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La teoría básica de la convolución discreta, incluyendo la convolución en tiempo continuo, estimadores discretos de convolución, convolución para señales energía y secuencias finitas, convolución circular y propiedades de longitud de convolución circular. Además, se incluyen ejemplos para ilustrar el proceso. La documentación también aborda la convolución lineal 2D en tiempo discreto, con ejemplos de matrices no periódicas y finitas.
Tipo: Diapositivas
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Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo Facultad de Ingeniería; Telecomunicaciones 14/02/ Ver_11_01_
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta 3.4 Convolución lineal 2D en tiempo discreto 3.4.1 Convolución 2D para matrices infinitas 3.4.2 Convolución 2D para matrices finitas 3.4.3 Las dimensiones de la matriz de convolución 3.3.4 Reflexión de una matriz 3.3.5 Algoritmo visual para la convolución lineal 2D de secuencias finitas 3.3.6 Ejemplo 3.5 Convolución circular 2D en tiempo discreto 3.6 Aplicaciones de la convolucón lineal: filtrado lineal Filtros suavizantes Filtro 1D suavizante de bloque Ejemplo de filtro 1D suavizante de bloque Filtro 1D suavizante binomial
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta
En los segmentos siguientes se describirá la suma de convolución como una versión muestreada de la integral de convolución. Posteriormente, debido a que las señales discretas no están definidas entre muestras, la suma de convolución pierde el término denominado periodo de muestreo.
Definición 3.1 Convolución para señales energía valuada en t = τ. Sean f ( t ) y g ( t ) dos señales energía, su convolución evaluada para t = τ se plantea como:
Teorema 3.1 El estimador discreto de la convolución de tiempo continuo queda expresado en una suma de convolución dada a continuación: f ∗ g ( n )= lim N →∞ ∑ m =−( N − 1 ) N − 1 f ( m ) g (−( m − n )) τ s ; ∀ n ∈ℤ (^) (3.3)
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta
Definición 3.4 Convolución de dos secuencias f^ y g^. Dada la secuencia de duración finita f^ cuyo dominio está en el intervalo n ϵ^ [ f^ Indx.min ,^ f^ Indx.max ]^ y dada la secuencia g cuyo dominio está en el intervalo n ϵ [ gIndx.min , gIndx.max ] (^). La convolución queda representada como f ∗ g ( n )= f ( n )∗ g ( n ) y matemáticamente, la convolución se define como: f ∗ g ( n )= (^) ∑ m = f (^) Indx.min f (^) Indx.max f ( m ) g (−( m − n )) ; ∀ n ϵ[ f (^) Indx.min + gIndx.min , f (^) Indx.max + gIndx.max ] (^) (3.6) Definición 3.5 El dominio de la secuencia de convolución , es decir, el intervalo de valores de n queda definido como: n ∈[ f (^) Indx.min + gIndx.min , f (^) Indx.max + gIndx.max ] (^) (3.7) Definición 3.6 La longitud de la secuencia de convolución. Dada la secuencia f de longitud Nf a convolucionar con la secuencia g de longitud Ng , la longitud de la secuencia de convolución se representa como Nf ∗ g y se calcula como: Nf ∗ g = N (^) f + N (^) g − (^1) (3.8)
Para ilustrar el proceso de forma genérica considérense las dos secuencias siguientes f =[ f (− 1 ) , f ( 0 ) ↑ , f ( 1 ) , f ( 2 )] g =[ g (− 1 ) , g ( 0 ) ↑ , g ( 1 )]
en donde: f (^) Indx.min =− 1 f (^) Indx.max = 2 g (^) Indx.min =− 1 g (^) Indx.max = 1
Ahora se desarrolla en la tabla 3.1 la suma de convolución paras las secuencias dadas en la ecuación (3.9).
