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Unidad 9. Funciones elementales
ESO
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
1 Funciones lineales
Página 133
- Copia y completa, en tu cuaderno, las igualdades siguientes:
a) –50 °C = … °F b) 95 °F = … °C
La expresión que liga la temperatura en grados centígrados y en grados Fahrenheit es: y = 32 + 1,8 x siendo x = temperatura en °C, y = temperatura en °F.
a) x = –50 → y = 32 + 1,8(–50) = 32 – 90 = –58 °F → –50 °C = –58 °F
b) y = 95 → 95 = 32 + 1,8 x → x = 1 8,
95 – 32 = 35 → 95 °F = 35 °C
- Un termómetro clínico abarca temperaturas desde 35 °C a 41 °C. ¿Cuál es la gama en °F?
Si x = 35 → y = 32 + 1,8 · 35 = 32 + 63 = 95
Si x = 41 → y = 32 + 1,8 · 41 = 32 + 73,8 = 105,
La gama, en °F, es de 95 °F a 105,8 °F.
- La temperatura normal de una persona sana es de 36,5 °C. ¿Cuál es en °F?
Si x = 36,5 → y = 32 + 1,8 · 36,5 = 32 + 65,7 = 97,
La temperatura de una persona sana, en °F, es de 97,7 °F.
- a) ¿Qué longitud alcanzará el muelle del ejemplo anterior si le colgamos una pesa de
4,6 kg?
b) ¿Qué peso hay que colgar del muelle para que alcance una longitud de 1 m?
a) x = 4,6 → y = 30 + 15 · 4,6 = 30 + 69 = 99
El muelle alcanzará una longitud de 99 cm.
b) 1 m = 100 cm
Si y = 100 → 100 = 30 + 15 x → x = 15
Hay que colgar un peso de 4,667 kg, aproximadamente.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
Página 134
- Representa:
a) y = 2 x
b) y = 3
(^2) x
c) y = – 4
(^1) x
d) y = – 3
(^7) x
1
1
a) b)
c)
d)
1
1
- Representa:
a) y = 3
b) y = –
c) y = 0
d) y = –
1
1
y = 3
y = 0 y = –
y = –
- Representa:
a) y = 2 x – 3
b) y = 3
(^2) x + 2
c) y = – 4
(^1) x + 5
d) y = –3 x – 1
a)
b)
1 1
c)
1
1
d)
- Un móvil, en el instante inicial, se encuentra situado a 3 m del
origen y se aleja progresivamente de este con una velocidad de 2 m/s.
Halla la ecuación de su posición en función del tiempo y repre- séntala.
y = 3 + 2 x , donde y es la distancia al origen en metros y x es el tiempo en segundos.
1
1
- Un móvil, que en el instante inicial llevaba una velocidad
de 8 m/s, frena de repente con una aceleración de –1 m/s^2.
Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala.
y = 8 – x , donde y es la velocidad en m/s y x es el tiempo en segundos. (^1)
1
8
8
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
2 Funciones cuadráticas. Parábolas
Página 137
- Asocia cada uno de los coeficientes de la x^2 con su correspondiente parábola: - a = – - a = 2 - a = – 3
- a = 2
- a = –
A
B
C
D
E
a = –1 → E a = 2 → A a = – 3
1 → B
a = 2
(^1) → D a = –3 → C
- Representa las siguientes parábolas:
a) y = x^2 – 2 x + 2 b) y = –2 x^2 – 2 x – 3 c) y = 3
(^1) x (^2) + x – 2
d) y = – x^2 + 4 e) y = – 2
(^1) x (^2) + 2 f ) y = 3 x (^2) + 6 x + 4
a) y = x^2 – 2 x + 2
Vértice:
Abscisa: p = 2
(^2) = 1 → Ordenada: f (1) = 1 → V (1, 1)
Tabla de valores:
x –2 –1 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 10
Vemos que a medida que las abscisas se alejan del vértice, las ordenadas correspondientes crecen, por lo tanto, la parábola no cortará al eje X.
y = x^2 – 2 x + 2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
b) y = –2 x^2 – 2 x – 3
Vértice:
Abscisa: p = 2 2
= → Ordenada: f 2
c– m =– → V ,
c– – m
Tabla de valores:
x –2^ –1^ –^2 (^1 0 )
y –7^ –3^ –^2
5 –3 –
A medida que las abscisas se alejan del vértice, las orde- nadas correspondientes decrecen, por tanto, la gráfica no corta al eje X.
