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Operaciones con n´umeros reales
- Operar y simplificar:
a) 8 · 5 4
b) 6 − 3 4
:^9
( 1 − 1 2
) c) 2 −
d)
− 3 e)
( 3+
) ·
( 1 − 2
) f) 9
- Calcular y simplificar:
a) 3
125000 b) 3
3 ′ 375 c) 3
6 d)
12 √ 64 e)^
x^2 · √^3 x ·
x^3 √ x · 4
x^2
- Racionalizar:
a) √^2 12
b) √ 31 x
c) √^2 5 −
d)
√^3
- Aplicar las propiedades de las potencias para calcular:
a) (3x)^2 b)
( 24
) 2 c)
) 3 d)
) 2 e)
( 32
)− 3
f)
( a−^2
) 3 g)
( − b 5
)− 4 h)
( − a 3
)− 3 i) 3^5 · 3 −^1 · 3 −^5 · 32 j)
( 2 x− 4 3
) 2
- Aplicar las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes frac- ciones:
a)
25 (2a)^4 · b^3 (2a^2 b)^3 · (5b)^2
b)
98 + 9^11 c)
- Sacar factor com´un de las siguientes expresiones:
a) x^2 + x b) 9 − 3
c) − 12 − 6 x + 24xy d) (x + 1) + 6 (x + 1) e) 27x^3 y − (3xy)^2 + 9x^2 y^3 f) πr^2 h + 2πr
- En las siguientes expresiones, sacar factor com´un lo indicado:
a) x^2 −3 [x] b) as+b [a] c) x^2 −3 [3] d) 2x+6y [2xy]
- Simplificar las siguientes fracciones:
a)^5 x^ −^5 y 5
b) 4 + 8
c) a
(^2) + ab ab
d) b
(^2) + b b + 1
e) 3 b^ −^3 15 − 15 b
f) x
(^3) − x (^2) + 3x x
g) c
2 c + 2
h) (a^ −^ 1)
(^2) − (a − 1) a^2 − a
- Sustituir las variables de las f´ormulas por los valores num´ericos indicados, calcular el valor que toman y simplificar el resultado.
a) e = −t^2 + 10t − 21 t = − 1 2 b) v = vo + at vo =^1 4
, a =^3 2
, t = −^7 3 c) T = mv
2 R
− 10 m m =^7 2
, v = 5 , R =^1 5
- En cada una de las siguientes f´ormulas despejar la letra que se indica:
a) v = vo + at despeja a
b)^1 s
s′^
=^1
f
despeja s
c) 3a − 5(b−a) = (a−b)·(a+b)−a(a−1) despeja a
d) a(b^ − 2 −1) + 3 b b= 2 despeja b
Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas
- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado y comprobar el resultado:
a) 2(3x − 1) + 3(x − 2) = 4 − 6
( x +
)
b) x −
( (^) x + 2 3 −^
x − 8 2
) = 3(x − 4) − 5(x − 8)
c)^3 −^2 x 4
− 5 −^3 x 10
= 3 − x 5 d) x 2
− 3 =^2 x^ −^12 4
- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x^2 − 4 x + 3 = 0 b) x^2 − 64 = 0 c) 3x^2 − 243 x = 0
d) 2y^2 + 12y = − 18 e) 2z^2 + 7 = z f)
t − 1 −^
t + 1 = 2
- Resolver las siguientes inecuaciones con valores absolutos y expresar la soluci´on en forma de intervalo:
a) |x − 5 | ≤ 1 b)
∣∣ ∣∣ 2 x +^1 9
∣∣ ∣∣ < 1 c) | 3 x − 2 | + 4 < 2
d) 4 · | 7 − 3 x| − 5 ≤ 3 e) |x − 2 | > 3 f) | 2 x − 7 | > 1 3
- Resolver las siguientes inecuaciones de segundo grado y expresar la soluci´on en forma de intervalo: a) (x − 3)(x + 2) ≥ 0 b) x^2 − 4 < 0 c) x^2 − 3 x − 10 ≥ 0
Polinomios
- Calcular q(x) − p(x)r(x) siendo
p(x) = 2x + 3 , q(x) = x^3 − 2 x + 1 , r(x) = x^4 − 1
- Desarrollar en forma polin´omica las siguientes expresiones:
a)
( 2 x^3 −
5 x^2
) 2 b) (2x + 3y^3 )^3 c) (6x − 7 x)^4 d) (x − 2)^5
- Expresar como producto de factores los siguientes polinomios:
a) x^2 − 4 x + 4 b) 4x^2 − 4 x + 1 c) x^3 − 3 x^2 + 3x − 1 d) 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
- Expresar en la forma (ax + b)^2 + c los siguientes polinomios:
a) x^2 − 2 x b) x^2 + 4x + 7 c) x^2 − 9 x + 2 d) 4x^2 + 8x − 1
- Descomponer los siguientes polinomios en productos de factores y con su ayuda resolver en cada caso la ecuaci´on p(x) = 0. a) p(x) = 3x^3 − x^2 − 7 x + 5 b) p(x) = x^4 − 4 x^3 + 7x^2 − 12 x + 12 c) p(x) = 2x^3 − 14 x + 12
- Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:
a) (x^4 − 3 x^2 + 7x − 2) : (x + 1) b) (− 6 x^3 + 4x^2 + x − 7) : (3x + 2) c) (6x^4 − x^3 + 3x + 5) : (2x^2 + x − 2)
- Averiguar el valor de m para que el resto obtenido de la divisi´on del polinomio x^4 − 5 x^2 + mx − 1 entre x + 1 sea −2.
- Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios:
a) x(x+2)^2 (x−1)(x+1)^2 , x^2 (3x+3)(x−1) y (3x+2)(4x+4)(x−1)^2 x^2 b) x^4 + 2x^3 − x^2 − 2 x y 2 x^3 − x^2 − 7 x + 6
- Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
a)
x^2 − 3 x + 2 x^2 + 2x − 3 b)^
(x + 3)^2 · (x^2 − 1) (x^2 − 9) · (x^2 + 2x + 1) c)^
x^3 − 19 x − 30 x^3 − 3 x^2 − 10 x
- Operar y simplificar:
a) 3 x − 2
x^2 − 4
b) x x^2 + 5x + 6
x + 2
x + 3 c) (^) x 2 x−^ + 2 x − 6 − (^) x (^2) −x^ + 3 4 x + 3 d) (^) (x + 5)^12 + (^) x (^2) − 101 x + 25 − (^) x (^2) −^1
- Descomponer en forma de suma de fracciones simples:
a)
3 x x^2 + x − 2 b)
2 x − 3 x^2 − 9 c)^
x^2 + 6x + 5 d) x^ −^1 x^3 + x^2 − 6 x
e) 1 x(x − 1)^2
f) x^ + 1 x^3 + 6x^2 + 9x
g) x
(^2) + 3x − 2 (x + 1)^2 (x + 2)^2 h)^
4 − x 2 x^2 − x − 3 i)^
2 x − 1 x^2 + 3x + 10
j)
(x + 1)(x^2 + 1) k)^
x^3 + x^2 + x l)^
x^2 1 − x^4
N´umeros Complejos
- Un n´umero complejo en forma bin´omica es una expresi´on de la forma x + yi o bien (x, y) donde:
- x (parte real) e y (parte imaginaria) son n´umeros reales.
- i =
- Un n´umero complejo en forma polar es una expresi´on de la forma rθ donde:
√ x^2 + y^2 es el m´odulo.
es el argumento con 0 ≤ θ ≤ 2 π.
- Calcular y simplificar las siguientes expresiones. Dar el resultado en forma bin´omica y polar.
a) (1 + i)(2 + i)(1 − i)(3 + i) b) (1 + i)^4 c)
( 4 23 π
) : (2 60 o )
d)
i
) 10 e)
( 1 +
3 i 1 −
3 i
) 20 f) i
(^5) − i− 8 √ 2 i
g) (1^ −^ i)
3 4 i −^2 i(1 +^ i)^ h)
2 i^16 − 2 i^23 i^3420 − i^5 i)
2 i^8 + 2i−^7 i^11 + 1
- Resolver las siguientes ecuaciones en el cuerpo de los n´umeros complejos:
a) x^2 + 4 = 0 b) x^2 + 8 = 0 c) x^2 + 2x + 2 = 0 d) 2x^2 + x + 1 = 0 e) 2x^3 + x^2 + x = 0 f) x^2 + ix + 1 = 0
Geometr´ıa del plano
LA RECTA
- Dado un punto P 0 (x 0 , y 0 ) y un vector director ~v(u, v), la ecuaci´on de la recta en forma continua que pasa por P 0 y tiene como vector director ~v es: x − x 0 u
= y^ −^ y^0 v
Se llama pendiente de la recta al cociente v u
que se denota por m, y as´ı, la ecuaci´on de la recta en forma punto-pendiente es:
y − y 0 = m(x − x 0 )
- Dados dos puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) , la ecuaci´on de la recta que pasa por P 1 y por P 2 es: x − x 1 x 2 − x 1 =^
y − y 1 y 2 − y 1
- Dos rectas r y s de pendiente m y m′^ respectivamente son paralelas si m = m′^ y son perpendiculares si m · m′^ = −.