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta Los productos en rojo corresponden con índices para los cuales el segundo operando de la convolución no tiene elementos definidos. Ahora bien, realizando los productos indicados se tiene que la convolución es: f ∗ g =[ f ∗ g (− 2 ) , f ∗ g (− 1 ) , f ∗ g ( 0 ) ↑ , f ∗ g ( 1 ) , f ∗ g ( 2 ) , f ∗ g ( 3 ) ] (^) (3.11) donde: f ∗ g (− 2 )= f (− 1 ) g (− 1 ) f ∗ g (− 1 )= f (− 1 ) g ( 0 )+ f ( 0 ) g (− 1 ) f ∗ g ( 0 )= f (− 1 ) g ( 1 )+ f ( 0 ) g ( 0 )+ f ( 1 ) g (− 1 ) f ∗ g ( 1 )= f ( 0 ) g ( 1 )+ f ( 1 ) g ( 0 )+ f ( 2 ) g (− 1 ) f ∗ g ( 2 )= f ( 1 ) g ( 1 )+ f ( 2 ) g ( 0 ) f ∗ g ( 3 )= f ( 2 ) g ( 1 )
El cálculo del dominio de la secuencia de convolución es como sigue: n ϵ [ f (^) Indx.min + gIndx.min, f (^) Indx.max + gIndx.max ] [− 1 −1, 2 + 1 ] [−2,3 ]
La longitud de la secuencia de convolución queda definida como: Nf = 4 Ng = 3 Nf ∗ g = N (^) f + N (^) g − 1 = 4 + 3 − 1 = 6
fg(-2) = f(-1)g(-1) + f(0)g(-2) + f(1)g(-3) + f(2)g(-4) fg(-1) = f(-1)g(0) + f(0)g(-1) + f(1)g(-2) + f(2)g(-3) fg(0) = f(-1)g(1) + f(0)g(0) + f(1)g(-1) + f(2)g(-2) fg(1) = f(-1)g(2) + f(0)g(1) + f(1)g(0) + f(2)g(-1) fg(2) = f(-1)g(3) + f(0)g(2) + f(1)g(1) + f(2)g(0) fg(3) = f(-1)g(4) + f(0)g(3) + f(1)g(2) + f(2)g(1) Tabla 3.1 Convolución para las secuencias f=[f(-1), f(0), f(1), f(2) ] y g=[g(-1) g(0) g(1)]
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta Ahora deben compararse los productos indicados en la tabla 3.2 con los productos indicados por la tabla 3.1 y nótese que son los mismos. Entonces, la secuencia de convolución resultante es la misma ecuación (3.11).
Convolucione las siguientes secuencias f^ =[2,^5 ↑ ,^^0 ,^^4 ]^ y g =[4,^1 ↑ ,^^3 ] La longitud de la secuencia de convolución queda definida como Nf ∗ g = N (^) f + N (^) g − 1 = 4 + 3 − 1 = 6 El dominio de la secuencia de convolución es: n ϵ [ f (^) Indx.min + gIndx.min , f (^) Indx.max + gIndx.max ] n ϵ [− 1 −1,2+ 1 ] n ϵ [−2,3] La secuencia de convolución es: f ∗ g =[8,22, 11 ↑
-2 -1 0 1 2 3 4 5 f(n) 2 5 0 4 g(-(n+3)) 3 1 4 8 8 f(n) 2 5 0 4 g(-(n+2)) 3 1 4 2 20 22 f(n) 2 5 0 4 g(-(n+1)) 3 1 4 6 5 0 11 f(n) 2 5 0 4 g(-n) 3 1 4 15 0 16 31 f(n) 2 5 0 4 g(-(n-1)) 3 1 4 0 4 4 f(n) 2 5 0 4 g(-(n-2)) 3 1 4 12 12 Tabla 3.3 Convolución de las secuencias f=[2,5,0,4] y g=[4,1,3] 'Σ= 'Σ= 'Σ= 'Σ= 'Σ= 'Σ=
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta
Considérense las dos secuencias siguientes: son la mismas ecuaciones (3.9) f =[ f (− 1 ) , f ( 0 ) ↑ , f ( 1 ) , f ( 2 )] g =[ g (− 1 ) , g ( 0 ) ↑ , g ( 1 )] El planteamiento de la convolución por fórmula quedó definido en la tabla 3.2. ahora bien, considerando los factores no nulos y factorizando los factores de la secuencia f^ se logra el siguiente planteamiento:
f ∗ g (− 2 ) f ∗ g (− 1 ) f ∗ g ( 0 ) f ∗ g ( 1 ) f ∗ g ( 2 ) f ∗ g ( 3 )
g (− 1 ) 0 0 0 g ( 0 ) g (− 1 ) 0 0 g ( 1 ) g ( 0 ) g (− 1 ) 0 0 g ( 1 ) g ( 0 ) g (− 1 ) 0 0 g ( 1 ) g ( 0 ) 0 0 0 g ( 1 )