y = –2 x^2 – 2 x – 3
c) y = 3
(^1) x (^2) + x – 2
Vértice:
Abscisa: p = 2 3/
c– m =–^11 → V ,
c– –^11 m
Tabla de valores:
x –^6 –3^ –2^ –^ 2
(^3) –1 0 3
y^4 –2^ –^3
(^8) – 4
(^11) – 3
8 –2 4
y = 0 → 3
(^1) x (^2) + x – 2 = 0 → x (^2) + 3 x – 6 = 0 →
→ x =
x
x
La parábola corta al eje de abscisas
en 2
, 0 y 2
e o e o.
y = —^1 x^2 + x – 2 3
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- Dibuja en tu cuaderno la representación gráfica de estas funciones cuadráticas:
a) y = ( x – 1) · ( x – 3) b) y = 2( x – 2)^2
c) y = 2
(^1) ( x + 2) · ( x – 2) d) y = ( x – 1) (^2) + 5
a) y = ( x – 1) · ( x – 3) → y = x^2 – 4 x + 3
Vértice:
Abscisa: p = 2
(^4) = 2 → Ordenada: f (2) = –1 → V (2, –1)
Tabla de valores:
x –1 0 1 2 3 4 5 y 8 3 0 –1 0 3 8
y = ( x – 1)( x – 3)
b) y = 2( x – 2)^2 → y = 2 x^2 – 8 x + 8
Vértice:
Abscisa: p = 4
(^8) = 2 → Ordenada: f (2) = 0 → V (2, 0)
Tabla de valores:
x 0 1 2 3 4 y 8 2 0 2 8
Solo hemos obtenido un único punto de corte con el eje de absci- sas, veamos si hay más:
y = 0 → 2( x – 2)^2 = 0 → x = 2
La parábola corta al eje de abscisas solamente en el punto (2, 0).
y = 2( x – 2)^2
c) y = 2
(^1) ( x + 2) · ( x – 2) → y = 2
(^1) x (^2) – 2
Vértice:
Abscisa: p = 1
(^0) = 0 → Ordenada: f (0) = –2 → V (0, –2)
Tabla de valores:
x – 4 –2 0 2 4 y^6 0 –2^0 y = —^1 ( x + 2)( x – 2) 2
d) y = ( x – 1)^2 + 5 → y = x^2 – 2 x + 6
Vértice:
Abscisa: p = 2
(^2) = 1 → Ordenada: f (1) = 5 → V (1, 5)
Tabla de valores:
x –1 0 1 2 3 y^9 6 5 6
Las ordenadas aumentan a medida que las abscisas se alejan del vértice, por tanto, la parábola no corta al eje X.
y = ( x – 1)^2 + 5
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3 Funciones de proporcionalidad inversa
Página 138
- Representa las siguientes funciones:
a) y = x
b) y = – x
(^2) c) y = x
a) f ( x ) = x
- Dom f = Á – {0}
- No corta a los ejes de coordenadas.
- x = 0 es asíntota vertical.
y = 0 es asíntota horizontal.
x –10 –5 –1 –0,5 0,5 1 5 10 y –1/2 –1 –5 –10 10 5 1 1/
Y
X
y = —^5 x
b) f ( x ) = – x
- Dom f = Á – {0}
- No corta a los ejes de coordenadas.
- x = 0 es asíntota vertical.
y = 0 es asíntota horizontal.
x – 4 –2 –1 –0,5 0,5 1 2 4 y 1/2^1 2 4 –^4 –2^ –1^ –1/
Y
X
y = – —^2 x
c) f ( x ) = x
- Dom f = Á – {0}
- No corta a los ejes de coordenadas.
- x = 0 es asíntota vertical.
y = 0 es asíntota horizontal.
x –8 – 4 –2 –1 –0,5 0,5 1 2 4 8 y –1/2 –1 –2 – 4 –8 8 4 2 1 1/
Y
X
y = —^4 x
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4 Funciones radicales
Página 139
- Representa las siguientes funciones y halla el dominio de definición de cada una:
a) y = 2 x b) y = –2 x c) y = 2 x + 3 d) y = –2 x + 3
e) y = 2 – x f ) y = –2 – x g) y = 2 – x + 3 h) y = –2 – x + 5
a) b) c) d)
Y
X
y = 2 x y = 2 x + 3
y = –2 x + 3
y = –2 x
e) f ) g) h)
y = –2 – x + 5
Y
X
y = 2 – x
y = 2 – x + 3
y = –2 – x
Los dominios de definición son:
a) [0, +∞) b) [0, +∞) c) [–3, +∞) d) [–3, +∞)
e) (–∞, 0] f ) (–∞, 0] g) (–∞, 3] h) (–∞, 5]
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
5 Funciones exponenciales
Página 140
- Calcula los valores de la función y = 1,5 x^ para los valores enteros de x comprendidos
entre – 6 y 6. Representa la función.
