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UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Escuela Superior de Marina Civil de Gijón
2º curso Máquinas Navales
Curso 2006-
Apuntes de Mecánica de Fluidos
1. LOS FLUIDOS
“todo fluye”
HERACLITO (-540, -475)
fluido newtoniano impacto de una gota fluido no newtoniano. = λ ( ⋅ v ) ⋅ 1 + 2 μ ⋅
r
τ ∇ &ε τ = f( &ε)
Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón octubre 2006
1. LOS FLUIDOS.
1.1. Mecánica de Fluidos. Aspectos históricos. 1.2. Fluidos. 1.3. Modelo continuo y modelo molecular. 1.4. Viscosidad. 1.5. Compresibilidad. 1.6. Tensión superficial. 1.7. Presión, densidad y temperatura. 1.8. Problemas resueltos.
1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS. ASPECTOS HISTÓRICOS.
La Mecánica de Fluidos es la disciplina científica que se ocupa de la interacción de los fluidos con su entorno, así como de las aplicaciones técnicas que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en prácticamente todos los campos tecnológicos: industrial, aeronáutico, naval, químico,...; así como en disciplinas científicas: oceanografía, meteorología, acústica,...
Básicamente la mecánica de fluidos puede dividirse en: la estática de fluidos , que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos , que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o gases a baja velocidad, en los que puede considerarse que no hay variaciones de densidad, que se denominan incompresibles. La aerodinámica se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son suficientemente apreciable para que sea necesario tener en cuenta los efectos de compresibilidad.
El interés por la dinámica de fluidos se remonta a las aplicaciones más antiguas de los fluidos en ingeniería. El matemático y filósofo griego A RQUÍMEDES realizó una de las primeras contribuciones con la invención del “tornillo sin fin” que se le atribuye tradicionalmente. Los romanos desarrollaron otras máquinas y mecanismos hidráulicos; no sólo empleaban el tornillo de Arquímedes para trasegar agua en agricultura y minería, sino que construyeron extensos sistemas de conducción de agua, los acueductos. Durante el siglo I a. C. V ITRUBIO inventó la rueda hidráulica horizontal, que revolucionó la técnica de moler grano.
Después de Arquímedes pasaron más de 1600 años antes de que se produjera el siguiente avance científico significativo, debido al gran genio italiano LEONARDO DA V INCI, que aporto la primera ecuación de la conservación de masa, o ecuación de continuidad y desarrollo múltiples sistemas y mecanismos hidráulicos y aerodinámicos. Posteriormente el matemático y físico italiano Evangelista TORRICELLI, invento el barómetro en 1643, y formuló el teorema de Torricelli, que relaciona la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encima del agujero. La génesis de la actual mecánica de fluidos se debe al matemático y físico inglés Isaac N EWTON, con la publicación en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica se inicia el carácter científico de la disciplina, en donde se analiza por primera vez la dinámica de fluidos basándose en leyes de la naturaleza de carácter general. En 1755 el matemático suizo Leonhard EULER , dedujo las ecuaciones básicas para un fluido ideal.
EULER fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo se pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal, en donde se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de movimiento entre partículas (el fluido es no viscoso). Sin embargo, como esto no es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados con las ecuaciones de Euler, sólo pueden servir de estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.
La siguiente aportación de gran importancia, fue la primera expresión de la ecuación de conservación de energía, dada por Daniel BERNOULLI con la publicación en 1738 de su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii ; el denominado teorema de Bernoulli, establece que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso es constante a lo largo de una línea de corriente (líneas de flujo que son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y que en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido).
El problema de los efectos viscosos de disipación de energía, se empezó a abordar experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberías, independientemente en 1839 por el médico francés Jean POISEUILLE, que estaba interesado por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero alemán Gotthif HAGEN. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinámica de fluidos, se debió al ingeniero francés Claude NAVIER en 1827 e, independientemente, al matemático irlandés George
1.2. FLUIDOS.
Consideraremos la materia en dos estados de agregación: sólido y fluido; además los fluidos incluyen a los líquidos y a los gases. La propiedad característica de los fluidos es su deformación continua bajo solicitaciones externas. Las propiedades cualitativas más destacables de los fluidos son: movilidad entre las partículas que los constituyen (se adaptan a las formas de los recipientes que los contienen), miscibilidad por la rápida disgregación de partículas de las diferentes zonas del fluido, compresibilidad o variación de volumen bajo esfuerzos normales.
La movilidad y la miscibilidad vienen determinadas como consecuencia de la propiedad más importante de un fluido: su deformabilidad continua bajo esfuerzos tangenciales. Un sólido sometido a un esfuerzo^1 tangencial adquiere una determinada deformación, que puede ser permanente si se supera un cierto valor de tensión umbral, pudiendo llegar a la rotura si se sobrepasa la tensión de rotura; en cambio un fluido sometido a un esfuerzo tangencial, se deforma continuamente, adquiriendo una velocidad de deformación que depende de la tensión aplicada y de las características del propio fluido (a través de su viscosidad).
La deformación continua del fluido, da lugar a su movimiento, que se denomina flujo. Los fluidos poco viscosos fluyen fácilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad para fluir. A partir de estas consideraciones podemos dar como definición de fluido: sustancia a la que la aplicación de una tensión tangencial le provoca su movimiento, al que se le denomina flujo.