f (− 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 )
La ecuación anterior se puede expresar en forma compacta de la forma siguiente [ f ∗ g ]= G × F (3.17) En donde G =
g (− 1 ) 0 0 0 g ( 0 ) g (− 1 ) 0 0 g ( 1 ) g ( 0 ) g (− 1 ) 0 0 g ( 1 ) g ( 0 ) g (− 1 ) 0 0 g ( 1 ) g ( 0 ) 0 0 0 g ( 1 )
f (− 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 )
[ f ∗ g ]=
f ∗ g (− 2 ) f ∗ g (− 1 ) f ∗ g ( 0 ) f ∗ g ( 1 ) f ∗ g ( 2 ) f ∗ g ( 3 )
Nótese de la ecuación (3.20) que la secuencia de convolución es un vector columna.
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta Primero se crea una maya tal como se ilustra en la tabla 3.4: en el renglón superior se coloca la secuencia f en tanto que en la columna más a la derecha se coloca la secuencia g. Luego la maya se llena con el producto cartesiano de las secuencias, tal como se indica en la tabla 3. Finalmente, se realizan sumas en diagonal hacia abajo-izquierda. Los totales son los elementos de la secuencia de convolución tal como ilustra la tabla 3.6. donde: f ∗ g (− 2 )= f (− 1 ) g (− 1 ) f ∗ g (− 1 )= f (− 1 ) g ( 0 )+ f ( 0 ) g (− 1 ) f ∗ g ( 0 )= f (− 1 ) g ( 1 )+ f ( 0 ) g ( 0 )+ f ( 1 ) g (− 1 ) f ∗ g ( 1 )= f ( 0 ) g ( 1 )+ f ( 1 ) g ( 0 )+ f ( 2 ) g (− 1 ) f ∗ g ( 2 )= f ( 1 ) g ( 1 )+ f ( 2 ) g ( 0 ) f ∗ g ( 3 )= f ( 2 ) g ( 1 )
fg(0) fg(1) fg(2) fg(3) Tabla 3.6**. Método del producto para las secuencias [f(0),f(1),f(2),f(3)] y [g(0),g(1),g(2)]
Tabla 3.4. Método del producto. Planteamiento de la malla.
Tabla 3.5. Método de malla. Llenado de la malla.
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Convolucione las siguientes secuencias f =[2, 5 ↑
g =[ 4 , 1 ↑
El proceso por el método del producto queda definido como se indica en la tabla 3. La longitud de la secuencia de convolución queda definida como Nf ∗ g = N (^) f + N (^) g − 1 = 4 + 3 − 1 = 6 El dominio de la secuencia de convolución es: n ϵ [ f (^) Indx.min + gIndx.min , f (^) Indx.max + gIndx.max ] n ϵ [− 1 −1,2+ 1 ] n ϵ [−2,3] La secuencia de convolución es: f ∗ g =[8,22, 11 ↑
Considérense las dos secuencias siguientes: son la mismas ecuaciones (3.9) f =[ f (− 1 ) , f ( 0 ) ↑ , f ( 1 ) , f ( 2 )] g =[ g (− 1 ) , g ( 0 ) ↑ , g ( 1 )]
8 20 0 16 4 (^8) 2 5 0 4 1 (^22) 6 15 0 12 3 11 31 4 12 Tabla 3.7. Método de malla para las secuencias [f(0),f(1),f(2),f(3)] y [g(0),g(1),g(2)]
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta
Convolucione las siguientes secuencias f =[2, 5 ↑
g =[ 4 , 1 ↑
El proceso por el método del producto queda definido como se indica en la tabla 3.9: La longitud de la secuencia de convolución queda definida como Nf ∗ g = N (^) f + Ng − 1 = 4 + 3 − 1 = 6 El dominio de la secuencia de convolución es: n ϵ [ f (^) Indx.min + gIndx.min , f (^) Indx.max + gIndx.max ] n ϵ [− 1 −1,2+ 1 ] n ϵ [−2,3] La secuencia de convolución es: f ∗ g ( n )=[8,22, 11 ↑
Tabla 3.9 Convolución de las secuencias f=[2,5,0,4] y g=[4,1,3]
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Teorema 3.2 Asociatividad.