- Sea
x + 5 − 2 =^
y 7 la ecuaci´on de una recta^ r.^ Determinar tres puntos y tres vectores directores de r.
- Hallar los puntos de corte de las rectas 3x − 5 y − 3 = 0 y − 2 x + y + 2 = 0.
- Hallar los puntos en los que la recta 3 x − 5 y + 3 = 0 corta a los ejes de coordenadas.
- Determinar si las rectas x √^ −^5 12
= y^ + 8 5
y x + 46 = y^ −
√^3
son o no paralelas.
- Buscar la intersecci´on de las rectas 6x − 9 y = 8 , − 4 x + 6y = 5 e interpreta el resultado.
- Determinar m para que las rectas 2 mx + (m − 5)y = m y 9 x − my = − 8 sean paralelas.
- Hallar, en caso de que exista, el punto de intersecci´on de cada uno de los siguientes pares de rectas. En caso contrario decir si son paralelas o coinci- den.
a) 3x − 5 y + 9 = 0 , 2 x + 5y − 8 = 0 b) y = 2x − 9 2
, y = −^4 5
x + 5
c) 6x − 2 y − 12 = 0 , y = 3x − 6 d) 2x + 6 − 2 y = 0 , y = x + 5
- Determinar a y b para que las rectas ax + 3y − 5 = 0 y 5x + by − 14 = 0 se corten en el punto (2, −1).
- Ver si las rectas x √^ −^3 2
= y^ + 2 − 6
y x^ + 5 − 6
= y^ −^5 18
son o no paralelas.
- Las rectas
x − 5 − 3 =^
y + 3 4 y^
x m =^
y − 5 − 6 son paralelas. Determinar^ m.
- Ver si las rectas x^ −^3 3
= y^ + 2 − 2
y x^ + 5 2
= y^ −^5 5
son o no perpendiculares.
- Las rectas x^ −^5 − 3
= y^ + 3 4
y x m
= y^ −^5 − 6
son perpendiculares. Determinar m.
- Determinar la ecuaci´on de una recta en forma general (Ax + By + C = 0) en cada uno de los siguientes casos: (a) Pasa por los puntos (− 5 , −3) y (− 5 , −5). (b) Pasa por el punto (− 4 , 5) con pendiente^6 5
(c) Pasa por el punto (− 3 , 7) y es paralela a x^ −^9 7
= y − 8
(d) Pasa por el punto (3, −9) y es paralela a la recta determinada por los puntos (8, 5) y (− 3 , 2). (e) Pasa por el punto (− 3 , 7) y es perpendicular a x^ −^9 7
= y − 8
LA ELIPSE
- La ecuaci´on de una elipse de centro el punto C(x 0 , y 0 ) y de semiejes a y b es: (x − x 0 )^2 a^2 +
(y − y 0 )^2 b^2 = 1
- Hallar la ecuaci´on de la elipse de centro (2, −5) y semiejes 2 y 3.