La otra propiedad característica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos normales de compresión, ante los cuales el fluido se deforma, disminuyendo su volumen; en el caso de los gases, las disminuciones de volumen son relativamente grandes, son fácilmente compresibles; y en el caso de los líquidos, las disminuciones de volumen son relativamente pequeñas, son difícilmente compresibles. En general los líquidos se denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles; no obstante, líquido sometidos a grandes cambios de presión^2 pueden comprimirse, y gases sometidos a pequeños cambios de presión no varían prácticamente su volumen.
1.3. MODELO CONTINUO Y MODELO MOLECULAR.
Para el estudio de los fluidos, hay que establecer un modelo de constitución. En realidad se trata de agregaciones moleculares, muy separadas entre sí en el caso de los gases y más próximas en el caso de los líquidos; y que se mueven con cierto grado de libertad en función de las fuerzas intermoleculares. La estructura molecular de la materia, es la que explica los estados de agregación de sólido, líquido y gas; teniendo en cuenta las distancias intermoleculares y las fuerzas intermoleculares. En los gases las distancias intermoleculares son grandes y las fuerzas intermoleculares pequeñas, lo que explica su gran compresibilidad; en los líquidos las distancias intermoleculares son bajas y las fuerzas intermoleculares altas, lo que explica su poca compresibilidad; y finalmente en los sólidos las distancias intermoleculares son muy bajas y las fuerzas intermoleculares muy altas.
Todos los fluidos están compuestos de moléculas en constante movimiento; sin embargo en la mayor parte de las aplicaciones, lo que interesa son los efectos promedio o macroscópicos de muchas moléculas; estos efectos macroscópicos son los que se perciben y se miden; con lo que se trata al fluido como una sustancia infinitamente divisible, es decir un medio continuo , no considerando el comportamiento de las moléculas individuales, con lo que los valores de las propiedades son continuos y el modelo de comportamiento de la materia se denomina modelo continuo.
El concepto de medio continuo es la base de la mecánica de fluidos clásica. La suposición de medio continuo es válida al tratar el comportamiento de fluidos bajo condiciones normales. No obstante, falla siempre que la trayectoria libre media de las moléculas se vuelve del mismo orden de magnitud que la longitud característica significativa más pequeña del problema. En problemas tales como los flujos de un gas de muy baja densidad que se encuentra, por ejemplo, en los vuelos que llegan a las partes más altas de la atmósfera, se debe abandonar el concepto de medio continuo en favor de los puntos de vista microscópicos y por tanto con valores estocásticos de sus propiedades, teniendo que recurrir a los modelos moleculares.
(^1) Se define esfuerzo o tensión como una fuerza por unidad de área: un esfuerzo tangencial es la fuerza aplicada tangencialmente sobre un
elemento unitario de área; un esfuerzo normal es la fuerza aplicada perpendicularmente sobre un elemento unitario de área. (^2) Se define presión en un punto como el límite de la fuerza normal aplicada sobre un elemento de área, con el área tendiendo a cero.
F
d
d (^0)
En criterio para usar uno u otro modelo viene determinado por la relación citada anteriormente, entre el recorrido libre medio de las moléculas y la dimensión longitudinal característica del fenómeno a estudiar, al que se denomina número de K NUDSEN : Kn=l (^) m/L; así para valores de Kn<0,01, la teoría de los medios continuos da resultados correctos.
La hipótesis general del modelo continuo, es que todas las magnitudes fluidas (velocidad, presión, densidad, temperatura, viscosidad, compresibilidad,...) se pueden definir por una función continua de 4 variables: las 3 espaciales y el tiempo. La continuidad de las funciones que definen las magnitudes físicas del fluido, permite obtener valores de magnitudes en una posición e instante, a partir de los valores conocidos en puntos determinados y de sus variaciones parciales desde un punto a otro.
La hipótesis del modelo molecular, es que cada molécula tiene asociada una serie de propiedades (velocidad, energía cinética, temperatura,...); los valores de estas propiedades se conservan en su recorrido y solamente cuando chocan, con otras moléculas o con los contornos, intercambian cantidades de estas propiedades (la distancia entre dos choques consecutivos es el recorrido libre, y su valor medio es el recorrido libre medio).
1.3.1. MODELO MOLECULAR: ESTRUCTURA MOLECULAR DE LA MATERIA.
La materia (sólido, líquido o gas) está compuesta por moléculas en movimiento continuo interaccionado mutuamente entre ellas. Las fuerzas de interacción entre moléculas, son debidas tanto a su energía cinética (determinadas por su velocidad), como a su energía potencial (asociada a sus posiciones relativas).
La fuerza de interacción intermolecular debida a la separación entre moléculas, se puede determinar a partir de la energía potencial de interacción entre moléculas. En el caso de los fluidos, ésta energía viene dada por la función potencial de LENNARD -J ONES :
6 0
12 0 (^12 0) d
d d
d e (d) e 1.1.
