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Unidad 8. Derivadas BACHILLERATO Matemáticas II
Resuelve
Página 239
Función derivada
■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g ( x ) es una función cuyo comportamiento respon- de al de la derivada de f ( x ).
t &OFMJOUFSWBMP a b f x FTEFDSFDJFOUF 1PSUBOUP TVEFSJWBEBFTOFHBUJWB&TMPRVF MFQBTBB g x FO a b t -BEFSJWBEBEF f FO b FT f ' b :UBNCJÏOFT g b t &OHFOFSBM g x f ' x EPOEF f x UJFOFUBOHFOUF IPSJ[POUBM g x f ' x EPOEF f x FTDSFDJFOUF g x f ' x EPOEF f x FTEFDSFDJFOUF
y = f ( x )
y = g ( x ) = f' ( x )
a
b
a
b
■ Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una. # " $ -B EFSJWBEB TF BOVMB FO MPT QVOUPT EF UBO- HFOUFIPSJ[POUBM FTQPTJUJWBEPOEFMBGVODJØO FT DSFDJFOUF Z FT OFHBUJWB EPOEF MB GVODJØO EFDSFDF
A
1
B
2
C
3
Matemáticas II
1 Derivada de una función en un punto
Página 241
1 Halla, paso a paso, las derivadas siguientes:
a) 4 x – x^2 en x 0 = 3 b) x^3 en x 0 = 2
c) x
(^1) en x 0 = 2
d) ( x – 3) 2 en x 0 = 1
B f^^3 f^3 4 3^3 3 12 4 9 6 3 h
h – h
h – h – h
- (^) + + (^2) + h – – h – h 2 – (^) –h –
f ' l mí h 8
f 3 f 3 h
C
f 2 f (^2 2 8 8 12 6 ) 6 12 h
h – h
h – h
h h h – (^) h h
+^ +^ +^ +^ +
f ' l mí h 8
f 2 f 2 h
I^2 I
D
f 2 f 2 – 2
h
h – h
h h
f ' l mí h 8
f 2 f 2 h
h
E
f 1 f (^1 1 3 4 2 ) 4 h
h – h
h – – h
- (^) + (^2) h – 2 – (^) h –
f ' l mí h 8
f 1 f 1 h
2 Halla, paso a paso, la derivada lateral f ' (0+) de f ( x ) = x y justifica la respuesta.
4JI
f f (^) 1 h
h – h
h h
l mí h 8
f f h
h
Ǖ→/PFYJTUF f ' +^
3 ¿Qué condición debe cumplir una función, f , para ser derivable en el intervalo [1, 5)?
1BSBRVF f TFBEFSJWBCMFFO< EFCFTFSMPFOFMJOUFSWBMPBCJFSUP Z BEFNÈT EFCFFYJTUJSMB EFSJWBEBMBUFSBM f ' +^
Matemáticas II
7 Calcula m y n para que f ( x ) sea derivable en :
f ( x ) =
x mx x n
x x
2 2
t 4J x ǘ MBGVODJØOFTDPOUJOVBZEFSJWBCMF QVFTFTUÈGPSNBEBQPSEPTQPMJOPNJPT t $POUJOVJEBEFO x
l m f x l m x mx
l m l m
f
í í –
í í
8 8
8 8
x x
x x
2
2
– ^
+ f x^ ^ – x^ n^ n
_
`
a
b bb
b b
1BSBRVF f x TFBDPOUJOVBFO x IBEFTFS n t %FSJWBCJMJEBEFO x
l m f x l m x m m f
l m f x l m x f
í í
í í
8 8
8 8
x x
x x
-^ ^ – ^
+ ^ + ^ ^ +
4
1BSBRVFTFBEFSJWBCMFFO x IBEFTFSo m → m 1PSUBOUP f x FTEFSJWBCMFFOÁQBSB m Z n
Matemáticas II
3 Reglas de derivación
Página 247
1 Utiliza las reglas de derivación para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) f ( x ) = x
x 1
b) f ( x ) = x
x 1
c) f ( x ) = ln x
x 1
d) f ( x ) = tg x
tg x 1
e) f ( x ) = tg x
tg x 1
f ) f ( x ) = ln e tg x
