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Devoir surveillé n
o
3 (4 heures)
Ce devoir est constitué d'un problème et de quatre exercices. L'ordre des exercices ne correspond à aucun critère
de di culté ou de longueur : vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous voulez. Veillez à soigner la copie tant
pour l'écriture, la propreté que pour la rédaction, la rigueur et l'argumentation. La calculatrice est autorisée. Vous
numéroterez vos copies et ferez apparaître clairement sur la première page le nombre de copies.
Exercice 1 : Équation diérentielle du premier ordre
On considère l'équation diérentielle : (E) : (1 + x^2 ) y′^ + (1 − x)
2 y = x^3 + x^2 − 3 x + 3
- Montrer que, parmi les courbes intégrales, il y a une et une seule droite.
- Déterminer l'ensemble des solutions de (E).
- Soit h ∈ R. On note yh la solution de (E) véri ant : yh(0) = h.
On note (Ch) la courbe représentative de yh
(a) Montrer que (Ch) posséde une asymptote qui ne dépend pas du paramêtre h.
(b) Étudier la branche in nie de (Ch) au voisinage de −∞
Exercice 2 : Équations diérentielles du second ordre
Résoudre, dans l'ensemble des fonctions à valeurs réelles, les équations diérentielles linéaires du second
ordre suivantes et pour chacune d'entre elles, on donnera la solution répondant aux conditions initiales :
y(0) = 0 et y′(0) = 0
- y
′′
′ − 6 y = 25 e
2 x
3 x
- y
′′ − 4 y
′
2 x cos(x)
Exercice 3 : Systèmes linéaires
Résoudre les systèmes linéaires suivants, (on discutera du nombre de solution selon les valeurs de m dans le
premier cas) :
x + (m + 1) y = m + 2
mx + (m + 4) y = m
2
2 x + y + z = 3
3 x − y − 2 z = 0
x + y − z = − 2
x + 2y + z = 1
Exercice 4 : Sommes simples et sommes doubles
- Soit n ∈ N∗. Calculer
16 i 6 j 6 n
(i + 2j)
- Soit n ∈ N∗. Calculer
16 i,j 6 n
(i + j)
2
- Soit n ∈ N∗. On pose un =
n∑^3 − 1
k=
3
k
où bxc désigne la partie entiére du réel x
(a) Calculer un+1 − un
(b) En déduire un en fonction de n
- Soit n ∈ N∗^ et x ∈ R. En utilisant un résultat sur l'interversion du symbole
pour une somme
indéxée sur un triangle ainsi que la formule du binôme, calculer :
∑^ n
j=
[
x
j
n
j
∑n
k=j
n − j
n − k
)]
Problème : Densité de {
n − b
nc} dans [0, 1]
- Recherche d'un entier n tel que
n ait pour premières décimales : · · · , 19 · · ·.
On raisonne par analyse-synthèse
(a) Analyse.
Supposons qu'il existe un entier n tel que : 0 , 19 6
n − b
nc < 0 , 20
On pose k = b
nc et Ik = [k^2 + 0, 38 k + 0, 0361; k^2 + 0, 4 k + 0, 04[
Montrer que : n ∈ Ik
(b) Synthèse.
Soit p ∈ N. On pose Ip = [p
2
2
i. Calculer le diamètre de Ip i.e. la plus grande distance entre deux éléments de Ip
ii. Montrer qu'il existe N ∈ N tel que le diamètre de IN soit plus grand que 1.
iii. En déduire qu'il existe au moins un entier q tel que Iq
N 6 = ∅
iv. Soit n ∈ Iq
N. Montrer que {
n − b
nc} ∈ [0, 19; 0, 20[.
