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Chapitre 1
Rappel sur les vecteurs
Dans ce bref chapitre nous voulons faire quelques rappels sur la notion de vecteur qui consti-
tue la pierre angulaire de ce cours. Cette notion peut-ˆetre introduite d’un point de vue
purement alg´ebrique mais cette approche oblit`ere les aspects physiques et g´eom´etriques, ce
qui est dommage. Dans ce cours, l’aspect physique ne jouera pas un grand rˆole. Par contre,
l’aspect g´eom´etrique servira constamment de support `a l’intuition et de source de motivation
pour l’introduction de nouveaux outils.
La notion de vecteur vient de la physique o`u elle a ´et´e introduite pour mod´eliser des quantit´es
caract´eris´ees non seulement par une mesure num´erique (i.e. la longueur du vecteur) mais
aussi par une orientation, c’est `a dire une direction (une demi-droite qui porte le vecteur).
Les exemples de vecteurs sont nombreux et vari´es : champs de force, moments, gradients,
champs ´electromagn´etiques etc...
1.1 Quelques d´efinitions et exemples
Un vecteur g´eom´etrique ~v poss´ede deux caract´eristiques : une longueur et une direction.
La longueur d’un vecteur, not´ee ‖~v‖ est un nombre r´eel positif ou nul. La direction d’un
vecteur est d´etermin´ee par une demi-droite, appel´ee support du vecteur dont le sens est
celui allant de l’origine de la demi-droite vers l’infini. Si le ph´enom`ene qu’ils mod´elisent est
bidimensionnel, les vecteurs vivent dans R
2 , s’il est tridimensionnel, ils vivent dans R
3
. C’est
le contexte de la physique classique. Il y a beaucoup d’autres contextes o`u on manipule des
vecteurs dans des espaces de dimension sup´erieure a 3, d’ou la n´ecessit´e d’introduire un point
de vue plus alg´ebrique.
On note par ~0, le vecteur de longueur nulle. Par convention ce vecteur ne poss`ede aucune
direction. Un vecteur est dit unitaire s’il est de longueur 1.
On repr´esente graphiquement un vecteur par une fl`eche caract´eris´ee par deux points : son
origine et et son extr´emit´e. Par extension, on parlera de l’origine d’un vecteur et de son
extr´emit´e. Un vecteur est enti`erement d´etermin´e par la donn´ee de son origine et de son
extr´emit´e. La longueur et la direction indiqu´es par la fl`eche sont ceux du vecteur associ´e.
CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS 2
Un vecteur est dit libre lorsque son origine n’est pas sp´ecifi´ee. Il est dit glissant lorsque
seule la position de son support est fix´ee. Finalement, il est dit fixe lorsque son origine est
d´etermin´ee. Dans ce cours, les vecteurs seront, a priori, attach´es `a l’origine, mais quand ¸ca
nous conviendra, nous les attacherons ailleurs, sans autre forme de proc`es. Le contexte sera
toujours clair et cette impr´ecision ne cr´eera pas d’ambigu¨ıt´e.
v
support
origine
extrémité
D´efinition 1.1.1 Le produit d’un vecteur ~v par un scalaire (nombre r´eel) k, not´e k~v,
est un nouveau vecteur dont la direction est parallelea celle de ~v. De plus, ‖k~v‖ = |k|‖~v‖.
k~v a la mˆeme direction que ~v si k > 0 et la direction contraire si k < 0.
v
v
v
v
v
D´efinition 1.1.2 La somme de deux vecteurs ~v et w~, not´ee ~v + w~, est un nouveau vecteur
dont l’origine est celle de ~v et dont l’extr´emit´e est celle de w~ lorsque ce dernier a son origine
`a l’extr´emit´e de ~v. Alternativement, on attache ~v et w~ au mˆeme point et on repr´esente la
somme par la diagonale, ´emanant du mˆeme point, du parall´elogramme qu’ils engendrent.
v
w
v + w
Ce choix de d´efinition du produit d’un vecteur par un scalaire et de la somme de deux
vecteurs n’est pas arbitraire. Il est dict´e par la physique et plus particuli`erement par la fa¸con
dont les forces s’additionnent.
CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS 4
v
e
e
e
e
e
3 e
v =^ +^2 = (3,2)
Il existe une fa¸con canonique de construire une base : donn´ees trois demi-droites de l’espace
mutuellement orthogonales, on d´efinit ~0 comme ´etant leur point de rencontre et
~ı, ~,
k,
les vecteurs issus de l’origine, de longueur 1 et dont la direction est donn´ees par les demi-
droites.
i
j
i
j
k
x
y
x
y
z
Si on note
Bc = {~ı, ~, ~k} (1.1)
on a alors
~ı = (1, 0 , 0)B c ~ = (0, 1 , 0) Bc ~k = (0, 0 , 1) Bc
CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS 5
Pour la base canonique, il est coutumier d’oublier l’identificateur de la base. En plus, le
support de~ı est appel´e l’axe des x, celui de ~ l’axe des y et celui de ~k l’axe des z. L’introduction
de cette base nous permet d’alg´ebriser les op´erations ´el´ementaires sur les vecteurs comme
suit.
~v = w~ ⇐⇒ v 1 = w 1 , v 2 = w 2 et v 3 = w 3 , (1.3)
α~v = α(v 1 , v 2 , v 3 ) = (αv 1 , αv 2 , αv 3 ) (1.4)
~v + w~ = (v 1 , v 2 , v 3 ) + (w 1 , w 2 , w 3 ) = (v 1 + w 1 , v 2 + w 2 , v 3 + w 3 ) (1.5)
Deux vecteurs ~v et w~ sont parall`eles si et seulement si il existe un scalaire non nul k tel que
~v = k ~w c’est `a dire si
v 1
w 1
v 2
w 2
v 3
w 3
= k.
L’ angle entre deux vecteurs est l’angle entre leurs supports. Une base est dite orthonorm´ee
si chaque vecteur de la base est de longueur 1 et si l’angle entre chaque paire de vecteurs de
la base est droit. Par construction, la base canonique est orthonorm´ee.
Lorsqu’on connait les composantes d’un vecteur dans la base canonique, il est facile de voir,
en utilisant le th´eor`eme de Pythagore, que sa longueur est donn´ee par la formule suivante.
~v = (v 1 , v 2 , v 3 ) Bc
⇒ ‖~v‖ =
v
2 1 +^ v
2 2 +^ v
2 3.^ (1.6)
La d´efinition 1.1.3 n’est pas tr`es op´erationnelle. Avec l’introduction des bases et la proposi-
tion suivante, nous obtenons un crit`ere un peu plus manipulatoire.
Proposition 1.1.1 Un ensemble de n vecteurs { v~ 1 , ~v 2 ,... , ~vn} est lin´eairement ind´epen-
dant si et seulement si une combinaison lin´eaire de ces n vecteurs ne peut ˆetre ´egale au
vecteur 0 que si les coefficients sont tous nuls.
k 1 v~ 1 + · · · + kn v~n = ~0 =⇒ k 1 = k 2 =... = kn = 0.
Exemple 1.1.
a) Les vecteurs (1,2) et (-1,2) sont lin´eairement ind´ependants. En effet on ne peut avoir
k 1 (1, 2) + k 2 (− 1 , 2) = (k 1 − k 2 , 2 k 1 + 2k 2 ) = (0, 0)
que si
k 1 = k 2 et k 1 = −k 2
c’est `a dire k 1 = k 2 = 0.
CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS 7
ou α est positif si l’angle entre ~v et w~ est inf´erieura un droit et n´egatif sinon. En prenant
ceci en compte et en calculant la longueur des deux membres de (†) on obtient que
|α| =
‖~v‖|cos θ|
‖ w~‖
⇒ projw~~v =
‖~v‖‖ w~‖ cos θ
‖ w~‖
2 w.~^ (1.7)
v
v^ w
w
v
w
proj w
v
proj
O P ∆^ P ∆
O
Tout ¸ca est bel et bon, mais il nous faut maintenant calculer le membre de droite de 1.7.
En dimension 2, c’est relativement facile, mais en dimension 3, les difficult´es techniques sont
nombreuses. Tout ¸ca nous amenea la d´efinition suivante.
D´efinition 1.2.1 On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~v et w~, le nombre r´eel
d´efini par
~v · w~ := ‖~v‖‖ w~‖ cos θ,
o`u θ est l’angle entre les deux vecteurs.