g) f ( x ) = 3 x^ +^1 h) f ( x ) = log ( sen x · cosx )^2 i) f ( x ) = tg^2 x + sen^2 x j) f ( x ) = sen x + 1 · cos x – 1 k) f ( x ) = arc sen x l) f ( x ) = sen ( 3 x^5 – 2 x +^32 x ) m) f ( x ) = sen x + x^2 + 1 n) f ( x ) = cos^2 3 x +( 3 – x )^2
B f ' x r^ r x
x x x
x x 1 x
+^2 2
C 6UJMJ[BNPTFMSFTVMUBEPPCUFOJEPFOB
f ' x · x 2^ x^ x^ x^ x 1
(^2 )
D 6UJMJ[BNPTFMSFTVMUBEPPCUFOJEPFOB
f ' x · x
x (^) x x x
x x 1
2 2 2
%FPUSBGPSNB4JUPNBNPTMPHBSJUNPTQSFWJBNFOUF
f x ln o x o ln x %FSJWBNPT
f ' x x x (^) x
x x (^1) x
+ ^2
E f ' x r tg x
tg x tg x tg x tg x 1
2
2 2
tg x
tg x tg x tg x tg x
tg x 1
2
2 2
2
%FPUSBGPSNB4JUFOFNPTFODVFOUBFMSFTVMUBEPPCUFOJEPFOB
f ' x r < > r tg x
D tg x tg x
tg x tg x
tg x 1
– – –^ 2 1
2 2
2 2
2
F 5FOJFOEPFODVFOUBFMSFTVMUBEPPCUFOJEPFOE
f ' x
tg x
tg x (^) tg x
tg x tg x tg x
tg x
(^2 )
2
2 3
2
5BNCJÏOQPESÓBNPTIBCFSMMFHBEPBFTUFSFTVMUBEPVUJMJ[BOEPMPTSFTVMUBEPTEFMBQBSUBEPFOC
Matemáticas II
D f ' x 3 sen^2 x · D sen x < > + 2 cos x · D < cos x > + 1 3 sen^2 x · cos x – 2 cos x · sen x 1
f '' x 6 sen x · cos x – 3 sen^2 x · sen x 2 sen^2 x – 2 cos^2 x 6 sen x · cos^2 x – 3 sen x 3 + 2 sen x
f ''' x 6 cos x · cos^2 x + 6 sen x · 2 cos x · D < cos x > – 9 sen^2 x · D sen x < > + 4 sen x · D sen x < > – 4 cosx 6 cos^3 x – 12 sen^2 x · cos x – 9 sen^2 x · cos x 4 sen x · cos x 4 cosx · sen x
6 cos^3 x – 21 cos x · sen^2 x 8 cosx · sen x
3 Calcula f ' (1) siendo:
f ( x ) = x
x x (^) e 2 3
(^52)
(^3 )
f x · · ·
x
x (^) e x
x (^) x x e e (^) x e x 2 3 2 3
/ /
/ / / / (^) / / 2
4
(^3) 1 2 1 3 1 3 4 2 (^4 13) (^413)
f ' x ·^ e^ · x · e x 3
1PSUBOUP f ' ·^ e
13 ^94
4 Calcula f ' 6 b πl siendo:
f ( x ) = ( cos^2 3 x – sen^2 3 x ) · sen 6 x
f x cos 3 x sen 3 x · sen 6 x cos 6 x · sen 6 x sen^ x 2
f ' x cos^ x^ cos x 2
1PSUBOUP f ' π^ · cos π^ · cos π · 6
c m 12 6 2 6 1 6
5 Calcula f ' (0) siendo:
f ( x ) = ln x x 1 arc tg x 3
f x ln x x 1 arc tg x^ lnx x arc tg x 3
f ' x x x
x (^2) x
e o
x x
x (^2 2 2) x x
–^1
+ +^ +^
x x
x x x x x
x 2 2 2 x x
– –^2
x x
x x x x x
x x x
x 2 2 2
1PSUBOUP f '
Matemáticas II
4 Derivada de una función conociendo la de su inversa
Página 249
1 Halla ( f –1) ' ( x ) a partir de f ' ( x ):
a) f ( x ) = x^2 – 1, x ∈ [1, 3] b) f ( x ) = x^3
B y x^2 – 1 8 x y^2 – 1 8 y x 1 8 f –^1 x x + 1
f < f x > x ï x x 8 x r D < x > 8 D < x > x
C f –^1 x ^3 x
f < f x > x ï x x 8 x D < x > 8 D < x > x (^) x
(^3 2 )
2 f ( x ) = tg x , x ∈ π^ , π 2 2 b – l. Halla ( f –1) ' ( 3 ) de dos formas:
a) Obteniendo, previamente, ( f –1) ' ( x ). b) Directamente.