- Hallar el centro C y los semiejes a y b de las siguientes elipses:
a) 3x^2 + 4y^2 = 12 b) x^2 + 2y^2 − 2 x = 3
Exponenciales y Logaritmos
EXPONENCIALES
- Recordamos las propiedades m´as importantes de la funci´on exponencial:
ax+y^ = ax^ · ay^ (ax)y^ = ax·y^ ax−y^ = a
x ay^ a
−x (^) = 1 ax
- Simplificar las siguientes expresiones:
a)
ex^ e^2 e^3 b)^
2 x^23 2 −^2 2 x+1^ c)
3 a^3 −a+1^3 a+ 3 −a^34
- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 5x^ + 5x−^1 = 6 b) 3x−^1 + 3x^ + 3x+1^ = 117 c) 2^2 x^ − 3 · 2 x^ + 2 = 0
LOGARITMOS
- La definici´on de logaritmo en base a (a > 0) de y es:
loga y = x ⇐⇒def y = ax
y sus propiedades m´as importantes son:
loga(x · y) = loga x + loga y loga
( (^) x y
) = loga x − loga y
loga
( xk
) = k · loga x
- El log 10 y se llama logaritmo decimal y se denota por log y. El loge y se llama logaritmo neperiano y se denota por ln y.
- Aplicar las propiedades de los logaritmos para demostrar:
a) loga 1 = 0 ∀a > 0 b) loga(ax) = x c) aloga^ y^ = y
- Calcular el valor de los siguientes logaritmos:
a) log 2 8 b) log 5 − 25 c) log 13 3
81 d) log√ 3
√^9
)
- Hallar el valor de x en cada uno de los siguientes casos:
a) logx 4 = 2 b) logx 4 = 8 c) log 3 x = 5 d) loga a = x
- Demostrar que se verifica que log 125 = 3 · (1 − log 2).
- Sabiendo que log 2 = 0. 30103... y que log 3 = 0. 47712.. ., calcular:
a) log 24 b) log 89 c) log 5 d) log 25 e) log
( (^12) 5
) 3
- Resolver las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas:
a) 2 log x − log(x−16) = 2 b) log(x−53) + log(x−5) = 2 + log(4−x)
Trigonometr´ıa
RAZONES TRIGONOM´ETRICAS DE UN ´ANGULO Y
RESOLUCI ´ON DE TRI ´ANGULOS RECT ´ANGULOS
- Dado el tri´angulo rect´angulo (Fig. Izq.):
- Expresar en grados los siguientes ´angulos:
a) 3π radianes b) π 3
radianes c)^2 π 3
radianes
- Expresar en radianes los siguientes ´angulos:
a) 30◦^ b) (∗) 857◦^ c) (∗) 224◦ 18 ′ 45 ′′
- Hallar razonadamente las razones trigonom´etricas de los siguientes ´angulos:
a) α = 210◦^ b) α = 315◦^ c) α = − 240 ◦^ d) α =
2 π 3 rad. e) α = 120◦^ f) α = − 45 ◦^ g) α = 2010◦^ h) α =^33 π 6
rad.
- Hallar todas las razones trigonom´etricas del ´angulo α sabiendo que
a) sen α = 7/ 25 y cos α < 0 b) cos α = − 5 / 13 y tg α < 0 c) tg α = − 5 y α es un ´angulo del segundo cuadrante d) sec α = 0′ 4 y sen α < 0
- (*) Resolver, si es posible, los siguientes tri´angulos:
a) b = 7 cm , c = 5 cm b) c = 4 cm , C = 30◦^ c) b = 5 cm , c = 7 cm
- (*) Si a 20 m de la base de una torre se observa su altura con un ´angulo de visualizaci´on de 35◦, calcular la altura de la torre.
- (*) Las diagonales de un rombo miden 24 y 36 cm. Calcular los ´angulos interiores del rombo y su per´ımetro.
- (*) A una determinada distancia de la base de una monta˜na se observa su altura con ´angulo de visualizaci´on de 30◦. Hallar la altura del monte si al alejarse 80 m de la posici´on anterior, el ´angulo de visualizaci´on es ahora de 20 ◦.
- (*) Dos personas que distan 3 km ven simult´aneamente un avi´on en el cielo con ´angulos de visualizaci´on de 30◦^ y 45◦^ respectivamente. Calcular la altura a la que vuela dicho avi´on.
