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Dos mil problemas para practicar matemática
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Decía un sabio a su discípulo: llegué a sabio cometiendo errores. A lo cual el discípulo le respondió: corramos entonces a cometer errores. Anónimo.
Algunos trucos de cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos que escriben los libros de matemáticas avanzadas pocas veces se toman la molestia de mostrar cuán fáciles son los cálculos fáciles. Silvanus P. Thomson.
Versión 3.
Este texto está continuamente en revisión. Esta sección, permitirá corregir o tener en cuenta los errores de versiones anteriores así como de autocrítica. No descarto la existencia de más errores.
Erratas corregidas presentes en la versión 2.20 y corregidas en la 2.21:
Erratas corregidas presentes en la versión 2.21 y corregidas en la 3.00:
Modificaciones para la versión 2.20:
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Problemas geométricos con puntos, segmentos y rectas……………………. Ejercicios de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas……………… Teoría y ejercicios de sucesiones .……………………………………….……. Análisis. Ejercicios de representación de funciones sencillas…………………............ Ejercicios de composición e inversa de funciones………………………….. Ejercicios de simetrías y tasa de variación media…………………………... Ejercicios de polinomios de interpolación y extrapolación………………… Ejercicios para aprender a derivar…………………………………………... Ejercicios de derivadas enésimas…………………………………………… Ejercicios de ecuación de la recta normal y tangente………………………. Límites……………………………………………………………………… Series de Taylor…………………………………………………………….. Aplicaciones de series de Taylor a los límites..……………………….……. Definición de derivada……………………………………………………… Continuidad de funciones……………………………..……………………. Ejercicios de derivabilidad………………………………………………….. Ejercicios de monotonía y curvaturas de funciones………………………… Problemas de modelizado de funciones…………………………………….. Ejercicios de optimización………………………………………………….. Teoría y ejercicios de teoremas del análisis matemático…………………… Ejemplos de análisis y representación de funciones………………………... Ejercicios de discusión de gráficas de funciones…………………………… Ejercicios para aprender a integrar…………………………………………. Integrales definidas………………………………………………………… Método de las circulaciones………………………………………………… Ejercicios de cálculos de áreas entre curvas………………………………... Estadística y probabilidad. Ejercicios de estadística descriptiva………………………………………… Ejercicios de regresión lineal……………… ………………………………... Combinatoria………………………………………....……………………... Probabilidad.simple y compuesta……………………………………….….. Distribución binomial o de Bernoulli………………………………………. Distribución normal……………………… …………………………………. Ejercicios de inferencia estadística………………………………………….
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La presente recopilación de ejercicios y de breves apuntes teórico-prácticos constituyen una obra inacabada. Este es un texto en proceso de evolución, en proceso de futuras ampliaciones. Por ello, y a pesar de su actual extensión, no significa que haya alcanzado su punto y final. En un futuro aumentarán las explicaciones teóricas y los ejemplos, también será necesaria la incorporación de nuevos ejercicios.
Fundamentos de Matemáticas I es una obra que intenta abarcar el estudio de las matemáticas hasta el nivel de 1º de Bachillerato. Es una obra orientada sobre todo a profesores que buscan ejercicios para sus alumnos y a alumnos que buscan ejercicios para practicar las matemáticas. Intenta ser además una guía de todos aquellos conocimientos que deben adquirir o haber adquirido los alumnos de 4º de ESO, 1º de Bachillerato y de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior, y de 2º de Bachillerato de Ciencias Sociales.
Quiero expresar mi agradecimiento personal por su ayuda indirecta a Isaac Musat, los textos y exámenes de su web han sido una referencia importante a la hora de dar prioridad a unos temas u otros, así como a mis alumnos que les ha ayudado mucho los ejercicios de su web. También quiero expresar mi agradecimiento a Antonio Cartas Martín, profesor del “Colegio Nuestra Señora de la Consolación” en Quintanar de la Orden, por el regalo de su libro de ejercicios. Mi agradecimiento a Maria José Viedma Ivorra y Carlos Humberto Lizarraga del Centro de Estudios Las Rozas, quienes me han apoyado en esta iniciativa. Agradecimientos también a Fernando Nikko Malpartida Manrique, por su paciencia y ayuda copiando ejercicios. Y agradecimientos a numerosas personas que me han transmitido no solo los errores encontrados, sino ideas para mejorar este texto.