En donde: “d” es la distancia intermolecular entre dos moléculas (1 y 2): (^) d =r 1 −r 2
“d (^) 0” es la distancia crítica, por debajo de la cual las fuerza es positiva (repulsiva) “e 0 ” es una constante que depende del tipo de molécula
Con lo que la fuerza de interacción molecular es: d
r r d
d d
d 2 d
e 6 r
e (d) F 1 2
7 0
13 0 0
0 1
12 12
En la representación gráfica de la fuerza intermolecular vs distancia intermolecular, se observa que para distancias menores que la crítica, la fuerza de repulsión es muy grande y cada vez mayor conforme disminuye la distancia, debido a la repulsión electrostática entre las nubes de electrones. Para distancias mayores que la crítica, las moléculas se atraen débilmente debidos a la formación de dipolos (fuerzas de Van der W AALS ). La distancia crítica es del orden del tamaño característico molecular: d 0 ≈ 3·10 -10^ m.
Fig.1.Fuerza Intermolecular en función de la distancia intermolecular
1.3.2. MODELO CONTINUO: COMPORTAMIENTO MACROSCÓPICO.
El estudio de los fluidos a partir del modelo molecular, lleva consigo dos dificultades insoslayables: el gran número de moléculas de las que hay que conocer su posición, velocidad y energía; y la imposibilidad experimental de un contraste microscópico por el tamaño macroscópico de los sensores. Así en tan solo 1 mm^3 , si se trata de un gas del orden de 10^16 moléculas, y de 10 19 moléculas en el caso de un líquido. Concretando, para nitrógeno en condiciones normales, en 1 mm^2 , el número de moléculas es de 2,504·10^16 ; y para agua es de 3,346·10 19.
( ) 2 , 504 · 10 moléculas 28 kg/kmol
6023 · 10 moléculas/kmol · m
kg 10 m· 1 , 164 M
N
n N V··^16
23 3
A 9 3 2 =^ ρ = =
−
( ) (^3) , 346 · 10 moléculas 18 kg/kmol
6023 · 10 moléculas/kmol · m
kg 10 m· 1000 M
N
n H O V· ·^19
23 3
A 9 3 2 =^ ρ = =
−
En cuando a la validación de los resultados del modelo continuo, se tienen que realizar medidas experimentales, en donde el tamaño de muestra en donde se promedian las propiedades, es excesivamente grande (tamaño del sensor), en comparación con los tamaños moleculares. Así, si “d” es la distancia típica entre moléculas, el tamaño macroscópico del volumen de promedio en la medida debería ser del orden de d^3 , lo que lleva a volúmenes de medida extremadamente pequeños: del orden de 10-18^ mm^3 para gases y del orden de 10- mm^3 para líquidos.
Si consideramos como magnitud a determinar la densidad (masa de fluido contenida en un determinado volumen), si consideramos volumenes próximos al determinado por la distancia típica entre moléculas (10 - mm^3 para líquidos, y 10 -18^ mm^3 para gases); estamos considerando un modelo molecular, con lo que la densidad esta fluctuando entorno a un valor medio, debido a que el número de moléculas contenidas en el volumen considerado esta cambiando continuamente. Evidentemente, estos volumenes son inabordables experimentalmente.
Fig.2. Densidad en función del volumen de ensayo.
Si para evitar las dificultades del modelo molecular, se considera un determinado volumen de fluido “∆V” experimentalmente abordable, de tal forma que se definen las siguientes funciones locales en cada posición e instante:
Densidad local: V
m (r,t) lim
N(V)
11
i
V (^0) ∆
ρ =
∑
∆
= ∆ →
Velocidad local:
∑
∑ ∆
=
∆
= ∆ →
= N(V)
i 1
i
N(V)
i 1
i i
V 0 m
mv v(r,t) lim
Energía: local:
∑
∑ ∑ ∑ ∆
=
∆
= ≠
∆
=
∆
= ∆ →
= N(V)
i 1
i
N(V)
j 1 (ji)
ij
N(V)
i 1
N(V)
i 1
2 i i
V 0 m
e 2
mv 2
E( r,t) lim ; especifica: v(r,t) u(r,t) 2
m
E( r,t)^2 N(V)
i 1
i
∑
∆
=
En donde N(∆V) es el número de moléculas contenidas en el volumen ∆V en el instante “t”; r es el vector de posición del punto en donde se consideran las propiedades locales; mi es la masa de una determinada
molécula, v (^) isu velocidad molecular; eij su energía potencial (ver Ec. 1.1.). La energía interna “u” contenida en
el elemento de volumen, esta asociada a la energía cinética de agitación molecular y a energía potencial por las posiciones relativas de las moléculas.
Así pues con el modelo continuo, se trata de determinar como funciones de la posición y el tiempo: la densidad, las tres componentes de la velocidad y la energía interna. Para lo cual, se aplicaran las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y de energía, a un determinado volumen de fluido.
1.4. VISCOSIDAD.
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por otros medios continuos. La viscosidad es el parámetro del fluido que controla el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular; determinando la relación entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que la que se produce la deformación del fluido.
Consideremos una determinada agrupación de moléculas, en la que sobre un elemento de área, el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial. A la fuerza por unidad de área se le va denominar tensión, con lo que en este caso, se tienen tensiones tangenciales, de corte o de cizalla: τ.