RESOLUCI ´ON DE TRI ´ANGULOS
- Dado un tri´angulo cualquiera: se tienen los siguientes teoremas:
- Teorema del seno: a sen A =^
b sen B =^
c sen C = 2r siendo r el radio de la circunferencia circunscrita al tri´angulo.
a^2 = b^2 + c^2 − 2 bc cos A b^2 = a^2 + c^2 − 2 ac cos B
c^2 = a^2 + b^2 − 2 ab cos C
- (*) Resolver, si es posible, los siguientes tri´angulos:
a) a = 100 m , B = 47◦^ , C = 63◦^ b) A = 60◦^ , B = 90◦^ , C = 30◦ c) a = 70 m , b = 55 m , C = 73◦^ d) b = 6 m , c = 8 m , C = 57◦ e) a = 25 m , b = 30 m , c = 40 m f) a = 10 m , b = 20 m , c = 35 m
- (*) Julia camina a una velocidad de 4 km/h y Marta a una de 5 km/h. Llegan a un cruce de caminos que forman entre s´ı un ´angulo de 50◦^ y cada una toma un camino. Determinar la distancia a la que estar´a Julia de Marta al cabo de 120 minutos.
- (*) Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 y 8 cm y forman un ´angulo de 32◦. Calcular la medida de sus diagonales.
- (*) Tenemos un tri´angulo inscrito en una circunferencia, del que se sabe que los lados miden 5, 6 y 7 cm respectivamente. Calcular el ´area del tri´angulo y la longitud de la circunferencia.
- Esbozar la gr´afica de las siguientes funciones logar´ıtmicas f (x) = loga x, determinar sus caracter´ısticas comunes y hallar su dominio.
a) log 12 x b) log 1 x c) log x d) ln x
- Esbozar la gr´afica de las siguientes funciones trigonom´etricas, determinar sus caracter´ısticas y hallar su dominio.
a) sen x b) cos x c) tg x
- Esbozar la gr´afica de los siguientes pares de funciones y determinar c´omo influyen los valores absolutos.
a) x y |x| b) 2x + 1 y | 2 x + 1| c) x^2 − 1 y |x^2 − 1 | d) ln x y | ln x| e) sen x y | sen x| f) ex^ y |ex|
- Esbozar la gr´afica de los siguientes funciones y hallar su dominio.
a)
|x| x b) +^
x c) −
x
- Esbozar la gr´afica de los siguientes funciones definidas a trozos y hallar sus dominios.
a)
{ x^2 si x ≤ − 1 x − 5 si x > − 1 b)
{ −x^2 − 2 x − 3 si x ≤ 0 |x − 1 | si x > 0
c)
2 x^ si x ≤ 1 1 x si^1 < x^ ≤^69
d)
{
x + 5 si x ≤ − 2 ln x si x > − 2
- Hallar los dominios de las siguientes funciones:
a) sen^ x x^4 + x^3 − 6 x^2
b)
x +
x − 2 c) ln(1 − x^2 ) d) tg
( (^) x 2
)
e) x
x
x + 3
f) ln (^) x (^2 1) − 1 g) ln
(√ x^2 − 25
) h) |esen^ x|
- Determinar la simetr´ıa de las siguientes funciones:
a)^1 x
b) 1 x^2
c) |x| d) +
x
e) −
x f) x^3 |x| g) 1 x^2 − x
h) (x − 1)^3 (x + 1)^3
- Determinar si cada una de las funciones f + g , f − g , f · g y f /g son pares o impares en los siguientes casos:
a) f y g son pares b) f y g son impares c) f es par y g es impar
- Esbozar y comparar las gr´aficas de las siguientes funciones con la de la funci´on f (x) = x^2 determinando la transformaci´on producida.
a) x^2 + 1 b) x^2 − 1 c) (x + 1)^2 d) (x − 1)^2
e) 2x^2 f) − 2 x^2 g)^12 x^2 h) − 12 x^2
i) (3x)^2 j) (− 3 x)^2 k)
x
) 2 l)
( − 1 3
x
) 2
m) (5x)^2 n) (5x − 3)^2 o) 2(5x − 3)^2 p) 2(5x − 3)^2 + 4
- Esbozar y comparar las gr´aficas de las siguientes funciones con la gr´afica de la funci´on f (x) = sen x determinando la transformaci´on producida.
a) sen x + 1 b) sen x − 1 c) sen(x + 1) d) sen(x − 1)
e) 2 sen x f) − 2 sen x g)^1 2
sen x h) − 1 2
sen x
i) sen(3x) j) sen(− 3 x) k) sen
x
) l) sen
( − 1 3
x
) 2
m) sen(x−π) n) 2 sen(x−π) o) 2 sen(3x−π) p) 2 sen(3x−π)+