Julián Moreno Mestre ([email protected]) Profesor y subdirector de la Academia Las Rozas Madrid – Las Rozas 1 de Noviembre de 2011
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4.4. Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de las tecnologías de la información para su análisis. 4.5. La tasa de variación como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales.
5.1. Estadística descriptiva unidimensional. Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico a partir de situaciones concretas cercanas al alumno. 5.2. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. 5.3. Variable discreta. Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias y de gráficos estadísticos: gráficos de barras, de sectores, diagramas en caja y polígonos de frecuencias. Uso de la hoja de cálculo. 5.4. Cálculo e interpretación de los parámetros de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. 5.5. Variable continua: Intervalos y marcas de clase. Elaboración e interpretación de histogramas. Uso de la hoja de cálculos. 5.6. Azar y probabilidad. Idea de experimento aleatorio y suceso. Frecuencia y probabilidad de un suceso. 5.7. Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para la asignación de probabilidades. 5.8. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.
1.1. Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción: números irracionales. 1.2. Iniciación al número real: representación sobre la recta real. Intervalos. Tipos y significado. 1.3. Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la notación y aproximación adecuadas en cada caso. 1.4. Potencias de exponente fraccionario y radicales. Radicales equivalentes. Operaciones elementales con radicales. Simplificación de expresiones radicales sencillas. 1.5. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos. 1.6. Cálculo con porcentajes. Interés compuesto. 1.7. Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica. Cálculos aproximados Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical.
2.1. Raíces de un polinomio. Factorización de polinomios. 2.2. Regla de Ruffini. Utilización de las identidades notables y de la regla de Ruffini en la descomposición factorial de un polinomio. 2.3. Resolución algebraica de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. 2.4. Resolución algebraica y gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2.5. Uso de la descomposición factorial para la resolución de ecuaciones de grado superior a dos y simplificación de fracciones. 2.6. Resolución de problemas cotidianos y de otros campos de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas.
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2.7. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante aproximaciones sucesivas con ayuda de los medios tecnológicos. 2.8. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Interpretación gráfica. 2.9. Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones.
3.1. Figuras y cuerpos semejantes: razón entre longitudes, áreas y volúmenes de figuras semejantes. 3.2. Teorema de Tales. Aplicación al cálculo de medidas indirectas. 3.3. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones entre ellas. 3.4. Relaciones métricas en los triángulos. Resolución de triángulos rectángulos. 3.5. Uso de la calculadora para la obtención de ángulos y razones trigonométricas. 3.6. Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. 3.7. Iniciación a la geometría analítica plana: coordenadas de un punto; distancia entre dos puntos. Representación de las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
4.1. Funciones: Expresión algebrica, variables, dominio y estudio gráfico. 4.2. Características de las gráficas: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetrías y periodicidad. 4.3. Estudio y representación gráfica de las funciones polinómicas de primer o segundo grado, de proporcionalidad inversa y de las funciones exponenciales y logarítmicas sencillas. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. 4.4. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico. 4.5. Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales. 4.6. Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión algebraica. Análisis de resultados utilizando lenguaje matemático adecuado. 4.7. La tasa de variación como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. 4.8. Interpretación, lectura y representación de gráficas en la resolución de problemas relacionados con los fenómenos naturales y el mundo de la información.
5.1. Estadística descriptiva unidimensional. Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. 5.2. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. 5.3. Variable discreta. Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias y de gráficos estadísticos: gráficos de barras, de sectores, diagramas de caja y polígonos de frecuencias. 5.4. Cálculo e interpretación de los parámetros de centralización y dispersión: media, mediana, moda, recorrido y desviación típica para realizar comparaciones y valoraciones. 5.5. Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad, en función de la existencia o no de valores atípicos.
