _OA_ = 1, le triangle _OM A_ est isocele en O et donc : OM A^ ÷ = OAM ÷. Donc : OM A ÷ + OAM ︸ ︷︷ ︸÷ = OM A ’
= 120 ⇐⇒ 2 OM A ÷ = 120 ⇐⇒ OM A ÷ = 60.
Par cons´equent, le triangle OM A est ´equilat´eral (car les trois angles mesurent 60◦). Par cons´equent, la hauteur ( M H ) est aussi une m´ediane et elle coupe donc [ OA ] en son milieu. Par cons´equent, cos
Å (^) π 3
ã = OH =^1 2
On sait que OHM est un triangle rectangle en H. D’apres le th´eoreme de Pythagore on a donc OH^2 + HM^2 = OM^2. Or OM = 1 car le cercle trigonom´etrique a pour rayon 1. Et nous venons de trouver que OH = cos
Å (^) π 3
ã
2 et nous savons que^ HM^ = sin
Å (^) π 3
ã
. On a donc :
OH^2 + HM^2 = OM^2 ⇐⇒
Å 1
ã 2
Å (^) π 3
ã = 1 ⇐⇒ 1
2 22 + sin
2
Å (^) π 3
ã = 1
⇐⇒ 14 + sin^2
Å (^) π 3
ã = 1
⇐⇒ sin^2
Å (^) π 3
ã = 1 −
4 −^
Comme sin
Å (^) π 3
ã > 0, on a : sin
Å (^) π 3
ã
… 3 4 =
√^3
Å (^) π 6
ã et sin
Å (^) π 6
ã on effectue une d´emonstration similaire `a la pr´ec´edente.