(c) Exemples.
i. Déterminer deux valeurs de n ∈ N telles que
n − b
nc ∈ [0, 19; 0, 20[
ii. Déterminer une valeur de n ∈ N telle que
n − b
nc et
n + 1 −
n + 1
soient tous
deux dans [0, 19; 0, 20[.
iii. Ecrire un programme Python ou un algorithme en français permettant d'obtenir le plus
petit entier n tel que
n − b
nc ∈ [0, 19; 0, 20[
- Étude du cas général Soit (a, b) ∈ [0, 1] avec a < b
(a) Montrer qu'il existe N ∈ N tel que le diamètre de
[
(N + a)
2 ; (N + b)
2 [^
soit supérieur à 1.
(b) Montrer que, pour cet entier N ,
[
(N + a)
2 ; (N + b)
2 [ ⋂^
N 6 = ∅
(c) Soit n ∈
[
(N + a)
2 ; (N + b)
2 [ ⋂^
N. Montrer que :
n − b
nc ∈ [a; b[
(d) Soit p ∈ N
∗
. Montrer que : ∃n ∈ N | ∀i ∈ [[0, p − 1]] ,
n + i −
n + i
∈ [a; b[
(e) Ecrire un programme Python ou un algorithme en français permettant d'obtenir le plus petit
entier n tel que
n − b
nc ∈ [a; b[
(f) Question subsidiaire En traduisant le programme précédent sur votre calculatrice, déterminer
le plus petit entier n tel que
n − b
nc ∈ [0, 80; 0, 81[
- Si m^2 6 = 4 Alors (S) ⇐⇒
x + (m + 1) y = m + 2
(4 − m^2 ) y = 4 − 2 m
x =
m^2 +2m+ m+
y =
2 m+
Donc (S) a une et une seule solution : le couple
m^2 +2m+ m+2 ,^
2 m+
2. (S)
2 x + y + z = 3
3 x − y − 2 z = 0
x + y − z = − 2
x + 2y + z = 1
x + y − z = − 2
y + 2z = 3
−y + 3z = 7
− 4 y + z = 6
x + y − z = − 2
y + 2z = 3
5 z = 10
9 z = 18
D'où (S) ⇐⇒
x + y − z = − 2
y + 2z = 3
z = 2
x = 1
y = − 1
z = 2
Donc (S) a une et une seule solution : le triplet (1, − 1 , 2)
Exercice 4 : Sommes simples et sommes doubles
1. S 1 =
16 i 6 j 6 n
(i + 2j) =
∑^ n
j=
∑j
i=
(i + 2j)
∑^ n
j=
j(j + 1)
2
2
∑^ n
j=
j
2
∑^ n
j=
j
Donc S 1 =
5 2
n(n+1)(2n+1) 6 +^
1 2
n(n+1) 2 donc^
16 i 6 j 6 n
(i + 2j) =
n(n + 1)(5n + 4)
6
2. S 2 =
16 i,j 6 n
(i + j)
2
∑^ n
j=
∑n
i=
i
2
2
∑^ n
j=
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1)
2
j + n j
2
Donc S 2 = n
n(n+1)(2n+1) 6 + 2
n(n+1) 2
n(n+1)(2n+1) 6 donc^
16 i,j 6 n
(i + j)
2
n^2 (n + 1)(7n + 5)
6
- un =
n∑^3 − 1
k=
3
k
(a) un+1 − un =
(n+1) ∑^3 − 1
k=n^3
k
(n+1) ∑^3 − 1
k=n^3
n donc un+1 − un = 3n
3
2
(b) un = u 1 +
∑^ n−^1
j=
(uj+1 − uj ) =
n∑− 1
j=
3 j
3
2
car u 1 = 0. D'où :
un = 3
n^2 (n−1)^2 4 + 3^
n(n−1)(2n−1) 6 +^
n(n−1) 2 soit
n∑^3 − 1
k=
k
n
2 (n − 1)(3n + 1)
4
4. S 3 =
∑^ n
j=
[
x
j
n
j
∑n
k=j
n − j
n − k
)]
∑^ n
j=
∑^ n
k=j
[
x
j
n
j
n − j
n − k
)]
Or
n
j
n − j
n − k
n! j!(n−j)! ×^
(n−j)! (k−j)!(n−k)! =^
n! k!(n−k)! ×^
k! (k−j)!j! =
n
k
k
j
Ainsi :
S 3 =
∑^ n
j=
∑^ n
k=j
[
x
j
n
k
k
j
)]
∑^ n
k=
∑^ k
j=
[
x
j
n
k
k
j
)]
∑^ n
k=
n
k
(1 + x)
k
Ainsi
∑^ n
j=
[
x
j
n
j
∑n
k=j
n − j
n − k
)]
= (2 + x)
n
Problème : Densité de {
n − b
nc} dans [0, 1]
- Recherche d'un entier n tel que
n ait pour premières décimales : · · · , 19 · · ·.