En el caso de un sólido , una tensión cortante, origina una deformación; la deformación unitaria (∆α/α) por unidad de tensión de corte (τ) es constante, en la zona de comportamiento elástico lineal del sólido; es decir para un determinado valor de la tensión de corte, el sólido experimenta una deformación constante, cuya magnitud depende intrínsecamente del tipo de material. La constante es el módulo de elasticidad de cizalla: G.
G
∆α α
τ
G
∆α τ = α G
∆α τ
α
3D 2D (dt) 2D (2.dt, … ∀t )
EN UN SÓLIDO , UNA TENSION DE CORTE CONSTANTE, PROVOCA UNA DEFORMACIÓN CONSTANTE
En el caso de un FLUIDO , una tensión cortante, origina una deformación que va aumentando con el tiempo. La velocidad de deformación (dα/dt) depende del esfuerzo de corte aplicado y del fluido. La velocidad de la deformación, por unidad de tensión de corte (τ) es constante , es decir para un determinado valor de la tensión de corte, el fluido experimenta una velocidad de deformación constante, cuya magnitud depende intrínsecamente del tipo de fluido. La constante es el coeficiente de viscosidad tangencial: μ.
d α/ dt μ = τ
d dt
α τ = μ
3D 2D (dt) 2D (2.dt) 2D (3.dt)
EN UN FLUIDO , UNA TENSION DE CORTE CONSTANTE, PROVOCA UNA VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN CONSTANTE
dA
dFt
α
dα
τ=dFt/dA
dα
τ
dA
dFt
α
dα 2.dα
τ τ
3.dα
τ
Los fluidos con relación lineal entre tensiones tangenciales y gradiente de velocidad, se denominan newtonianos y la ecuación anterior se denomina ley de Newton de viscosidad.
En toda la extensión del fluido (desde la placa superior a la inferior) se presenta un estado de tensiones tangenciales: la zona de mayor velocidad produce un arrastre sobre la zona más lenta. Suponiendo un flujo de Coutte^4 , en donde el fluido tiene un movimiento unidimensional, en donde la velocidad de cada partícula es paralela al eje de las placas (OX), se puede concluir que el gradiente de velocidad esta marcando la velocidad de deformación del fluido:
Y dα
A B A’ B’ u+du
dy C D C’ D’ u
O X
Las partículas C y D se mueven a la misma velocidad (u), las partículas A y B se mueven a la misma velocidad y un poco más rápidas (u+du) que las inferiores, por lo que al cabo de un instante de tiempo (dt) las partículas ocupan nuevas posiciones (‘), y debido a la diferencia de velocidades, las partículas superiores avanzan más que las inferiores, dando lugar a una deformación angular (dα):
d Velocidad de deformacion = AA'-CC' (u du)dt u dt du dt d du (^) dt d =tg(d )= dy dy dy dt dy du Gradiente de velocidad = dt
α
Es decir, la velocidad de deformación viene determinada por el gradiente de velocidad:
d du dt dy
α
Las fuerzas de contacto por unidad de área de contacto, se denominan esfuerzos viscosos. En el caso unidimensional anterior, para un fluido newtoniano, solo aparece un esfuerzo tangencial en la dirección del flujo, que es proporcional al gradiente de velocidad, a través del coeficiente de viscosidad μ, que se denomina viscosidad , viscosidad absoluta o viscosidad dinámica.
La generalización a un flujo tridimensional , lleva a tener esfuerzos viscosos, tanto tangenciales, como normales 5 ; lo que da lugar a dos coeficientes de viscosidad: uno de los esfuerzos viscosos normales, que se denota por λ, y otro de los esfuerzos viscosos tangenciales, que se denota por μ. En coordenadas cartesianas, los esfuerzos normales dan lugar a 3 componentes: τxx, τyy, τzz ; y los tangenciales a 6 componentes: τxy, τxz , τyxτyz ,
τzx, τzy; con lo que se tiene el tensor de tensiones viscosas:
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
τ τ τ = τ τ τ τ τ τ
τ
Para fluidos newtonianos , las componentes del tensor de tensiones viscosas, vienen determinadas por los
diversos gradientes direccionales de la velocidad ( v = ui + v j +wk
r r r r ), a partir de la Ec. de Navier-Poisson:
= λ ( ⋅ v ) ⋅ 1 + 2 μ ⋅ r (^) & τ ∇ ε 1.5.
(^4) Flujo de COUTTE : flujo laminar entre placas planas paralelas horizontales, con número de Reynolds: Re = Uhρ/μ <1500, en donde U es la
velocidad de la placa superior, h la separación entre placas, ρ la densidad del fluido y μ su viscosidad absoluta.
(^5) En el movimiento relativo entre partículas del fluido, los intercambios de cantidad de movimiento entre partículas, tienen lugar en los
“contactos” o “choques” entre ellas. La dirección relativa del choque, puede descomponerse en dos componentes: la tangencial a la superficie de contacto y la normal a la superficie de contacto. No hay que confundir los esfuerzos viscosos normales, con los esfuerzos normales debidos a la presión termodinámica.
