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Devoir surveillé n° 1
1 ES/L - Vendredi 27 septembre
Exercice 1 (4 points) :
Dans chacun des cas suivants, compléter les données obtenues par lecture graphique :
1
2
3
− 1
− 2
− 1 1 2 3 4
5
10
− 5 5
2
4
6
− 2
− 6 − 4 − 2 2
signe de a .............................. signe de a .............................. signe de a ..............................
signe de ∆ .............................. signe de ∆ .............................. signe de ∆ ..............................
valeur de α .............................. valeur de α .............................. valeur de α ..............................
valeur de β .............................. valeur de β .............................. valeur de β ..............................
Exercice 2 (5 points) :
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = − 2 x 2 + 8x − 6.
1 Déterminer, avec la méthode de votre choix, la forme canonique de f (x).
2 Montrer que pour tout réel x, f (x) = −2(x − 3)(x − 1).
3 Mettre une croix dans la case correspondante à la forme la plus adaptée pour les calculs suivants :
forme forme forme
factorisée canonique développée
f (0)
f (3)
résoudre
f (x) = 0
4 Effectuer les calculs.
Exercice 3 (6 points) :
Résoudre dans R les équations suivantes :
1 x 2 − 2 x − 3 = 0
2 t(3 + t) = − 3
3
x 2 + 5x + 6
x + 2
Exercice 4 (5 points) :
Partie A : étude préliminaire.
Soient deux fonctions O et D définies respectivement sur R par :
O(x) =
x 2 + 10 et D(x) = −x 2 − 2 x + 20
1 Donner le tableau de variations complet des fonctions O et D. Vous justifierez brièvement.
2 Ci dessous sont représentées les représentations graphiques de ces deux fonctions. Déterminer graphiquement
les coordonnées du point d’intersection des deux courbes dont l’abscisse est positive.
Partie B : offre et demande.
Une chaîne de magasin de décoration vend un tissu d’ameublement.
x est le prix de vente au mètre, en dizaine d’euros, et 0. 3! x! 3. 5.
L’offre, en dizaine de mètres, est donnée par la fonction O et la demande, en dizaine de mètres, est donnée par la
fonction D.
1 Déterminer algébriquement le prix d’équilibre, c’est à dire le prix lorsque l’offre est égale à la demande.
2 A quoi cela correspond t-il graphiquement?
5
10
15
20
− 6 − 4 − 2 2 4
3 x
(^2) + 5x + 6 x + 2
L’expression
x^2 + 5x + 6 x + 2
est définie sur R{− 2 }. On résout l’équation x^2 + 5x + 6 = 0. Notons ζ le polynôme défini pour tout x par ζ(x) = x^2 + 5x + 5. Calculons le discriminant ∆ζ du polynôme ζ, avec a = 1, b = 5, c = 6. ∆ζ = b 2 − 4 ac = 5 2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 > 0. Le polynôme ζ possède donc deux racines réelles données par :
x 1 = −b −
2 a
et
x 2 = −b +
2 a
En conclusion, l’équation x^2 + 5x + 6 = 0 admet comme ensemble solution : S = { −2 ; − 3 }.
Mais − 2 est une valeur interdite pour l’expression
x^2 + 5x + 6 x + 2
, on l’exclut donc des solutions de l’équation quotient.
Par conséquent : S = {− 3 }
Exercice 4 : Partie A : étude préliminaire.
1 Fonction d’offre Fonction de demande ⋆ le coefficient du terme de plus haut degré (le "a") du polynôme O est positif : la fonction est donc d’abord décroissante puis croissante.
⋆ le coefficient du terme de plus haut degré (le "a") du polynôme D est négatif : la fonction est donc d’abord croissante puis décroissante. ⋆ α = −
b 2 a = 0 ; β = O(α) = 10 ⋆ α = −
b 2 a = − 1 ; β = D(α) = 21
x −∞ 0 +∞
var. de O
x −∞ − 1 +∞
var. de D
(^2) On ne s’intéresse qu’au point E d’intersection des courbes qui a une abscisse positive, on lit :
E(2 ; 12)
Partie B : offre et demande.
1
Soit x ∈ R, O(x) = D(x) ⇐⇒
x^2 + 10 = −x^2 − 2 x + 20
⇐⇒
x^2 + 2x − 10 = 0
Calculons le discriminant du polynôme
x^2 + 2x − 10 avec a =
, b = 2, c = − 10. ∆ = b 2 − 4 ac = 2 2 − 4 × 32 × (−10) = 4 + 60 = 64 > 0. Le polynôme possède donc deux racines réelles données par :
x 1 =
−b −
2 a
et
x 2 =
−b +
2 a
L’équation O(x) = D(x) admet sur R deux solutions qui sont −
et 2. Or, dans le contexte, x représente le prix de vente en dizaine d’euros et est tel que 0. 3! x! 3. 5. Ainsi le prix d’équilibre p 0 est de 20 euros. (^2) Le prix d’équilibre correspond graphiquement à l’abscisse, comprise entre 0.3 et 3.5, du point d’intersection des courbes représentatives de O et D.
Devoir surveillé n°1bis
1 ES/L - Mercredi 02 octobre
Exercice 1 (4 points) :
1 Soit f une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0.
Répondre au vrai-faux suivant. Aucune justification n’est demandée.
(a) a > 0 et ∆ < 0 " Vrai " Faux
(b) a < 0 et ∆ = 0 " Vrai " Faux
(c) a < 0 et ∆ < 0 " Vrai " Faux
(d) L’équation f (x) = 0 admet une seule solution " Vrai " Faux
2 Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré
f 1 , f 2 , f 3 et f 4.
0 x
y
C (^1)
0 x
y
C (^2)
0 x
y
C 3 0 x
y
C (^4)
À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa
courbe représentative :
f 1 : a > 0 et ∆ < 0 ; f 2 : a > 0 et ∆ > 0 ; f 3 : a < 0 et ∆ = 0 ; f 4 : a < 0 et ∆ > 0.
Exercice 2 (5 points) :
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = − 3 x 2 − 21 x − 36.
1 Déterminer, avec la méthode de votre choix, la forme canonique de f (x).
2 Montrer que pour tout réel x, f (x) = −3(x + 3)(x + 4).
3 Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes (on réalisera les calculs) :
⋄ déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe et de l’axe des ordonnées
⋄ déterminer l’image de − 4
⋄ résoudre f (x) = 0
Exercice 3 (6 points) :
Résoudre dans R les équations suivantes :
1 x(3 + 2x) = − 4
2 6 x 2 − x − 1 = 0
3
− 2 x 2 + x + 3
x − 32
Exercice 4 (5 points) :
Le fonction d’offre O et la fonction de demande D sont définies respectivement sur R par :
O(q) =
q(q + 8) + 10 et D(q) = 78 − 6 q
où : O(q) et D(q) sont les prix d’un article en euros, pour une quantité q comprise entre 1 et 12 millions d’unités.
1 Donner le tableau de variations complet des fonctions O. Vous justifierez brièvement.
2 Ci dessous sont représentées les représentations graphiques de ces deux fonctions. Déterminer graphiquement
les coordonnées du point d’intersection.
3 On dit que le marché est à l’équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité
demandée. Déterminer le prix d’équilibre et la quantité associée.