Si nous utilisons cette d´efinition, nous pouvons r´ecrire les quantit´es calcul´ees pr´ec´edemment
comme suit :
projw~~v =
~v · w~
‖ w~‖
2
w~
et
‖projw~~v‖ =
|~v · w~|
‖ w~‖
Tout ceci n’est qu’un jeu d’´ecriture et nous n’avons rien gagn´e. Cependant, si, exprim´es dans
la base canonique Bc, les vecteurs sont donn´es par ~v = (v 1 , v 2 , v 3 ), w~ = (w 1 , w 2 , w 3 ), une
utilisation astucieuse de la loi d’addition des cosinus conduit `a la formule
w ~ · ~v = w 1 v 1 + w 2 v 2 + w 3 v 3 ,
dans laquelle n’apparaˆıt, ni la longueur ni, surtout, l’angle.
Exemple 1.2.1 Si w~ = (1, 2 , 3) et ~v = (2, 4 , −7), on a
w ~ · ~v = 2(1) + 4(2) + (−7)(3) = − 11.
CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS 8
Puisque ‖~v‖ =
69 et ‖ w~‖ =
14, on obtient que
projw~~v = −
2
1 2
3 4
1
2
En fait, le produit scalaire est l’outil requis pour le calcul des angles en dimension sup´erieure.
En effet, il d´ecoule de la d´efinition, que
angle(~v, ~w) = arccos
~v · w~
‖~v‖‖ w~‖
Le produit scalaire est un outil important. Nous r´esumons maintenant ses propri´et´es, qui
peuvent ˆetre d´emontr´ees “ assez facilement ”. Dans ce qui suit, ~v, w, ~~ z sont des vecteurs
arbitraires de R
2 ou R
3 et α un scalaire quelconque.
a) ~v · ~v = ‖~v‖
2 .
b) Deux vecteurs non nuls ~v et w~ sont perpendiculaires si et seulement si leur
produit scalaire est nul (~v ⊥ w~ ⇐⇒ ~v · w~ = 0). Deux vecteurs dont le produit
scalaire est nul sont dits orthogonaux.
c) ~v · w~ = w~ · ~v.
d) (α~v + w~) · ~z = α(~v · ~z) + w~ · ~z.
1.3 L’espace R
n
Nous sommes maintenant en mesure de d´efinir l’espace euclidien de dimension n. C’est
l’espace de toutes les listes ordonn´ees de n nombres r´eels.
~v ∈ R
n ⇐⇒ ~v = (v 1 , v 2 ,... , vn), vi ∈ R.
CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS 10
1.4 Petit glossaire Maple des diff´erentes commandes se
rapportant aux vecteurs.
Les vecteurs sont des objets d´efinis dans la librairie LinearAlgebra.
with(LinearAlgebra) ; chargement de la librairie linalg
v := V ector([v 1 , v 2 , v 3 ]) ; on d´efinit un vecteur colonne
w := Add(v, z) ; si v et z sont des vecteurs, on obtient la somme
w := Multiply(k, v) ; si k est un scalaire et v un vecteur, on obtient le produit par
un scalaire
DotP roduct(v, w) ; calcule le produit scalaire (ici Maple ne distingue pas les vec-
teurs ligne des vecteurs colonne).
V ectorAngle(v, w) ; calcule l’angle entre v et w
V ectorNorm(v, Euclidian) ; calcule la longueur du vecteur v
CrossP roduct(v, w) ; calcule le produit vectoriel
Chapitre 2
Matrices
2.1 Introduction
Les matrices sont omnipr´esentes dans la vie courante, en particulier dans les pages ´economiques
des journaux ou elles serventa illustrer des donn´ees sous forme de tableau.
D´efinition 2.1.1 Une matrice m × n est un tableau rectangulaire `a m rang´ees (lignes) et
n colonnes. Les ´el´ements de A seront aussi appel´es entr´ees et seront identifi´es par le num´ero
de la ligne et de la colonne auxquelles ils appartiennent. (not´e Ai,j ). L’ensemble de toutes
les matrices n × m sera not´e Mn,m
Commen¸cons par un exemple qui nous servira de motivation dans la suite.
Exemple 2.1.1 Supposons qu’une chaine alimentaire veuille suivre l’´evolution des ventes
de 8 produits dans 5 magasins et que les coˆuts unitaires de ces produits soient donn´es dans
le tableau suivant.
La matrice du tableau est 5 × 8 et ses entr´ees sont des nombres r´eels.
A =
et nous allons montrer que l’utilisation des matrices permet l’alg´ebrisation d’un certain
nombre d’op´erations ´economiques. Ainsi, si nous voulions r´eunir dans un tableau les majo-
rations de prix par unit´e et par magasin correspondant `a une augmentation de 40%, il nous
suffirait de multiplier chacune des entr´ees de A par 0.4 et de r´eunir les r´esultats dans un
tableau de mˆeme dimension, not´e B = 0. 4 A.