En donde,
∇ ⋅v es el tensor gradiente de velocidad, y
ε& el tensor de velocidad de deformación:
z
u
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
v
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
y
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
E
xx yy zz
xy yx xz zx zy yz
u v w u u v w v u v w w 2 ; 2 ; 2 x y z x x y z y x y z z u v u w w y x z x
τ = λ (^) ⎜ + + (^) ⎟ + μ τ = λ (^) ⎜ + + (^) ⎟ + μ τ = λ (^) ⎜ + + (^) ⎟+ μ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂^ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂^ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂ ⎛ (^) ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ τ = τ = μ (^) ⎜ + (^) ⎟ τ = τ = μ (^) ⎜ + (^) ⎟ τ = τ = μ ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ ⎝^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂
v y z
newtoniano
u v w u u v u w 2 x y z x y x z x u v u v w v y w 2 y x x y z y z y u w y w u v w w 2 z x z y x y z z
λ (^) ⎜ + + (^) ⎟ + μ μ (^) ⎜ + (^) ⎟ μ (^) ⎜ + ⎟ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂^ ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ ⎝^ ∂^ ∂ ⎠ ⎛ (^) ∂ ∂ ⎞ ⎛ (^) ∂ ∂ ∂ ⎞ (^) ∂ ⎛ (^) ∂ ∂ ⎞ = μ (^) ⎜ + (^) ⎟ λ (^) ⎜ + + (^) ⎟ + μ μ (^) ⎜ + ⎟ ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂^ ⎝ ∂^ ∂ ⎠ ⎛ ∂^ ∂^ ⎞ ⎛^ ∂^ ∂^ ⎞^ ⎛^ ∂^ ∂^ ∂^ ⎞ ∂ μ (^) ⎜ + (^) ⎟ μ (^) ⎜ + (^) ⎟ λ (^) ⎜ + + (^) ⎟+ μ ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ (^) ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂
τ
Si además el flujo es incompresible , la divergencia de la velocidad es nula, con lo que:
newtoniano incompresible
u u v u w 2 x y x z x u v v y w 2 y x y z y u w y w w 2 z x z y z
μ μ (^) ⎜ + (^) ⎟ μ (^) ⎜ + ⎟ ∂ (^) ⎝ ∂ ∂ (^) ⎠ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ∂ ⎞ = μ (^) ⎜ + (^) ⎟ μ μ (^) ⎜ + ⎟ ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ ∂^ ⎝ ∂^ ∂ ⎠ ⎛ ∂^ ∂^ ⎞ ⎛^ ∂^ ∂^ ⎞ ∂ μ (^) ⎜ + (^) ⎟ μ (^) ⎜ + (^) ⎟ μ ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ (^) ⎝ ∂^ ∂^ ⎠ ∂
τ 1.6.
En un flujo incompresible , el valor medio de los esfuerzos viscosos normales es nulo, con lo que el promedio de los esfuerzos normales es la presión termodinámica^6.
N
u v w p 2 p 2 p 2 x y z (^2) u v w p p 3 3 x y z
⎛ ∂ ⎞ ⎛^ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞
⎜ −^ +^ μ^ ⎟ +^ ⎜ −^ +^ μ^ ⎟ +^ ⎜ −^ +^ μ ⎟ ⎝ ∂^ ⎠ (^) ⎝ ∂^ ⎠ ⎝ ∂^ ⎠ μ^ ⎛^ ∂^ ∂^ ∂ ⎞ σ = = − + (^) ⎜ + + (^) ⎟= − ⎝ ∂^ ∂^ ∂ ⎠
(^6) Los esfuerzos normales tienen dos términos, los debidos a la presión termodinámica y los debidos a la viscosidad: σii=-p+τii
Esfuerzo tangencial
velocidad de deformación
COMPORTAMIENTO REOLOGICO DE DISTINTOS FLUIDOS: RELACION ENTRE ESFUERZO DE CORTE Y VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN
En el flujo unidimensional: V = u y( )⋅i
ur r ; el único término del gradiente de velocidad es du/dy, con lo
que el módulo de la tensión tangencial, para cada uno de los distintos fluidos considerados es:
Fluido newtoniano: ley de Newton de viscosidad du dy
τ = μ
Plástico ideal de Bingham: (^0) du dy
τ = τ + μ
Pseudoplástico y Fluido dilatante: ley de Ostwald-de Waele
n du dy
τ = κ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ κ = índice de viscosidad (unidades: Pa·sn) n = exponente del gradiente de velocidad n<1 pseudoplástico (en el diagrama reológico, pendiente monótona decreciente) n>1 fluido dilatante (en el diagrama reológico, pendiente monótona creciente)
Normalmente, bajo una determinada tensión tangencial, la velocidad de deformación no varia con el tiempo; pero en determinados fluidos, la velocidad de deformación puede aumentar con el tiempo: fluido reopéctico , o puede disminuir con el tiempo: fluido tixotrópico.
PLÁSTICO IDEAL DE BINGHAM
FLUIDO DILATANTE
FLUIDO NEWTONIANO
PSEUDOPLÁSTICO
FLUIDO IDEAL (NO VISCOSO
FLUIDO REOPÉCTICO
FLUIDO TIXOTRÓPICO
Velocidad de deformación
tiempo
PLÁSTICO
1.4.3. EFECTO DE LA TEMPERATURA SOBRE LA VISCOSIDAD.
El efecto de la variación de temperatura sobre la viscosidad, es totalmente distinto en gases y en líquidos, por la distinta estructura molecular, en cuanto a distancias y fuerzas intermoleculares: los gases tienen grandes recorrido libres medios como consecuencia de sus altas distancias intermoleculares, y en los líquidos el recorrido libre medio es bajo, debido a altas fuerzas intermoleculares y bajas distancias intermoleculares.