B f –1 x arc tg x
f < f –^1 x > x ï tg arc tg x 1 8 < 1 tg^2 arc tg x > · D arc tg x < > 18
→ x D arc tg x < > 8 D arc tg x < > x
f o^ ' 3 1 3
C f 3 arc tg 3 π 3
' π^ π
f f tg
2
c m + c m
:BRVF f ' x D < tg x > tg ^2 x
Matemáticas II
6 Derivación logarítmica
Página 251
1 Halla la función derivada de las funciones siguientes:
a) f ( x ) = ( cos x + 1) x^2 – 1 b) g ( x ) = x
x (^) sen x (^2) – 1
(^3 ) c) h ( x ) = ( cos x ) ex^
(^2) + 1
B ln f x x ^2 o ln cos x → ·
ln cos 8 f x cos
f x x x x x 2 1 1 sen x 1
→ f ' x cos ln cos cos x x x x 1 2 1 x^ sen x 1
= G
C ln g x ln < ln ln ln > x
x (^) sen x x x sen x 2
2 –^ –
(^3 2 ) f p
cos (^) 8 ' cos g x
g x x (^) x
x sen x
x (^) g x x
x (^) sen x x (^) x
x sen x
x 2
3 (^) e o e 2 o
D ln ln cos 8^ ' · · ln cos · 8 cos h x e x h x
h x (^) e x x e x x^^2 +^1 x^^2 +^1 2 + x^2 +^1 –^ sen x
→ h' x cos r ln cos cos
x e x x x
e x^^1 x^212 – sen x 2 + + ; E
Matemáticas II
8 Diferencial de una función
Página 257
1 Calcula Δ y , dy , Δ y – dy :
a) y = x^2 – x para x 0 = 3, dx 0 = 0, b) y = x^2 – 1 para x 0 = 2, dx 0 = 0, c) y = 3 x para x 0 = 125, dx 0 = 1
B Δ y y o y o
dy y' r dx x o r dx RVFFWBMVBEPFO x Z dx FT
r
Δ y o dy
C Δ y y o y o
dy y' r dx x
x (^2) – 1 r dx RVFFWBMVBEPFO x Z dx FT
Δ y o dy o
D Δ y y o y o
dy y' r dx 3 x
3 2 r dx^ RVFFWBMVBEPFO x Z dx FT
· ,
Δ y o dy o
2 A una bola de bronce de 7 cm de radio se le da un baño de plata de 0,2 mm de grosor.
Calcula la cantidad de plata empleada (aproximadamente, a partir de la diferencial).
V 3
(^4) π r 3
dV π r ^2 rI πr^2 r
4FFNQMFBO BQSPYJNBEBNFOUF DN^3 EFQMBUB
3 Calcula una aproximación de 3 126 dando los siguientes pasos:
t -MBNB f ( x ) = 3 x****. t 0CUÏO df para x (^) 0 = 125 y dx 0 = 1. t 0CUÏO f (126) ≈ f (125) + df (125) para dx 0 = 1.
f x 3 x
df f ' x r dx · x
dx 3
3 2 →&WBMVBEPFO x Z dx → df ^ ,
"TÓ
f Ǘ f df
Matemáticas II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 258
1. Definición de función derivada
Hazlo tú. Halla la función derivada de f ( x ) = x^2 – 4 utilizando la definición.
f ' x l mí h 8
f x f x h
h
- h 2 – – 2 – *OEFUFSNJOBDJØO
.VMUJQMJDBNPTOVNFSBEPSZEFOPNJOBEPSQPS x + h 2 – 4 + x^2 – 4 QBSBQPEFSTJNQMJëDBSMBGSBDDJØO
l mí h 8
x
x x
x 4
h h –
h –
2
2 2
2 2 2
l mí h 8
x
x x 4 x
h h – 4
h – – – (^2) –
2 2
+^2
l mí h 8
x
x x
x x
x 4 x
h h – 4 4
h h +^2 2 –^2 – 2 –
2. Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos
Hazlo tú. Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
f ( x ) =
x x x x
x x x
si – si – ≤ ≤ si
2 3
Representa las gráficas de f y f '****.