Hacemos la tabla de valores con ayuda de la calculadora.
x – 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 y 0,09 0,13 0,20 0,30 0,44 0,67 1 1,5 2,25 3,38 5,06 7,59 11,
y = 1,5 x
- Calcula los valores de la función y = 0,8 x^ para los valores enteros de x comprendidos
entre –8 y 8. Representa la función.
Hacemos la tabla de valores con ayuda de la calculadora.
x –8 –7 – 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 5,96 4,77 3,81 3,05 2,44 1,95 1,56 1,25 1 0,8 0,64 0,51 0,41 0,33 0,26 0,21 0,
y = 0,8 x
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Ejercicios y problemas
Página 141
Practica
Funciones lineales
- Representa las siguientes funciones lineales:
a) y = 2 x – 3
b) y = 7
(^4) x
c) y = x 5
d) y = 2,
y = 2 x – 3
y = —^4 x 7
X
Y
2
y = 2,
y = —–3 x^ + 10 5
- Dados la pendiente y un punto, calcula en cada caso la ecuación de la recta:
a) P (0, 0), m = 1 b) P (2, –1), m = –
c) A (–2, 1), m = 2
(^1) d) A (1, 3), m = – 3
En todos los apartados buscamos la ecuación de una recta → y = mx + n
a) m = 1 → y = x + n
Pasa por P (0, 0) → 0 = 0 + n → n = 0
Por tanto, y = x.
b) m = –2 → y = –2 x + n
Pasa por P (2, –1) → –1 = –2 · 2 + n → n = 3
Por tanto, y = –2 x + 3.
c) m = 2
(^1) → y = 2
(^1) x + n
Pasa por A (–2, 1) → 1 = 2
(^1) · (–2) + n → n = 2
Por tanto, y = 2
(^1) x + 2.
d) m = – 3
(^5) → y = – 3
(^5) x + n
Pasa por A (1, 3) → 3 = – 3
(^5) · 1 + n → n = 3 + 3
(^5) → n = 3
Por tanto, y = – 3
(^5) x + 3
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- Calcula la ecuación de estas funciones lineales:
A B
C D
A
y n n
y 0 3 3
Función constante Pasa por
B Función lineal → y = mx + n
( , ) ( , )
é é
B
B
(^4) → m = 1 ( 3 )
- – (^) = – → y = 4
- 3 x + n
(1, –2) ∈ B → –2 = –
(^3) · 1 + n → n = –2 + 4
(^3) → n = – 4
Por tanto, y = – 4
(^3) x – 4
C Función de proporcionalidad directa → y = mx
( , ) ( , )
é é
C
C
(^4) → m = 3 0
Por tanto, y = 3
(^1) x.
D Función lineal → y = mx + n
( , ) ( , )
é é
D
D
(^4) → m =
= → y = 3
x + n
(6, –2) ∈ D → –2 =
(^5) · 6 + n → n = –2 – 10 → n = –
Por tanto, y = 3
(^5) x – 12.
- Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B :
a) A (3, 0), B (5, 0) b) A (–2, – 4), B (2, –3)
c) A (0, –3), B (3, 0) d) A (0, –5), B (–3, 1)
a) y = 0
b) m = ; y ( x ) 8 y x 2 2
c) m = 3
(^3) = 1; y + 3 = x → y = x – 3
d) m = 3
- (^) = –2; y + 5 = –2 x → y = –2 x – 5
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c) y = 3 x + c e y = cx + 3 se cortan en el punto de ordenada 2:
x c 8 cx
(^3 2) c x 3 2
(2 – 3 x ) · x + 3 = 2 → –3 x^2 + 2 x + 1 = 0
x / x
(^1) → c = 2 – 3 · 3
c– 1 m → c = 3
En este caso son la misma recta: y = 3 x + 3
- x = 1 → c = 2 – 3 · 1 → c = –
Las rectas son y = 3 x – 1 e y = – x + 3 y se cortan en el punto (1, 2).