En aumento de temperatura da lugar a un aumento del movimiento molecular y a un aumento de las distancias intermoleculares. En el caso de los gases , el aumento de temperatura fundamentalmente hace aumentar el intercambio de energía entre moléculas, con lo que los efectos viscosos de transmisión de cantidad de movimiento se ven aumentados, es decir hay un aumento de viscosidad; el otro efecto de aumento de distancias intermoleculares no es importante, por el hecho de que en gases estas distancias ya son de por si muy altas. En el caso de los líquidos , el aumento de temperatura aumenta la separación molecular, disminuyendo las interacciones entre las moléculas, con lo que hay una disminución de transmisión de cantidad de movimiento y con ello de viscosidad. Es decir, el comportamiento de la viscosidad ante la temperatura, es totalmente diferente en gases y en líquidos: en gases un aumento de temperatura hace aumentar la viscosidad, y en líquido un aumento de temperatura hace disminuir la viscosidad.
Para evaluar la dependencia de la viscosidad con la temperatura se siguen las siguientes expresiones empíricas:
para gases: ecuación exponencial: (^) ( 0 ) T 0, μ = μ (^0) T 1.7.
ecuación de S UTHERLAND :
3 / 2 0 0 T^1 kT T 0 1 kT
μ = μ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ +
para líquidos: ecuación exponencial: (^) e 0
0 T KT T 0
− μ =μ ⋅ 1.9.
1.4.4. UNIDADES DE VISCOSIDAD.
Las dimensiones de la viscosidad absoluta son: [μ] = ML-1T-1^ ; en el SI 7 las unidades de viscosidad serán por lo tanto de kg/ms. A partir de la ley de Newton de viscosidad, se puede ver que la viscosidad es producto de una tensión por un tiempo, con lo también se puede expresar la unidad de viscosidad en el SI como Pa·s.
En el sistema CGS, las unidades de viscosidad son g/cm.s , que se denomina poise (P), en honor a Jean L. POISEUILLE, que estableció la ecuación de medida experimental de la viscosidad, a partir de la caída de presión en flujo laminar en tuberías. Debido a que la viscosidad del agua a 1atm y 20ºC es del orden de 0,01P, es decir un centipoise , que al a vez es igual a un milipascal por segundo: 1 cP = 1 mPa·s ; por lo cual son usuales ambos términos en la unidad de viscosidad absoluta.
El cociente entre la viscosidad absoluta y la densidad, se denomina viscosidad cinemática. Las dimensiones de la viscosidad cinemática son: [ν] = L^2 T-1^ , con lo que en el SI las unidades son: m^2 /s. En el sistema CGS la unidad es el cm^2 /s que se denomina stokes (St) en honor a George G. STOKES, que estableció en el estudio de la fuerza de arrastre de un fluido sobre una esfera, la ecuación que determina la viscosidad cinemática en función de la fuerza de arrastre, de la velocidad y del diámetro de la esfera (para Re<1 la ecuación coincide con los resultados experimentales). Debido a que la viscosidad cinemática del agua a 1atm y 20ºC es del orden de 0,01St, es decir un centistoke , es usual este termino como unidad de viscosidad cinemática.
La relación de unidades de viscosidad en los sistemas de unidades SI y CGS es:
viscosidad absoluta o dinámica (μ): 1 P = 0,1 Pa.s 1cP = 10 -3^ Pa.s = 1 mPa·s viscosidad cinemática (ν): 1 St = 10-4^ m^2 /s 1cSt = 10 -6^ m^2 /s
(^7) Sistema internacional de unidades, con 7 unidades fundamentales: metro (m) para la longitud, kilogramo (kg) para la masa, segundo (s)
para el tiempo, kelvin (K) para la temperatura absoluta, mol (mol) para la cantidad de materia, amperio (A) para la intensidad de corriente eléctrica, y candela (cd) para la intensidad de luz.
1.5. COMPRESIBILIDAD.
Consideremos en una determinada agrupación de partículas, un elemento de área de su contorno, sobre el que el resto del fluido esta ejerciendo una fuerza; a su componente normal por unidad de área se le denomina tensión normal o presión: p.
Para todo tipo de materia (sólido, líquido o gas), el aumento de presión (∆p), origina siempre una disminución de volumen (∆V). En la zona de elasticidad lineal de los materiales, la variación unitaria de volumen (∆V/V) por unidad de presión ( (∆V/V)/∆p), es una constante, que viene determinada por las características elásticas del material, a través del módulo de elasticidad volumétrica o módulo de compresibilidad : p K V / V
Para los sólidos, K es muy grande, para líquidos K es grande y para gases K es pequeño. El signo “-“, es debido a que los sentidos de las variaciones de presión y de volumen son contrarios, es decir ante un aumento de presión, el volumen disminuye.