f x FTUÈEFëOJEBQPSGVODJPOFTQPMJOØNJDBTFOMPTJOUFSWBMPT oǕ o o Z Ǖ 1PSUBOUP FT DPOUJOVBZEFSJWBCMFFOFMMPT
&O x oFTDPOUJOVBQPSRVF l mí x 8 – 1 f x f o o
&O x OPMPFTQPSRVFOPFYJTUF l mí x 81 f x ZBRVFMPTMÓNJUFTMBUFSBMFTTPOEJTUJOUPT
l m í x l m x
í 3 3
8 8
x x
1
3
1
/PQVFEFTFSEFSJWBCMFFO x QPSOPTFSDPOUJOVB
f ' x ' '
x x
x x x
f f
TJ –
TJ –
TJ
2 –
(SÈëDBEF f x (SÈëDBEF f ' x
–4 –2 2 4
4 2
Y
X
–4 –2 2 4
4 2
Y
X
Matemáticas II
Página 259
3. Valor de un parámetro para que f sea derivable
Hazlo tú. Halla el valor que ha de tener a para que la siguiente función f ( x ) sea derivable en todo Á :
f ( x ) = ax x x
x x
si ≤ si >
4 2
f x FTUÈEFëOJEBQPSGVODJPOFTQPMJOØNJDBTFOMPTJOUFSWBMPT oǕ Z Ǖ 1PSUBOUP FTDPOUJOVB ZEFSJWBCMFFOFMMPT
$POUJOVJEBEFO x
(^) xl m í 8 f x f o→-BGVODJØOFTDPOUJOVBQBSBDVBMRVJFSWBMPSEF a
%FSJWBCJMJEBEFO x
f ' x
ax x x
x f x f
o TJ TJ
* → f x FTEFSJWBCMFQBSBDVBMRVJFSWBMPSEF a
1PSUBOUP MBGVODJØOFTEFSJWBCMFFOÁQBSBDVBMRVJFSWBMPSEF a
4. Función derivada
Hazlo tú. Calcula la función derivada de esta función y representa f y f '****.
f ( x ) = |2 – x | + | x + 1|
]o x ] (^) ≥
x x
x x
TJ
TJ
] x ] ≥
x x
x x
– – TJ –
TJ –
f x ≤ ≤
x
x
x x x
TJ –
TJ –
TJ
- →&TVOBGVODJØODPOUJOVBQPSTFSTVNBEFGVODJPOFTDPOUJOVBT
f ' x
x x x
o TJ o TJ – TJ
f ' o–^ o f ' o+^ →/PFTEFSJWBCMFFO x
f ' –^ f ' +^ →/PFTEFSJWBCMFFO x
(SÈëDBEF f x (SÈëDBEF f ' x
–4 –2 2 4
4
6
2
Y
X
–4 –2 2 4
4 2
Y
X
Matemáticas II
Ejercicios y problemas guiados
Página 262
1. Obtención de los valores de dos parámetros para que la función sea deriva-
ble
Calcula los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1:
f (x) =
x (^) xa^ b e
x
si x si x 1
(^2) + + x– 1
$PNPRVFSFNPTRVFMBGVODJØOTFBEFSJWBCMFFO x QSJNFSPEFCFTFSDPOUJOVBFOEJDIPQVOUP
(^) xl m í 81 f x
l m l m x · x
a (^) b e
l m l m x
f x a b
f x 1
í í 1
í í
8 8
8 8
x x
x
x x
1 1
2 1
1 1
- – +^ +
+^ +
c m
"EFNÈT DPNP f a b MBSFMBDJØOBOUFSJPSHBSBOUJ[BMBDPOUJOVJEBEFO x
1PSPUSBQBSUF QBSBRVFTFBEFSJWBCMFFO x MBTEFSJWBEBTMBUFSBMFTFOEJDIPQVOUPEFCFOTFSJHVBMFT
f ' x
x x
a (^) b e
x
x f a b
x f
TJ –
TJ –
x 2
1
2
+^ –^ –
3FTPMWFNPTFMTJTUFNBZTFPCUJFOFOMPTWBMPSFTCVTDBEPT
a b a b a b
4 ^
2. Derivación implícita
Halla los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 + 6x – 2y – 15 = 0 en los que su tangente tiene pendiente
- 4
(^3). Represéntala.
%FSJWBNPTFOGPSNBJNQMÓDJUB
x yy' o y'
$PNP y' o 4
(^3) TFPCUJFOF 2 x y 2
3FTPMWFNPTFMTJTUFNBGPSNBEPQPSMBFDVBDJØOEFMBDJSDVOGFSFODJBZMBDPOEJDJØOBOUFSJPS
x y x y x y
4
y x^ 8 x x^ x x^ 8 x , x 3
2 – · 4 1 ^ – –
2
x o→ y r 3
x → y
(0, 5)
(–6, –3)
Matemáticas II
3. Derivación logarítmica
Utiliza la derivación logarítmica y las propiedades de los logaritmos para calcular las funciones deri- vadas de las siguientes funciones:
a) y = logx tg x
b) y = (x + 1) tg x
c) y = x 2 – 1 ·^4 x+ 1
B y log 8 8 ln ln 8 ln
ln tg x x tg x y x tg x y x
tg x x y (^)
y'
ln ln
x · (^) · x –
ln
cos
ln
ln
cos
ln
ln cos
ln ln x
x tg x
tg x (^) x
x
sen x x x
tg x
x sen x^ x
x x
tg x
2 2 (^2) e o
C ln y r
ln 8 cos
ln tg x x y
y x
x tg x x
·^1
y' cos
x ln x
x x
tg x 1 1 1
tg x
> H
D ln y
ln x ln x 8 8 y
y x
x x y
y x
x 2
– ^
y' x · x · x
1 1 x 4 1
– ^
Matemáticas II
3 Sabemos que
l m
f x f x h
h – í 8 0
0 0 h
= f ' ( x 0 ).
