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La aplicación del algoritmo simplex para resolver problemas de programación lineal en la asignatura ingeniería de procesos de la licenciatura en ingeniería química en la facultad de química. Se incluyen cuatro ejemplos de problemas resueltos con el método, incluyendo la maximización de una función objetivo con restricciones y la utilización de variables de holgura.
Tipo: Ejercicios
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El Algoritmo Simplex y la planificación inteligente de personal | DMS Services
Problema 1.
Maximizar
x
0
= 2 x
1
2
Con las restricciones:
a)
− x
1
2
b)
x
1
2
c)
x
1
d)
x
2
Solución.
La función objetivo se iguala a 0 y las variables de holgura se agregan a las restricciones a) y b):
x
0
− 2 x
1
− 4 x
2
a)
− x
1
2
1
b)
x
1
2
2
c)
x
1
d)
x
2
La matriz se escribe como:
x 0
x 1
x 2
s 1
s 2
Identificando el valor más negativo:
x 0
x 1
x 2
s 1
s 2
La columna que se resaltó es la columna pivote. Después de esto, se divide la columna R entre los
valores de la columna pivote, sin considerar los valores negativos o 0:
x 0
x 1
x 2
s 1
s 2
El valor más pequeño es el que se toma y se selecciona la fila entera (renglón pivote). La intersección
entre la columna pivote y el renglón pivote es la celda pivote. A partir de esta, se divide el renglón pivote
entre el valor de la celda pivote de la matriz original, esto es
r
1
. Posterior a ello se convierten a 0 los
valores de las celdas que estén por encima o por debajo del valor de la celda pivote, realizando las
operaciones necesarias. Estas operaciones se repetirán a lo largo de todos los renglones:
x 0
x 1
x 2
s 1
s 2
Se repite el procedimiento descrito con anterioridad. A continuación, se colocan de manera organizada
las matrices consecuentes:
B x y s 1
s 2
s 3
B x y s 1
s 2
s 3
B x y s 1
s 2
s 3
B x y s 1
s 2
s 3
Para un análisis más detallado de las operaciones en cada renglón se recomienda consultar el archivo
de Excel que se adjunta en esta tarea.
Problema 3.
Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las
grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos 3 pastillas grandes y al menos, el
doble de pequeñas que de las grandes.
Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 euros y la pequeña de 1 euro. ¿Cuántas pastillas se
han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
Solución.
Sean:
Pastillas grandes → x
Pastillas pequeñas
→ y
Función objetivo: U ( x , y )= 2 x + y
Sujeto a:
a)
40 x + 30 y ≤ 600
b)
x ≥ 3
c) 2 y ≤ x
d) x ∧ y ≥ 0
Agregando las variables de holgura e igualando a 0 U :
U ( x , y )− 2 x − y = 0
a)
40 x + 30 y + s
1
b)
x − s
2
c)
− x + 2 y + s
3
U x y s 1
s 2
s 3
U x y s 1
s 2
s 3
U x y s 1
s 2
s 3
U x y s 1
s 2
s 3
De la última matriz se tiene:
0.75 y ≤ 12
x +0.75 y ≤ 15
2.75 y ≤ 15
De donde el único valor de
y que cumple las desigualdades anteriores es
y = 0
. Por lo tanto, se tiene:
x 15
y 0
U m e s1 s2 s3 R
Comentario.
Este método en algunos momentos me fue muy útil, en especial para el problema 2, pues de una
manera muy organizada se llega al resultado, sin embargo, fue impráctica con el ejercicio 3 donde no
se llega de una manera directa a la solución y llega un punto en el que no se puede hacer otra matriz
adicional para poder solucionar el sistema. Tal como se vio en sesiones anteriores, este problema
estaba sujeto a muchas interpretaciones que generaban un conjunto de soluciones muy distintas entre
sí, y el hecho de que la respuesta nos indique nuevamente que no se deben fabricar las pastillas
pequeñas nos da una alarma del proceso.