Teorema 3.3 Distributividad.
Teorema 3.4 Homogeneidad.
Teorema 3.5 Impulso. El impulso es el elemento identidad de la convolución f ( t )∗δ ( t )= f ( t ) (^) (3.27) Teorema 3.6 Invarianza temporal. Dada la convolución f ( t )∗ g ( t )= h ( t ) se tiene que: f ( t −α)∗ h ( t )= y ( t −α) (3.28) f ( t )∗ h ( t −β)= y ( t −β) (3.29) f ( t −α)∗ h ( t −β)= y ( t −α−β) (^) (3.30)
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Dada la secuencia periodica f^ ( n^ )^ de cardinalidad N a convolucionar con otra secuencia periodica g (^ n ) también de cardinalidad N , el proceso de convolución exige N × N productos e igual cantidad de sumas. Empleando una operación conocida como FFT (Trasnformada Rápida de Fourier) para calcular la convoución,
Dado que la FFT es una operación que se aplica a señales periódicas, es lógico pensar que los operandos de la convolución por FFT también son periódicos. A consecuencia, a la convolución lograda por FFT se le conoce como convolución circular o cíclica. La convolución circular es un proceso parecido a la convolución que se ha revisado en secciones pasadas. Hay dos diferencias fundamentales a considerar:
Sea la secuencia periódica f con cardinalidad N = 3 tal como se ilustra a continuación (Note que en la ecuación hay un origen definido). f =[... f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 0 ) ↑ , f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) , ...] (^) (3. 31 ) Esta secuencia también puede escribirse con índices no periódicos de la forma siguiente f =[... f (− 3 ) , f (− 2 ) , f (− 1 ) , f ( 0 ) ↑ , f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 ) , ...] (^) (3.32) Ambas formas, la periódica y la no periódica son equivalentes y serán usadas en la convolución circular.
En muchas bibliografías se acostumbra que el origen de la secuencia periódica sea siempre el primer elemento listado.
Cuando una secuencia periódica se adelanta un paso, el elemento más a la izquierda sale por izquierda e ingresa por la derecha, es decir.
Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta x ( n )=[ x ( 0 ) , x ( 1 ) , x ( 2 )] x ( n + 1 )=[ x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 0 )]
Cuando una secuencia periódica se atrasa un paso, el elemento más a la derecha sale por derecha e ingresa por la izquierda, es decir. x ( n )=[ x ( 0 ) , x ( 1 ) , x ( 2 )] x ( n − 1 )=[ x ( 2 ) , x ( 0 ) , x ( 1 )]
Definición 3.7 Convolución cirular de dos secuencias f^ ( n^ )^ y g ( n )^. Dada la secuencia de duración finita f ( n ) de longitud N y dada la secuencia g ( n )^ también de longitud N. La convolución queda representada como f^ ∗ g (^ n )= f^ ( n )∗ g^ ( n )^ y matemáticamente, la convolución circular se define como: f ☼ g ( n )= (^) ∑ m = 0 N − 1 f ( m ) g (−( m − n )) ; ∀ n ∈[0, N − 1 ] (^) (3. 35 ) Para ejemplificar el comportamiento periódico de la fórmula, ésta se desarrolla para N=3, es decir, sean las secuencias periódicas siguientes f =[ f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2 )] g =[ g ( 0 ) , g ( 1 ) , g ( 2 )]
Desarrollando la fórmula de la convolución ciruclar Illustration 3.1: (a)Representación del operando “f”. (b) Acomodo de los dos operandos “f” y “g” para la convolución circular.