CHAPITRE 2. MATRICES 13
c)
C = A + B ⇔ Ci,j = Ai,j + Bi,j.
Remarque 2.2.1 Aucune des trois op´erations pr´ec´edentes n’a de sens pour les matrices
dont les dimensions ne co¨ıncident pas. Ainsi, si A ∈ M 3 , 3 et B ∈ M 2 , 1 , cela n’a pas de sens
de se demander si A = B.
Il est facile de voir que l’ensemble des matrices m × n se comporte alg´ebriquement comme
l’ensemble des vecteurs. La ou la diff´erence commence a ´emerger, c’est quand on considere
la notion de produit. Pour la motiver nous retournons `a notre exemple.
Exemple 2.2.1 Pour comparer le coˆut d’une commande donn´ee des 8 aliments en fonction
du magasin o`u la commande est plac´ee, nous d´ecidons d’´ecrire cette commande comme un
vecteur-colonne `a 8 entr´ees. Chaque entr´ee repr´esente la quantit´e d’un aliment donn´e que l’on
veut acheter, quantit´e exprim´ee dans les unit´es du tableau (2.1.1). Ainsi, pour la commande
c 1 =
le coˆut d’achat dans le magasin M 3 sera
On remarque que ce coˆut n’est rien d’autre que le produit scalaire du vecteur-ligne corres-
pondant a la 3ieme rang´ee du tableau avec le vecteur c 1. Pour cette commande, on peut
donc r´eunir les coˆuts d’achat dans chacun des 5 magasins en un vecteur-colonne `a 5 entr´ees,
chacune d’elle ´etant obtenue en multipliant scalairement le vecteur ligne correspondant avec
le vecteur colonne c 1. On ´ecrit finalement
CoˆutDeC 1 = Ac 1 =
CHAPITRE 2. MATRICES 14
D´efinition 2.2.2 Soit A ∈ Mm,n et ~v ∈ R
n un vecteur ´ecrit en colonne (autrement dit on
consid`ere ~v comme un ´el´ement de Mn, 1 ), on appelle produit de A par ~v, le vecteur colonne
w ~ dont la composante i est obtenue en faisant le produit scalaire de la i-i`eme rang´ee de A
par ~v. En formulation math´ematique
w ~ = A~v ⇔ wi =
n ∑
j=
Ai,j vj.
On voit imm´ediatement que le produit d’une matrice par un vecteur n’a de sens que si le
nombre de composantes du vecteur est ´egal au nombre de colonnes de la matrice.
Si maintenant, nous convenons de reprendre la mˆeme question mais pour 4 commandes, la
commande c 1 et les commandes c 2 , c 3 , c 4 d´efinies par
c 2 = (1. 1 2. 0 0. 9 4. 2 2. 23 2 3. 6 2 .5)
c 3 = (1. 0 2. 1 0. 95 4. 1 2. 2 4 3. 8 2 .4)
c 4 = (1. 1 2. 0 0. 8 4. 3 2. 1 3 3. 2 2 .7)
Nous rangeons ces 4 vecteurs en colonnes dans une matrice appel´ee C
C =
La matrice des coˆuts par magasin devrait avoir un nombre de colonnes ´egal au nombre de
commandes, c’est-`a-dire 4 et chacune des colonnes doit ˆetre calcul´ee selon la d´efinition (2.2.2).
On obtient ainsi une matrice G dont l’´el´ement (i, j) repr´esente le coˆut de la commande j
lorsque plac´ee au magasin i.
CHAPITRE 2. MATRICES 16
b) Le produit
(^) n’est pas d´efini.
c) L’exemple suivant permet de voir comment le travail est d´ecortiqu´e.
(^) with(LinearAlgebra) :
(^) A :=Matrix(2,4,[1,2,3,4,1,-2,-3,6]) ;B :=Matrix(4,2,[1,2,3,4,1,-2,-3,6]) ;
A :=
[
]
B :=
Pour faire le produit, nous utilisons la fonction Multiply
(^) C :=Multiply(A,B) ;
C :=
[
]
Faisons maintenant le calcul en d´etail. C a 4 entr´ees, il faut donc calculer 4 produits scalaires.