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3.1. Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables. Métodos estadísticos. Tablas y gráficos. Parámetros estadísticos de localización, de dispersión y de posición. 3.2. Estadística descriptiva bidimensional. Representación gráfica: Nube de puntos. Grado de relación entre dos variables estadísticas. Correlación. 3.3. Covarianza. Coeficiente de correlación lineal. Regresión lineal. 3.4. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervienen dos variables. Predicciones estadísticas. 3.5. La combinatoria como técnica de recuento. 3.6. Probabilidad en experimentos simples o compuestos. Asignación de probabilidades. 3.7. La probabilidad en experimentos repetidos e independientes: La distribución binomial. Uso de tablas. Asignación de probabilidades. 3.8. La distribución normal. Normal típica y uso de tablas. Tipificación de una variable normal. Asignación de probabilidades. La normal como aproximación de la binomial.
BOCM, decreto 67/2008, de 19 de junio, del Consejo de Gobierno, por el que se establece para la Comunidad de Madrid el currículo del Bachillerato.
1.1. Números racionales e irracionales. Números reales. La recta real. Valor absoluto. Distancias en la recta real. Intervalos y entornos. 1.2. El^ número^ e.^ Logaritmos^ decimales^ y^ neperianos.^ Propiedades.^ Cálculo^ logarítmico. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas. 1.3. Utilización de la calculadora. 1.4. Descomposición factorial de un polinomio. Fracciones algebraicas: Simplificación y operaciones. 1.5. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones de grados primero y segundo. 1.6. Números combinatorios. Binomio de Newton. 1.7. Aplicación del método de Gauss a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 1.8. Utilización de herramientas algebraicas en la resolución de problemas. 1.9. El número i. Números complejos. Operaciones con números complejos en forma binómica.
2.1. Ampliación del concepto de ángulo. El radián. Medida de un ángulo en radianes. 2.2. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 2.3. Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos: Rectángulos y no rectángulos. 2.4. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad. 2.5. Resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas. 2.6. Forma trigonométrica de los números complejos. Operaciones. 2.7. Vectores libres en el plano. Operaciones geométricas: Adición, sustracción y multiplicación por un escalar. 2.8. Componentes de un vector en un sistema de referencia ortonormal. Módulo de un vector. Operaciones con vectores mediante sus componentes. Aplicaciones a la resolución de problemas. 2.9. Ángulo entre vectores. Producto escalar de dos vectores. 2.10. Ecuaciones de la recta. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Cálculo de distancias
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entre puntos y rectas. Cálculo de ángulos entre rectas. Resolución de problemas. 2.11. Lugares geométricos del plano: Mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo y cónicas. Ecuaciones de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
3.1. Características de las funciones y de sus gráficas: Dominio, signo, cortes con los ejes, simetrías, periodicidad, tendencias, crecimiento, decrecimiento y extremos. Descripción de funciones dadas mediante sus gráficas. 3.2. La función raíz. 3.3. La función exponencial y la función logarítmica. 3.4. Las funciones trigonométricas: Sen, cos y tg, y sus inversas. Utilización de la calculadora. 3.5. Operaciones con funciones. Composición de funciones. 3.6. Concepto intuitivo de límite, finito o infinito, de una función en un punto y en el infinito, con apoyo gráfico y de la calculadora. Límites laterales. Asíntotas verticales y horizontales de una función. Cálculo elemental de límites de funciones. 3.7. Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Continuidad de las funciones elementales (resultado de operaciones combinadas de adición, multiplicación, división y composición de las funciones: Constante, identidad, raíz, ln y exp, sen, cos, tg, arcsen, arccos y arctg). Discontinuidades. 3.8. Características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto (raíz cuadrada del cuadrado), parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, obtenidas a partir de la expresión analítica que las define. 3.9. Aproximación intuitiva a la derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física. 3.10. Iniciación al cálculo de derivadas. 3.11. Signo de la derivada: Crecimiento y decrecimiento. 3.12. Puntos críticos o singulares de una función. Máximos y mínimos relativos. 3.13. Análisis y representación gráfica de funciones sencillas dadas por su expresión analítica. 3.14. Resolución en un contexto real de problemas relacionados con las funciones. Interpretación de funciones de las que se conoce su gráfica.