Centrándonos, en el campo de los fluidos, si consideramos magnitudes elementales, si un determinado volumen de fluido (V) se somete a un aumento de presión (dp), el volumen se reduce en un determinado valor (dV), denominando módulo de compresibilidad del fluido a:
dp K V dV
Un fluido poco compresible (líquidos) tiene alto módulo de compresibilidad y un fluido muy compresible (gases) tiene bajo módulo de compresibilidad. Para poder evaluar los cambios de presión y volumen (dP/dV), es necesario tener en cuenta el tipo de proceso de compresión: isotermo^ (a temperatura constante),^ isentrópico (adiabático sin efectos disipativos),... Lo que da lugar a la definición de los siguientes módulos:
Módulo de compresibilidad isotermo : (^) T T
p K V V
Módulo de compresibilidad isentrópico : (^) S S
p K V V
Las ecuaciones anteriores se suelen expresar en función de términos de densidad en vez de volumen^8 , quedando como expresiones del módulo de compresibilidad:
T S T S
p K K p
⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ρ⎞ = ρ (^) ⎜ ⎟ = ρ⎜ ⎟ ⎝ ∂ρ^ ⎠ ⎝ ∂ ⎠
En el caso de líquidos, los dos módulos son prácticamente iguales; en cambio en gases, el módulo isotermo es siempre menor que el isentrópico. Así, agua a 20ºC y 1 atm, tiene un módulo de compresibilidad de 2200 MPa; en cambio, aire a 20ºC y 1 atm, tiene un módulo isotermo de 0,1013 MPa, y un módulo isentrópico de 0,1418 MPa.
Otra forma de evaluar la compresibilidad de un fluido , es la velocidad con la que se transmiten pequeñas perturbaciones en el seno del propio fluido; a esa velocidad se le denomina velocidad sónica o velocidad del sonido y viene determinada por:
S S
p K a
⎝ ∂ρ^ ⎠ ρ 1.12. Los fluidos compresibles tienen bajas velocidades sónicas y los fluidos incompresibles tienen altas velocidades sónicas; así a 20ºC y 1atm, la velocidad del sonido en agua es de 1483,2 m/s, y la velocidad del sonido en aire es de 331,3 m/s.
(^8) V=m/ρ; como m es constante, dV=-mdρ/ρ (^2) , con lo que-V/dV=ρ/dρ. Evidentemente, ante un aumento de presión, la densidad aumenta
1.6. TENSION SUPERFICIAL.
En un líquido las fuerzas intermoleculares son relativamente grandes, con lo que no puede expansionarse libremente; así en contacto con otro líquido o con un gas, forma una interfase. Las moléculas del interior del líquido se repelen mutuamente hasta la distancia intermolecular (marcada por el equilibrio de las fuerzas de repulsión con las de atracción); en cambio las moléculas de la superficie libre, están en desequilibrio.
Para que el desequilibrio provocado por las moléculas de la interfase sea mínimo, se debe tener el mínimo número de moléculas, con lo que en cada caso la superficie libre^9 es la de mínima área, en función del resto de fuerzas que actúen.
En una superficie libre, la energía que se necesita para mantener un determinado número de moléculas en un elemento de área, es una propiedad inherente a la interfase, y se denomina tensión superficial: σ.
dE dA
σ = 1.13.
Así, por ejemplo, en la interfase agua-aire, a 20ºC y 1 atm, la tensión superficial tiene un valor de 728 J/cm^2 ; es decir para aumentar la superficie libre en 1cm^2 se necesitaría una energía de 728 J, que habría que aportar a las moléculas del interior para que pasen a la superficie.
Una consideración más clásica, es considerar la tensión superficial, como la fuerza elemental, que por unidad de longitud, mantiene unidas a las moléculas de la superficie, situadas a lo largo del elemento de longitud: σ = dF/dL. Lo que lleva a considerar normalmente como unidades de la tensión superficial N/m en el S.I.; evidentemente la definición energética es coherente, pues J/m^2 = N/m.
En la tabla siguiente se dan valores de tensiones superficiales de algunos líquidos con distintas interfases, a una temperatura de 20ºC:
líquido interfase σ (Ν /m)
agua aire 0, mercurio aire 0, mercurio agua 0, metanol aire 0,
El desequilibrio originado en la interfase por la tensión superficial, da lugar a una serie de fenómenos:
- interacción con una pared sólida (líquidos que mojan o no mojan la superficie de contacto, ascenso- descenso de la superficie libre en tubos capilares)
- flotación de objetos en la superficie libre (flotación de una aguja, sustentación de insectos)
- formación de gotas (una gota de agua en suspensión en aire (niebla) prácticamente sólo está sometida a la tensión superficial, que le hace adquirir la menor superficie posible, es decir adquiere la forma esférica).
- evaporación superficial (las menores fuerzas intermoleculares de las moléculas de la superficie, con respecto a las del interior, hace que por efectos de agitación térmica, continuamente exista una migración de moléculas de la superficie libre hacía el exterior (proceso evaporación superficial).
(^9) La superficie libre, es la interfase entre un líquido y un fluido (líquido o gas); es decir se pueden tener dos tipos de
interfases: líquido-líquido y líquido-gas. Además, la interfase viene determinado por los contactos con paredes sólidas.