d) ( d , –2) pertenece a la recta y = 2
(^1) x – 3 → –2 = 2
(^1) · d – 3 → d = 2
(4, e ) pertenece a la recta y = 2
(^1) x – 3 → e = 2
(^1) · 4 – 3 → e = –
Funciones cuadráticas
- Asocia a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes:
a) y = x^2
b) y = ( x – 3)^2
c) y = x^2 – 3
d) y = x^2 – 6 x + 6
a) y = x^2 ↔ B
b) y = ( x – 3)^2 ↔ C
c) y = x^2 – 3 ↔ A
d) y = x^2 – 6 x + 6 ↔ D
–2 2 4 6
2
X
4
6
Y
A
B C
D
-
- Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores co- mo esta:
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y … … … … … … … … …
a) y = x^2 + 1 b) y = – x^2 + 4
c) y = –3 x^2 d) y = 0,4 x^2
a) y = x^2 + 1
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y 17 10 5 2 1 2 5 10 17
b) y = – x^2 + 4
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –12 –5 0 3 4 3 0 –5 –
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
c) y = –3 x^2
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y – 48 –27 –12 –3 0 –3 –12 –27 – 48
d) y = 0,4 x^2
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y 6,4 3,6 1,6 0,4 0 0,4 1,6 3,6 6,
a)
b)
c)
d)
1
1
1
1
- Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a
él y los puntos de corte con los ejes:
a) y = ( x + 2)^2 b) y = x^2 – 4 x c) y = x x 2
(^1 2) + 2 + 1 d) y = x (^2) – 9
a) Vértice: (–2, 0)
Cortes con los ejes:
(–2, 0), (0, 4)
Otros puntos: (–1, 1), (–3, 1)
b) Vértice: (2, – 4)
Cortes con los ejes:
(0, 0), (4, 0)
Otros puntos: (5, 5), (–1, 5)
c) Vértice: (–2, –1)
Cortes con los ejes:
– 2 – 2 0 , j, 2 – 2 0, j, (0, 1)
Otros puntos: 1 , , , 2
c m c–^7 m
d) Vértice: (0, –9)
Cortes con los ejes:
y = ( x + 2)^2
y = x^2 – 4 x
y = x^2 – 9
–7,5 –5 –2,5 2,5 5 7,
5
10
15
y = —^1 x^2 + 2 x + 1 2
Otros puntos: (–2, –5), (2, –5)
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- Representa estas funciones cuadráticas:
a) y = ( x – 5)^2 b) y = x · ( x – 5)
c) y = ( x – 3) · ( x + 3) d) y = 4 – ( x – 2)^2
a) y = ( x – 5)^2 → Es la traslación 5 unidades a la derecha de y = x^2.
Vértice: (5, 0)
Tabla de valores:
x 2 3 4 5 6 7 8 y 9 4 1 0 1 4 9
Y
X
y = x^2
y = ( x – 5)^2
b) y = x · ( x – 5) → y = x^2 – 5 x
Vértice:
Abscisa: p = 2
→ Ordenada: f 2
c m =– → V ,
c –^25 m
Tabla de valores:
x –1^0 1 2
5 3 4 5 6
y^6 0 –^4 –^6
25 4
Y
X
y = x^2 – 5 x
c) y = ( x – 3) · ( x + 3) → y = x^2 – 9 → Es la traslación 9 unidades hacia abajo de y = x^2.
Vértice: (0, –9)
Tabla de valores:
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y 7 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 7
Y
X
y = x^2 – 9
y = x^2
d) y = 4 – ( x – 2)^2 → Es la traslación 4 unidades hacia arriba y 2 a la derecha de y = – x^2.
Vértice: (2, 4)
Tabla de valores:
x –1 0 1 2 3 4 5 y –5 0 3 4 3 0 –
Y
X
y = –( x – 2) 2 + 4
y = – x^2
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4
- Utiliza una escala adecuada y representa.
a) y = x 100
2 b) y = –75 x^2 + 675
c) y = 0,002 x^2 – 0,04 x d) y = –10 x^2 – 100 x
a) y = x 100
2 → Vértice: (0, 0)
Tabla de valores:
x –200 –150 –100 –50 0 50 100 150 200 y 400 225 100 25 0 25 100 225 400
Y
50^ X
50
b) y = –75 x^2 + 675
Vértice:
Abscisa: p = 150
= 0 → Ordenada: f (0) = 675 → V (0, 675)
Tabla de valores:
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –525 0 375 600 675 600 375 0 –
Y
1^ X
75
c) y = 0,002 x^2 – 0,04 x
Vértice:
Abscisa: p = ,
= 10 → Ordenada: f (10) = –0,2 → V (10; –0,2)
Tabla de valores:
x –5 0 5 10 15 20 25 y 0,25 0 –0,15 –0,2 –0,15 0 0,
Y
5^ X
0,
d) y = –10 x^2 – 100 x
Vértice:
Abscisa: p = 20
= –5 → Ordenada: f (–5) = 250 → V (–5, 250)
Tabla de valores:
x –15 –10 –5 0 5 y –750 0 250 0 –
Y
5^ X
100
