Algebra lineal 31-1-2011
1. a) Completar y demostrar el siguiente resultado “de teor´ıa”: Sea f:V→Wlineal.
Si el subespacio Sde Vcumple ..., entonces la aplicaci´on lineal h:S→Im fdada
por h(a) = f(a) para cada a∈Ses biyectiva.
Si dim V=n, deducir la relaci´on que existe entre dim Im fy dim Ker f, enunciando
expl´ıcitamente los resultados previos que se utilicen.
b) Sea A m ×nde rango ry suponer que Bes una matriz de rango n−rtal que AB
es nula. Si la columna Xcumple que AX =0, probar que X=BY para alguna Y.
2. Sabemos que las matrices reales 2 ×2 forman un espacio vectorial real M2(R) de
dimensi´on 4 y que las sim´etricas forman un subespacio Sde dimensi´on 3. Llamar
F:S→M2(R) a la aplicaci´on lineal dada por F(M) = 0 0
2−1M.
- ¿Qu´e debe cumplir un par de bases e
B1de Sye
B2de M2(R) para que la matriz de
Fen dicho par sea de la forma IrO
O O ? Hallar bases e
B1ye
B2que cumplan esto.
- ¿Existe H1:M2(R)→Slineal tal que H1◦Fes la identidad?
¿Existe H2:S→Slineal y no biyectiva tal que F◦H2=F?
Para cada pregunta, razonar que no existe o encontrarlas todas, expres´andolas
mediante sus matrices (usar par´ametros y decir en qu´e bases).
- Sea Tel subespacio formado por las matrices de Sque tengan traza cero. Dar bases
de Ty de Im Fy la matriz en ellas de la G:T→Im Fdada por G(M) = F(M)
para cada M∈T. Razonar que Ges biyectiva y dar una expresi´on matricial de
G−1. Usar esta expresi´on para obtener G−10 0
2−1.
3. a) Sea Fforma hermitiana con matriz Aen una base Bde V, dim V=nySsubespacio
generado por b1,...,bk. ¿C´omo se usa Apara obtener F(v, w)?
Dar la definici´on de S⊥y probar que v∈S⊥si y solo si ...
Demostrar la relaci´on que existe entre dim Sy dim S⊥.
b) Sea Fforma hermitiana en un Vno necesariamente de dimensi´on finita. Razonar
que dos de los siguientes contenidos se cumplen para todo subespacio Sde V:
S⊥⊆V⊥,V⊥⊆S⊥,S⊆(S⊥)⊥, (S⊥)⊥⊆S.
Suponiendo que S+S⊥=V, probar que (S⊥)⊥⊆S+V⊥.
4. Sean A=
1 2 −1
2 6 2
−1 2 9
,B=
1 0 0
0−1 0
0 0 0
yqAla forma cuadr´atica real de matriz
Aen la base can´onica. Obtener un cambio de coordenadas que diagonalice qA. Deducir
la relaci´on entre A, la nueva matriz de qAy la matriz del cambio.
Para cada una de las siguientes cuestiones, probar que no existe Qo hallar una.
i) ¿Existe Qregular y real tal que A=QtBQ?
ii) ¿Existe Qregular y no real tal que A=QtBQ?
iii) ¿Existe Qreal y no regular tal que A=QtQ?