Estrictamente, la geometría del menisco, depende de las propiedades de tensión superficial y adherencia, asociadas a un conjunto de: líquido-gas-sólido; es decir, la formación de una superficie libre de un líquido, por encima del cual hay un gas, y cerca de una determinada pared sólida. La superficie libre de una interfase líquido-gas (o líquido-líquido) en contacto con una pared sólida, adquiere una curvatura con un determinado ángulo de contacto; cuyo valor depende del conjunto líquido-gas-sólido; si el líquido moja a la superficie, el ángulo de contacto es menor de 90º; si el líquido no moja a la superficie, el ángulo de contacto es mayor de 90º:
θ <90º θ >90º
líquido moja la pared líquido no moja la pared
Así agua o etanol con superficie libre al aire y en contacto con vidrio tienen valores del ángulo de contacto prácticamente nulo (a temperatura normal de 20ºC): θ ≅ 0º; y en las mismas condiciones, el mercurio tiene un ángulo de contacto entre 130º y 150º.
CAPILARIDAD: cuando un tubo fino se introduce en la superficie libre de un líquido, el líquido asciende o desciende por el interior del tubo, debido a las fuerzas de tensión superficial y las fuerzas de contacto entre el líquido y las paredes del tubo. Este fenómeno se denomina capilaridad, y explica, por ejemplo, como asciende la savia por el tronco de un árbol.
La existencia de un determinado ángulo de contacto, explica el ascenso o descenso del líquido por el interior del tubo, cuando este se introduce en un determinado líquido; si el líquido “moja” el ángulo de contacto es menor de 90º y se tiene un ascenso capilar del líquido por el tubo; si el líquido “no moja” el ángulo de contacto es mayor de 90º y se tiene un descenso capilar del líquido por el tubo:
θ σ.dl θ < 90 º
h (ascenso capilar)
D h (descenso capilar)
θ > 90º
El equilibrio de fuerzas sobre la masa de líquido que asciende por el tubo capilar, se establece entre la componente vertical de las fuerzas de tensión superficial y el peso de la columna de líquido; este equilibrio da una expresión de la altura “h” a la que asciende (desciende si θ>90º) el líquido, que se denomina ley de JURIN :
g D
4 cos h ρ
σ θ = (^) 1.16.
componente vertical de la fuerza de tensión superficial sobre el borde de contacto (de longitud π.D) = σ.π.D.cosθ fuerza vertical gravitaroria sobre la columna de fluido que asciende = mg = ρ.h.πD^2 / equilibrio de fuerza sobre la masa de fluido que asciende por el tubo capilar: σ π D cosθ = ρ h πD^2 /4 .... h = 4σ cosθ / ρgD
Por los bajos valores de la tensión superficial, sólo son apreciables los ascensos-descensos capilares, en tubos de diámetros muy pequeños, que se denominan capilares; y que da el nombre al fenómeno. Así para agua en aire y tubos de vidrio, con valores del ángulo de contacto de aproximadamente 0º y tensión superfical con un valor de 0,0728 N/m , se tienen los siguientes valores del ascenso capilar, para distintos diámetros de los tubos:
h(mm) 297 29,7 2,97 0, D(mm) 0,1 1 10 100
En tubos capilares, el menisco es prácticamente un casquete esférico, con un radio de curvatura dado por: R=r/cos θ, en donde r es el radio interior del capilar. A partir de la ley de LAPLAC E, la sobrepresión asociada a la curvatura será: ∆p=2σ/R=2σ.cosθ/r; con lo que la altura a la que asciende el nivel del líquido será:
p 2 cos / r 2 h cos g g gr
∆ σ ⋅ θ σ = = = θ ρ ρ ρ
, que es la ecuación de JURIN
1.7. PRESIÓN, DENSIDAD Y TEMPERATURA.
La relación entre las variables presión, densidad y temperatura, viene determinada por la denominada ecuación térmica de estado: f(p,ρ, T) = 0; en el caso de considerar un gas ideal (no hay interacciones intermoleculares), esta ecuación es la dada por las leyes de BOYLE y CHARLES , o ecuación térmica de estado para un gas ideal:
p = ρ R T 1.17.
La presión , puede definirse en un medio continuo, como la fuerza normal por unidad de área en el límite
de área nula (un punto): A
F
p lim n A (^0) ∆
∆→
De una forma más estricta, en el estado de tensión de un fluido, se tienen esfuerzos tangenciales y esfuerzos normales; existiendo 3 tensiones normales (en coordenadas cartesianas σx, σy, σz ); las tensiones normales vienen determinadas por los esfuerzos viscosos normales y por la presión termodinámica:
σx = - p + τxx σy = - p + τyy
σz = - p + τzz
El promedio de las tres tensiones normales (cambiado de signo), se denomina presión media:
x y z xx yy zz xx yy zz MEDIA
( p ) ( p ) ( p ) p p 3 3 3
σ + σ + σ − + τ + − + τ + − + τ τ + τ + τ = − = − = −
En el caso de un fluido newtoniano, las tensiones viscosas son proporcionales a las componentes del gradiente de velocidad:
xx
yy
zz
u v w u 2 x y z x u v w v 2 x y z y u v w w 2 x y z z
τ = λ (^) ⎜ + + (^) ⎟+ μ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∂ τ = λ (^) ⎜ + + (^) ⎟+ μ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∂ τ = λ (^) ⎜ + + (^) ⎟+ μ ⎝ ∂^ ∂^ ∂^ ⎠ ∂
