Date : 27/10/2023
TRONC
COMMUN
SCIENCE
BIOF
Niveau : TCS.BIOF
Devoir surveillé 1-1
Matière : Mathématiques
Durée de réalisation : 2h
Pr : ALAOUI Abdelkabir
▪ Toutes les réponses doivent être justifiées
▪ L’usage de la calculatrice est autorisé
▪ Le devoir doit être soigneusement présenté (1pts)
Exercice 1 : (8pts)
On pose : 𝑎 = 15120 et 𝑏 = 55− 53
1) Décomposer 𝑎 en produit de facteurs premiers……………………………………………………………………(0,75pts)
2) Montrer que : 𝑏 = 23× 3 × 53……………………………………………………………………………………………………(0,75pts)
3) Déterminer 𝑎 ∧ 𝑏 et 𝑎 ∨ 𝑏………………………………………………………………………………………………………………(1pts)
4) Simplifier 𝑎
𝑏 et √𝑎𝑏 ………………………………………………………………………………………………………………………(1,5pts)
5) Déterminer le plus petit entier naturel 𝑘 pour que 𝑘𝑎 soit un carré parfait ………………………(1pts)
6) En utilisant l’algorithme d’Euclide déterminer 675 ∧375 …………………………………………………………(1pts)
7) 𝑖) Montrer que : 137 est un nombre premier…………………………………………………………………………………(1pts)
𝑖𝑖) Déterminer les valeurs des entiers naturels 𝑥 et 𝑦 tels que : 3𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦 = 140…………(1pts)
Exercice 2 : (5pts)
Soit 𝑛 ∈ ℕ ;
1) Etudier la parité des expressions suivantes : 𝐴 = 4𝑛2+13 ;𝐵 = 3(3𝑛 + 2)(𝑛 + 1)+ 4…… …(1pts)
2) Montrer que si 𝑛 est impair alors : 𝑛2+ 7 est un multiple de 8……………………………………………..…(1pts)
3) 𝑖) Montrer que : 𝑛3+ 1 = (𝑛 + 1)(𝑛2− 𝑛 + 1) …………………………………………………………………….……(0,5pts)
𝑖𝑖) En déduire que 1001 n’est pas premier ………………………………………………………………….……………(0,5pts)
4) Montrer que si 5 divise (𝑛 − 3) alors (𝑛2+ 1) est divisible par 5………………………………….…………(1pts)
5) Déterminer les valeurs de l’entier naturel n pour que :𝑛2+91 soit un carré parfait…………(1pts)
Exercice 3 : (6pts)
Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle, I le milieu de [𝐴𝐶] et 𝐺 et 𝐾 des points tels que :
3𝐺𝐴
+ 2𝐺𝐵
−𝐺𝐶
= 0
et 𝐴𝐾
=2
5𝐴𝐵
1) Montrer que : 𝐴𝐺
=1
2𝐴𝐵
−1
4𝐴𝐶
puis faire une construction convenable……………………….(1,5pts)
2) Montrer que : 𝐵𝐼
= −𝐴𝐵
+1
2𝐴𝐶
et en déduire que : (𝐴𝐺) // (𝐵𝐼) …………………….………….…(1,5pts)
3) Montrer que : 𝐶𝐺
=1
2𝐴𝐵
−5
4𝐴𝐶
et 𝐶𝐾
=2
5𝐴𝐵
−𝐴𝐶
………………………………………………………………(2pts)
4) En déduire que les points C,𝐺 et 𝐾 sont alignés……………………………………………………………….………(1pts)
BONNE CHANCE