A partir de esta expresión, justifica la validez de esta otra: ( ) ( ) l m x x
f x f x
-
x 8^ í x 0
0 0 = f ' ( x 0 )
4JFYQSFTBNPTMBEJGFSFODJBFOUSF x Z x (^) VTBOEPMBMFUSBI FTEFDJS I x o x (^) PCUFOFNPTRVF x x I"EFNÈT DVBOEP x → x MBEJGFSFODJB x o x (^) → FTEFDJS I→4VTUJUVZFOEP
l mí ' x x
f x f x l m f x f x f x
h
h – í x 8 x (^) h 8
^
4 Escribe la expresión de los siguientes límites (se supone que las funciones que intervienen son derivables):
a)
l m x a
g x g a
-
x í 8 a b)^ l mí h 8 0
f ( ) f ( ) 0 h
h –
c) l mí x 8 0
f ( ) f ( ) x
2 + x – 2 d) l mí x 8 0
x
f 5 – f 5 + x
B l mí x a
g x g a
x 8 a g ' ^ a
C l mí h 8
f f h
h – f '
D (^) xl m í 8 f f x
2 + x – 2 ϕh
E l mí x 8
x
f – f + x l mí x 8 x
f x f
e + – o o f '
5 El límite l mí h 8 0
sen ( π ) sen π h
+ h – es la derivada de la función seno en el punto de abscisa π , es
decir, sen' ( π ). Por tanto, el límite es: sen' ( π ) = cos ( π ) = –
Calcula análogamente, es decir, a partir de las reglas de derivación que ya conoces, los siguientes límites:
a) l mí h 8 0
h
+ h – b) l mí h 8 0
e e h
2 +h – 2
c) (^) xl m í 8 3 (^ ) x
x x 3
(^2) – + – d) l mí x 8 4 x
x 4
B l mí h 8
h
^1
C l mí h 8
e e h
2 + h – (^2) e 2
D (^) xl m í 83 x
x x 3
(^2) – + – ro
E l mí x 84 x
x 4
(^3) – r (^2)
Matemáticas II
6 Utiliza la definición de derivada para hallar f ' (2) en los siguientes casos:
a) f ( x ) = x
x 1
b) f ( x ) = x + 2
B f ' l mí h 8
f 2 f 2 h
h
h
h –
l mí h 8
h
h
h
l mí h 8
h +
C f ' l mí h 8
f 2 f 2 h
h
4 + h – 2 l mí h 8
I 4 h
h
(^2) o 22
l mí h 8
4 h
7 Aplica la definición de derivada para hallar f ' ( x ) en cada caso:
a) f ( x ) = x + x
(^1) b) f ( x ) = x (^2) + 1
B f ' x l mí h 8
f x f x h
x x x x
h
h h
d n l mí h 8
h + – x x
h
l mí h 8
x x
x x x x h h
h h – h
x x
x x x
x x
h h
h 2 h – (^) – (^) – 2
2 +^2
C f ' x l mí h 8
f x f x h
h – l mí h 8 x^^1 x^1 h
h 2 + –^2 + (^) l mí h 8
x x
x h x 1 1
h h
2 2
2 2 2 2
l mí h 8
x
x x 1 x
h h 1
h – 2
2 2
l mí h 8
x x
x x
x x
x 1 1
h h 1
h h
Reglas de derivación
Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
8 a) y = x
x 3
2
2 +
b) y = 33 x 2
B y' x
x x x x x
x x x x x
x 3
2 2
2 2 2 2
3 3 +^2
C y' 9 x
3
9 a) y = x
x 1
2 3/ +
c m b) y =
x
2 x 2
2 +
B y' · r^ · x
x x
x x x
x x
x x 3
– –^ –^ – 1 1
1 3 / / 2
1 3 2
d n d n^ +^
(^3) x r x (^) x x
C y' · · x
x x
2 1 x 2
– 1 2 –^2
e 2 o^ ^2 +
10 a) y = ln x
x (^) b) y = 7 e – x
B y' ^ r^ ln^ ln x
x x x x
1 – (^1) – x 2 ^2 ^ C y' o e