4.1. Estadística^ descriptiva^ bidimensional.^ Relaciones^ entre^ dos^ variables^ estadísticas. Representación gráfica: Nube de puntos y correlación. 4.2. Covarianza. Coeficiente de correlación lineal. Regresión lineal. 4.3. La combinatoria como técnica de recuento. 4.4. Probabilidad en experimentos simples o compuestos. Probabilidad condicionada, probabilidad total y probabilidad a posteriori. 4.5. La probabilidad en experimentos repetidos e independientes: La distribución binomial. Uso de tablas. Asignación de probabilidades. 4.6. La distribución normal. Normal típica y uso de tablas. Tipificación de una variable normal. Asignación de probabilidades. Aproximación de la binomial por la normal.
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3.1. Probabilidad. Asignación de probabilidades: Ley de Laplace, diagramas de árbol, etc. 3.2. Probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. 3.3. Consecuencias prácticas del Teorema central del límite, del teorema de aproximación de la binomial por la normal y de la Ley de los grandes números. 3.4. Muestreo.^ Problemas^ relacionados^ con^ la^ elección^ de^ las^ muestras.^ Condiciones^ de representatividad. Parámetros de una población. 3.5. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. 3.6. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. 3.7. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.
1. Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices en situaciones reales en las que hay que transmitir información estructurada en forma de tablas o grafos. 2. Utilizar el método de Gauss o los determinantes para obtener matrices inversas de órdenes dos o tres y para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas y un parámetro. 3. Transcribir un problema expresado en lenguaje usual al lenguaje algebraico, resolverlo, utilizando técnicas algebraicas determinadas: Matrices, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. 4. Utilizar los conceptos básicos y la terminología adecuada del análisis. Desarrollar los métodos más usuales para el cálculo de límites, derivadas e integrales. 5. Analizar, cualitativa y cuantitativamente, las propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento) de una función que describa una situación real, extraída de fenómenos habituales en las ciencias sociales, para representarla gráficamente y extraer información práctica que ayude a analizar el fenómeno del que se derive. 6. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función y para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico y sociológico, interpretando los resultados obtenidos de acuerdo con los enunciados. 7. Asignar e interpretar probabilidades a sucesos elementales, obtenidos de experiencias simples y compuestas (dependientes e independientes) relacionadas con fenómenos sociales o naturales, y utilizar técnicas de recuento personales, diagramas de árbol o tablas de contingencia. 8. Diseñar y desarrollar estudios estadísticos de fenómenos sociales que permitan estimar parámetros con una fiabilidad y exactitud prefijadas, determinar el tipo de distribución e inferir conclusiones acerca del comportamiento de la población estudiada. 9. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos, y detectar posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones. 10. Reconocer la presencia de las matemáticas en la vida real y aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, utilizando y contrastando distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento.
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BOCM, decreto 67/2008, de 19 de junio, del Consejo de Gobierno, por el que se establece para la Comunidad de Madrid el currículo del Bachillerato.
1.1. Matrices de números reales. Operaciones con matrices. 1.2. Dependencia lineal entre filas (columnas) de una matriz. Rango de una matriz. 1.3. Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial de un sistema. 1.4. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Cálculo de determinantes. Regla de Cramer. 1.5. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 1.6. Aplicación de los sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas.
