¡Descarga Formas Bilineales Simétricas: Propiedades y Demostraciones - Prof. Marti y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Cap´ıtol 3: Formes bilineals
- Formes bilineals
- Formes bilineals sim`etriques
- Formes bilineals sim`etriques reals.
Com en cap´ıtols anteriors, V representar`a un K-espai vectorial de dimensi´o
finita n ≥ 1.
1 Formes bilineals
Definici´o 1.1. Una aplicaci´o F : V × V → K, direm que ´es una forma bilineal
sobre V si verifica les condicions seg¨uents:
a) F (αu + βv, w) = αF (u, w) + βF (v, w) ∀u, v, w ∈ V, ∀α, β ∈ K
b) F (u, αv + βw) = αF (u, v) + βF (u, w) ∀u, v, w ∈ V, ∀α, β ∈ K
Conseq¨u`encies 1.2. Siga F una forma bilineal sobre V, aleshores:
a) ∀u ∈ V , l’aplicaci´o F (u, −) : V → K tal que F (u, −)(v) = F (u, v), ´es lineal.
b) ∀v ∈ V , l’aplicaci´o F (−, v) : V → K tal que F (−, v)(u) = F (u, v), ´es lineal.
c) F (u, 0) = 0 = F (0, u) ∀u ∈ V.
d) F (−u, v) = −F (u, v) = F (u, −v) ∀u, v ∈ V.
e) F
i=r ∑
i=
α i u i
j=s ∑
j=
β j v j
i=r ∑
i=
j=s ∑
j=
α i β j F (u i , v j ) amb u i , v j ∈ V i α i , β j
∈ K.
f ) Si F ´es forma bilineal sobre V , i W ´es un subespai vectorial no nul de V ,
aleshores la restricci´o de F a W , F |W : W × W → K, definida segons
F
| W
(w 1 , w 2 ) = F (w 1 , w 2 ) ∀w 1 , w 2 ∈ W , ´es una forma bilineal sobre W.
Demostraci´o. Immediata.
Exemple 1. F : R
2 ×R
2 → R, tal que F
(x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2
= 2x 1 y 1 −x 2 y 1 +5x 2 y 2
[
x 1 x 2
]
[
] [
y 1
y 2
]
´es forma bilineal sobre R
2 .
Exemple 2. M´es general, si A ∈ M n (K), B = {b 1 , b 2 ,... , b n } ´es una base
de V i els vectors x i y tenen per coordenades en la base B, (x 1 , x 2 ,... , x n ) i
(y 1 , y 2 ,... , y n ), respectivament, l’aplicaci´o F : V × V → K, tal que F (x, y) =
X
T AY ´es una forma bilineal sobre V.
Proposici´o 1.3. Siga F una forma bilineal i B = {b 1 , b 2 ,... , b n } una base de
V. Si x i y s´on vectors de V , de manera que x = x 1 b 1
- x 2 b 2
- · · · + x n b n i
y = y 1 b 1
- y 2 b 2
- · · · + y n b n , aleshores:
F (x, y) = X
T AY = [x 1 ,... , x n
]A
y 1
y n
on A = [αij ] tal que F (bi, bj ) = αij , 1 ≤ i, j ≤ n.
Demostraci´o. F (x, y) = F
i=n ∑
i=
x i b i
j=n ∑
j=
y j b j
i=n ∑
i=
j=n ∑
j=
x i y j F (b i , b j
i=n ∑
i=
j=n ∑
j=
x i α ij y j
j=n ∑
j=
i=n ∑
i=
x i α ij
y j
= [x 1 x 2... xn]
α 11 α 12
... α 1 n
α 21 α 22
... α 2 n
α n 1 α n 2
... α nn
y 1
y 2
y n
= X
T AY
Definici´o 1.4. Si F una forma bilineal sobre V i B = {b 1 , b 2 ,... , b n } ´es una base
de V , la matriu A = [α ij ] de la proposici´o anterior s’anomena matriu coorde-
nada de F en la base B:
Corol.lari 1.6. Totes les matrius coordenades d’una forma bilineal F respecte de
totes les possibles bases de V , tenen el mateix rang.
Demostraci´o. De la proposici´o es dedueix que totes les matrius coordenades d’una
forma bilineal F s´on equivalents. I dues matrius equivalents tenen el mateix rang.
Definici´o 1.7. Si F ´es una forma bilineal sobre V , definim rang de F , i ho
representem per rang F , al rang com´u a totes les matrius coordenades de F.
2 Formes bilineals sim`etriques
Definici´o 2.1. Una forma bilineal F ´es sim`etrica si F (u, v) = F (v, u) ∀u, v ∈ V.
Proposici´o 2.2. Siga F una forma bilineal i B base de V , aleshores F ´es sim`etrica
si i sols si la matriu coordenada M B (F ) ´es sim`etrica.
Demostraci´o. Si F ´es sim`etrica i B = {b 1 , b 2 ,... , b n } ´es una base de V , aleshores
la matriu MB(F ) ´es sim`etrica ja que ∀i, j tenim αij = F (bi, bj ) = F (bj , bi) = αji.