On raisonne par analyse-synthèse
(a) Analyse.
Supposons qu'il existe un entier n tel que : 0 , 19 6
n − b
nc < 0 , 20
On pose k = b
nc et Ik = [k^2 + 0, 38 k + 0, 0361; k^2 + 0, 4 k + 0, 04[
On a : 0 , 19 + k 6
n < 0 , 20 + k donc k
2
- 0, 38 k + 0, 0361 6 n < k
2
n ∈ Ik
(b) Synthèse.
Soit p ∈ N. On pose Ip = [p^2 + 0, 38 p + 0, 0361; p^2 + 0, 4 p + 0, 04[
i. Le diamètre de Ip est 0. 02 p + 0, 0039
ii. Lorsque p tend vers +∞, ce diamètre tend vers +∞. Ainsi
il existe N ∈ N tel que le diamètre de IN soit plus grand que 1. Il su t de prendre
N = 50
iii. Soit q = 50. Puisque le diamètre de Iq est strictement supérieur à 1 , l'intervalle Iq contient
au moins un entier : Iq
N 6 = ∅
iv. Soit n ∈ Iq
N. On a n entier et q
2
- 0, 38 q + 0, 0361 6 n < q
2
q 6 q + 0, 19 6
n < q + 0, 2 < q + 1 avec q entier. Ainsi la partie entière de
n est q et
on trouve bien : 0 , 19 6
n − b
nc < 0 , 20 i.e.
n − b
nc ∈ [0, 19; 0, 20[.
(c) Exemples.
i. Avec q > 50 , en prenant un entier dans Iq, cet entier véri e l'encadrement voulu. Pour
q = 50, Iq = [2519, 0361; 2520, 04[ donc
si on prend n = 2520 , on a bien
n − b
nc ∈ [0, 19; 0, 20[
Pour q = 51, Iq = [2620, 4161; 2621, 44[ donc
si on prend n = 2621 , on a bien
n − b
nc ∈ [0, 19; 0, 20[
ii. Pour avoir deux entiers consécutifs véri ant l'encadrement, il su t de trouver deux entiers
consécutifs dans un intervalle Iq. On sera assuré d'une telle existence dès que le diamètre
de Iq est strictement supérieur à 2. Cela est le cas pour q = 100 par exemple. Comme
I 100 = [10038, 0361; 10040, 04[, les deux entiers 10039 et 10040 sont bien consécutifs
et véri ent
n − b
nc ∈ [0, 19; 0, 20[
iii. Programme Python cherchant le plus petit entier n tel que
n − b
nc ∈ [0, 19; 0, 20[
>>> from math import * >>> def partiefrac1():
>>> n, p = 1, 0 >>> while p < 0.19 or p >=0.2 :
>>> n = n + 1 >>> p = sqrt(n) - floor(sqrt(n))
>>> return (n)
On trouve n = 27
- Étude du cas général Soit (a, b) ∈ [0, 1] avec a < b
(a) Le diamètre de IN =
[
(N + a)
2 ; (N + b)
2 [^
est δ = (b − a) (2N + a + b).
Donc en prenant, par exemple, N =
1 2(b−a)
le diamètre de
[
(N + a)
2 ; (N + b)
2 [^
est supérieur à 1.