1.7. Utilización de los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etcétera) como apoyo en los procedimientos que involucran el manejo de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
3.1. Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico. 3.2. Obtención e interpretación de las ecuaciones de rectas y planos en sistemas de referencia ortonormales. 3.3. Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. 3.4. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. 3.5. Ecuación de la superficie esférica. Resolución de problemas.
2.1. Concepto de límite de una función. Cálculo de límites. 2.2. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. 2.3. Concepto de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física. 2.4. Función derivada. Derivadas de suma, producto, cociente y composición de funciones. Los teoremas de Rolle y del valor medio: Justificación e interpretación geométrica. La regla de L’Hôpital. 2.5. Aplicaciones de las derivadas primera y segunda al estudio de las propiedades locales y globales de las funciones. Representación gráfica de una función. Problemas de optimización. 2.6. El problema del área. Introducción al concepto de integral definida de una función a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. La integral definida como suma de elementos diferenciales: Aplicaciones al cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución y a la física. 2.7. El concepto de primitiva. La regla de Barrow. 2.8. Cálculo de primitivas: Propiedades básicas. Primitivas inmediatas y de funciones que son derivadas de una función compuesta (salvo, quizá, un factor constante). Técnicas elementales del cálculo: Por descomposición, por cambio de variable y por partes.
2.9. Utilización de los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etcétera) como apoyo en el análisis gráfico y algebraico de las propiedades, globales y puntuales, de la funciones y en los procedimientos de integración.
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ORDEN 4879/2008, de 21 de octubre, por la que se regulan las pruebas de acceso a ciclos formativos de Formación Profesional y el curso de preparación a las mismas.
1.1. Los conjuntos numéricos. 1.1.1. Los números naturales, enteros y racionales. Operaciones. 1.1.2. Los números irracionales. 1.1.3. El conjunto de números reales. La recta real. Ordenación. Valor absoluto. Distancia. Intervalos. 1.1.4. Los números complejos: Características. Notación. Operaciones con números complejos. 1.1.5. Aproximación de números reales. Estimación, truncamiento y redondeo. Niveles de precisión y error. 1.1.6. Proporcionalidad. Magnitudes directa e inversamente proporcionales. 1.1.7. Potencias y raíces. 1.1.8. Notación científica. Operatoria con notación científica. 1.1.9. Logaritmos decimales. 1.2. Polinomios. 1.2.1. Expresiones polinómicas con una indeterminada. 1.2.2. Valor numérico. 1.2.3. Operaciones con polinomios. 1.2.4. Algoritmo de Ruffini. Teorema del resto. 1.2.5. Raíces y factorización de un polinomio. 1.2.6. Simplificación y operaciones con expresiones fraccionarias sencillas. 1.3. Ecuaciones. 1.3.1. Ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. 1.3.2. Ecuaciones polinómicas con raíces enteras. 1.3.3. Ecuaciones irracionales sencillas. 1.3.4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas. 1.4. Sistemas de ecuaciones. 1.4.1. Sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. 1.4.2. Sistemas compatibles e incompatibles. 1.4.3. Resolución de sistemas de ecuaciones con 2 ó 3 incógnitas determinados e indeterminados. Planteamiento de sistemas de ecuaciones.
2.1. Unidades de medida de ángulos. 2.2. Razones trigonométricas de un ángulo. 2.3. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos. 2.4. Ecuaciones de la recta. 2.4.1. Posiciones relativas de rectas. 2.4.2 Distancias y ángulos. 2.5. Lugares geométricos en el plano. Cónicas. Intersecciones. 2.6. Representación gráfica de rectas, cónicas y lugares geométricos.
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3.1. Expresión de una función en forma algebraica a partir de enunciados, tablas o de gráficas. 3.1.1. Aspectos globales de una función. 3.1.2. Utilización de las funciones como herramienta para la resolución de problemas y la interpretación de problemas. 3.2. Interpolación y extrapolación lineal. Aplicación a problemas reales. 3.3. Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones lineales, polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y racionales sencillas. Valor absoluto, parte entera. 3.4. Dominio, continuidad y extremos de una función. 3.5. La tasa de variación como medida de la variación de una función en un intervalo. 3.6. Análisis de las distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. 3.7. Operaciones y composición de funciones.