(^) PremiereRangeeDeA :=Row(A,1) ;
PremiereRangeeDeA :=
[
]
(^) PremiereColonneDeB :=Column(B,1) ;
PremiereColonneDeB :=
(^) c11 :=DotProduct(PremiereRangeeDeA,PremiereColonneDeB) ;
c11 := − 2
CHAPITRE 2. MATRICES 17
(^) SecondeColonneDeB :=Column(B,2) ;
SecondeColonneDeB :=
(^) c12 :=DotProduct(PremiereRangeeDeA,SecondeColonneDeB) ;
c12 := 28
(^) SecondeRangeeDeA :=Row(A,2) ;
SecondeRangeeDeA :=
[
]
(^) c21 :=DotProduct(SecondeRangeeDeA,PremiereColonneDeB) ;
c21 := − 26
(^) c22 :=DotProduct(SecondeRangeeDeA,SecondeColonneDeB) ;
c22 := 36
Pour les matrices rectangulaires, le produit AB peut avoir un sens et le produit BA ne pas
en avoir. Si les deux matrices sont carr´ees, les deux produits ont un sens, mais ne sont pas
´egaux!
CHAPITRE 2. MATRICES 19
(^) with(LinearAlgebra) :
Un vecteur ligne, les entr´ees sont separ´ees par une barre verticale (les ´el´ements plac´es cˆote
`a cˆote).
(^) VecteurLigne :=<1 | 2 | 3> ;
VecteurLigne :=
[
]
Un vecteur colonne, les entr´ees sont s´epar´ees par des virgules(les ´el´ements plac´es l’un en
dessous de l’autre).
(^) VecteurColonne :=<1 , 2 , 3> ;
VecteurColonne :=
Si, dans les deux exemples, pr´ecedents, on remplace les entr´ees num´eriques par des vecteurs,
on obtient des matrices de diff´erents types selon le m´elange. D’abord une matrice 2 × 3 (
colonnes cˆote `a cˆote)
(^) Matrice2Par3 :=<<1,2> | <3,4> | <5,6>> ;
Matrice2Par3 :=
[
]
Ensuite une matrice 2 × 3 (2 rang´ees plac´ees l’une sous l’autre)
(^) Matrice2Par3bis :=<<1 | 3 | 5>,<2 | 4 | 6>> ;
Matrice2Par3bis :=
[
]
Si on remplace la virgule par une barre verticale, on obtient une matrice 1 × 6.
(^) Matrice1Par6 :=<<1 | 3 | 5>|<2 | 4 | 6>> ;
Matrice1Par6 :=
[
]
CHAPITRE 2. MATRICES 20
2.3 Propri´et´es des op´erations matricielles
L’algebre des matrices partage beaucoup de propri´et´es avec celle des nombres. La o`u il est
important de se m´efier, c’est pour le produit qui se comporte tr`es diff´eremment de celui des
nombres. Le r´esultat suivant r´esume les principales propri´et´es.
Th´eor`eme 2.3.1 Soient a et b des nombres r´eels. Supposons que les dimensions des
matrices A, B, C soient telles que les op´erations suivantes sont d´efinies, on a alors les
propri´et´es suivantes.
(1) A + B = B + A (commutativit´e de l’addition)
(2) A + (B + C) = (A + B) + C (associativit´e de l’addition)
(3) (AB)C = A(BC) (associativit´e de la multiplication)
(4) A(B+C) = AB+AC (distributivit´e de la multiplication par rapport `a
l’addition)
(5) (B + C)A = BA + CA
(6) A(B − C) = AB − AC
(7) (B − C)A = BA − CA
(8) a(B + C) = aB + aC
(9) a(B − C) = aB − aC
(10) (a + b)C = aC + bC
(11) (a − b)C = aC − bC
(12) (ab)C = a(bC)
(13) a(BC) = (aB)C = B(aC).
Les d´emonstrations de ces diff´erentes propri´et´es ne sont pas vraiment difficiles, mais plutˆot
de nature technique. Nous les reportons `a l’appendice plac´e en fin de chapitre. Les propri´et´es
(1), (2) montrent que l’addition des matrices se comporte comme celle des nombres. Il est
donc naturel d’introduire la matrice nulle pour compl´eter la g´en´eralisation.
D´efinition 2.3.1 La matrice z´ero m × n est une matrice dont les entr´ees sont toutes
´egales `a 0 ; elle est d´enot´ee O ou Om×n.
Un calcul imm´ediat conduit au r´esultat suivant.
Th´eor`eme 2.3.2 Pour des dimensions appropri´ees de la matrice O, on a A+O = O+A =
A ; A − A = O ; O − A = −A ; OA = O ; AO = O.