4.1. Estadística descriptiva unidimensional. 4.1.1. Variables discretas y continuas. 4.1.2. Recuento y presentación de datos. Determinación de intervalos y marcas de clase. 4.1.3. Elaboración e interpretación de tablas de frecuencias, gráficas de barras y de sectores. Histogramas y polígonos de frecuencia. 4.1.4. Cálculo e interpretación de los parámetros de centralización y dispersión usuales: media, moda, mediana, recorrido, varianza y desviación típica. 4.2. Probabilidad. 4.2.1. Experiencias aleatorias. Sucesos. 4.2.2. Frecuencia y probabilidad. 4.2.3. Probabilidad simple y compuesta.
Se recomienda además, bajar de Internet el programa Graphmatica , el cual será muy útil para funciones. El Derive es también un estupendo programa, se puede bajar desde la web de Isaac Musat (www.musat.net).
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1º Calcula: a) 5 − 3 − 7 + 1 + 8 b) 2 − 3 + 4 + 1 − 8 + 2 c) 1 − 3 + 5 − 7 + 9 − 11 d) 2 + 4 − 6 − 8 + 10 − 12 + 14 e) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 f) 3 – 2 + 5 + 7 – 3 – 5 + 2 – 2 g) 2 – 1 – 4 – 6 + 6 + 7 – 2 – 5 + 3 h) 2 + 4 + 5 + 3 – 4 – 5 – 7 + 3 – 6 i) 3 – 2 – 5 – 2 + 1 + 2 + 7 – 4 – 2 – 1 j) 5 – 6 + 7 – 2 + 5 + 8 – 6 + 3 – 1 – 7 Sol: a) 4; b) –2; c) –6; d) 4; e) –4; f) 5; g) 0; h) –4; i) –3; j) 6.
2º Quita paréntesis y después opera: a) 1 − (7 − 2 − 10) − (3 − 8) b) (8 − 4 − 3) − (5 − 8 −1) c) (3 − 5) − (1 − 4) + (5 − 8) d) 3 − (5 − 8) − (11 − 4) + (13 −9) e) (2 − 6 − 3) + (5 − 3 − 1) − (2 − 4 − 6) f) (8 − 11 − 5) − (12 − 13) + (11 +4)
Sol: a) 11; b) 5; c) –2; d) 3; e) 2; f) 8; g) 3; h) 3; i) 4; j) 4.
3º Calcula: a) ( 7)·( 11)− + b) ( 6)·( 8)− − c) ( 5)·( 7)·( 1)+ + − d) ( 2)·( 3)·( 4)− − − e) ( 45) : ( 3)− + f) ( 85) : ( 17)+ + g) ( 36) : ( 12)+ − h) ( 85) : ( 5)− − i) ( 400) : ( 40) : ( 5)+ − −
Sol: a) –77; b) 48; c) –35; d) –24; e) –15; f) 5; g) –3; h) 17; i) 2; j) 50; k) –14; l) –14; m) –20; n) –5; ñ) 2.
4º Calcula: a) 6·4 − 5·6 − 2·3 b) 15 − 6·3 + 2·5 −4· c) 5·( 4)− + −( 2)·4 − 6·( 5)− − 3·( 6)− d) 18 − 3·5 + 5·( 4)− − 3·( 2)− e) ( 5)·(8− − 13) f) (2 + 3 − 6)·( 2)− g) ( 4)·(1+ − 9 + 2) : ( 3)− h) ( 12−^ −10) : ( 2^ −^ −^6 −3)
k) 12·(12 − 14) − 8·(16 − 11) − 4·(5 − 17) l) 18 − 40 : (5 + 4 − 1) −36 :
Sol: a) –12; b) –5; c) 20; d) –11; e) 25; f) 2; g) 8; h) 2; i) 12; j) 70; k) –16; l) 10; m) 6; n) 8; ñ) 17; o) 8.
5º Calcula:
a) ( 2)− 7 b) ( 3)− 5 c) ( 5)− 3 d) ( 10)− 3 e) ( 1)− 16 f) ( 1)−^17 Sol: a) –128; b) –243; c) –125; d) –1000; e) 1; f) –1.
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6º Calcular: a) ( 2) ·( 2)− 4 − 3 b) ( 2) ·( 2)+ 3 − 3 c) ( 3) ·( 5)− 2 − 3 d) ( 10)− −^2 ·( 10)−^3 e) ( 3) : ( 3)− 5 − 3 f) ( 5) : ( 5)− 6 − 3 g) ( 18) : ( 3)− 2 − 3 h) ( 24) : ( 6)− 4 −^4 Sol: a) –128; b) –64; c) 1125; d) –10; e) 9; f) –125; g) –12; h) 256.
7º Usando la calculadora, cuales de los siguientes números son primos o compuestos: a) 142 b) 221 c) 253 d) 129 e) 193 f) 210 g) 191 h) 199 i) 151 j) 107 Sol: Son compuestos los números de los apartados a), b), c), d) y f), el resto son primos.
8º Descompón en factores primos: a) 48 b) 54 c) 90 d) 105 e) 120 f) 135 g) 180 h) 378 i) 700 j) 1872 Sol: a) 2^4 ·3; b) 2·3^3 ; c) 2·3^2 ·5; d) 3·5·7; e) 2^3 ·3·5; f) 3 3 ·5; g) 2 2 ·3^2 ·5; h) 2·3^3 ·7; i) 2^2 ·5^2 ·7; j) 2 4 ·3^2 ·13.
9º Calcula el mínimo común múltiplo de: a) 12 y 15 b) 24 y 60 c) 48 y 54 d) 90 y 150 e) 6, 10 y 15 f) 8, 12 y 18 g) 12, 24 y 36 h) 7, 11 y 13 Sol: a) 60; b) 120; c) 432; d) 450; e) 30; f) 72; g) 72; h) 1001.
10º Calcula el máximo común divisor de: a) 16 y 24 b) 48 y 72 c) 105 y 120 d) 135 y 180 e) 8, 12 y 16 f) 45, 60 y 105 g) 24, 36 y 40 h) 20, 30 y 50 Sol: a) 8; b) 24; c) 15; d) 45; e) 4; f) 15; g) 4; h) 10.
11º Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de: a) 20 y 25 b) 48 y 69 c) 35 y 49 d) 100, 120 y 20 e) 66, 132 y 1100 f) 320, 256 y 500 g) 25, 30, 45 y 50 h) 14, 28, 42 y 84 i) 130, 200, 250 y 420 Sol: a) mcm = 100 y mcd = 5 ; b) mcm = 1104 y mcd = 3; c) mcm = 245 y mcd = 7; d) mcm = 600 y mcd = 20; e) mcm = 3300 y mcd = 22; f) mcm = 32000 y mcd = 4; g) mcm = 450 y mcd = 5; h) mcm = 84 y mcd = 14; i) mcm = 273000 y mcd = 10;
12º Una sirena suena cada 32 minutos, otra cada 16 minutos y otra cada hora. A las 12 h del día 1 de enero sonaron las tres a la vez, predecir cuando volverán a sonar las tres sirenas al mismo tiempo. Sol: A las 20 horas del 1 de enero.
13º Un barco pasa por un puerto cada 12 días, otro cada 8 días y otro cada 20 días. Si los tres barcos coincidieron un día, ¿Cuánto tiempo pasara hasta que vuelvan a coincidir? Sol: Pasarán 120 días.
14º Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. a) ¿Cuánto mide el lado de cada baldosa? b) ¿cuántas baldosas se emplearon? Sol: a) 20 m; b) 516 baldosas.