Rec´ıprocament, siga A = M B (F ) sim`etrica. Com A = A
T , i com F (x, y) ∈ K,
tenim:
F (x, y) =
F (x, y)
T
=
X
T AY
T
=
Y
T
A
T (X
T )
T = Y
T AX = F (y, x)
Definici´o 2.3. Si F ´es forma bilineal sim`etrica, aleshores l’aplicaci´o q F
:V → K,
definida per q F
(v) = F (v, v) ∀v ∈ V , s’anomena forma quadr`atica associada a
F. Es verifica que q F
(αv) = α
2 q F
(v), ∀v ∈ V i ∀α ∈ K.
Nota: Si A, B ∈ M n (K), direm que A ´es congruent amb B si existeix una
matriu P ∈ GL n (K) tal que B = P
T AP. Aquesta relaci´o ´es una relaci´o bin`aria
d’equival`encia en el conjunt M n (K). En particular, nosaltres estudiarem la con-
gruencia de matrius quan aquestes s´on simetriques. Denotarem amb S n (K) el
conjunt de totes les matrius sim`etriques , n × n, sobre K.
Definici´o 2.4. Siguen A, B ∈ Sn(K), direm que A ´es congruent amb B si
B = P
T AP , amb P ∈ GL(n, K). Aquesta definici´o dona lloc a una relaci´o bin`aria
d’equival`encia en Sn(K).
Proposici´o 2.5. Siguen A, B ∈ Sn(K), aleshores A ´es congruent amb B si i sols
si A i B s´on matrius coordenades de la mateixa forma bilineal sim`etrica F.
Demostraci´o. Si A i B s´on matrius coordenades de la mateixa forma bilineal
sim`etrica F , d’acord amb la proposici´o (1.5), existeix una matriu P regular tal
que B = P
T AP. Aix´ı que A i B s´on congruents.
Rec´ıprocament, si A ´es congruent amb B, existeix P ∈ GL(n, K) tal que
B = P
T AP. Si P = [p ij
]
1 ≤i,j≤n , i B = {b 1 , b 2 ,... , b n } ´es una base de V , definim
b
′
j
i=n ∑
i=
p ij b i per a 1 ≤ j ≤ n; per ser P inversible, el conjunt B
′ = {b
′
1
, b
′
2
,... , b
′
n
´es base de V i P esdev´e la matriu del canvi de base.
Aleshores, siga F la forma bilineal sobre V tal que M B (F ) = A. Com A ´es
matriu simetrica, F ´es forma bilineal simetrica. Per (1.5), la matriu M B
′ (F ) =
P
T AP = B. Aix´ı que A i B s´on matrius coordenades de la mateixa forma bilineal
sim`etrica F.
Definici´o 2.6. Siga F una forma bilineal sim`etrica sobre V. Dos vectors u i v
de V direm que s´on F - ortogonals si F (u, v) = 0. Un vector v ∈ V direm que ´es
F - is`otrop si ´es F (v, v) = 0. Una base {w 1 , w 2 ,... , w r } de W ≤ V ´es diu base
F-ortogonal si F (w i , w j ) = 0 sempre que i 6 = j.
D’acord amb aquesta definici´o, qualsevol base d’un subespai vectorial W de
dimensi´o 1 es considera base F -ortogonal de W.
Proposici´o 2.7. Siga F una forma bilineal sim`etrica sobre V , i W ≤ V. Aleshores:
a) W
⊥ = {v ∈ V | F (v, w) = 0 ∀w ∈ W } ´es subespai vectorial de V.
b) Si W 6 = { 0 } i {w 1 , w 2 ,... , wr} ´es base de W , aleshores:
v ∈ W
⊥ si i sols si, F (v, w i ) = 0 1 ≤ i ≤ r
Demostraci´o. a) W
⊥ 6 = ∅, doncs 0 ∈ W
⊥ .
Es un simple exercici provar que
αu + βv ∈ W
⊥ per a tot α, β ∈ K i per a tot u, v ∈ W
⊥ .
b) Si F (v, w i ) = 0 1 ≤ i ≤ r, siga w =
r
i=
α i w i ∈ W. Aleshores, F (v, w) = ∑ r
i=
α i F (v, w i ) = 0; per tant, v ∈ W
⊥
. L’altra implicaci´o ´es `obvia.
Definici´o 2.8. El subespai vectorial W
⊥ de V l’anomenarem subespai F-ortogonal
de W. En particular, a V
⊥ l’anomenarem nucli de F.
nucli(F ) = V
⊥ = {v ∈ V | F (v, w) = 0 ∀w ∈ V }
Proposici´o 2.9. Siga F una forma bilineal sim`etrica sobre V , i W ≤ V. Aleshores:
dim W + dim W
⊥ ≥ dim V
Demostraci´o. Farem la demostraci´o per inducci´o sobre n.
- dim V = 1: En aquest cas tota base de V ´es F - ortogonal.
- dim V = n i suposem que tot K-espai vectorial , de dimensi´o n − 1 ≥ 1 ,
amb una forma bilineal sim`etrica sobre ell, F , t´e alguna base F - ortogonal :
Distingirem per a la demostraci´o les dues situacions seg¨uents:
a) F (v, v) = 0 ∀v ∈ V : Siguen v, u dos vectors qualsevol de V ; tenim:
0 = F (v + u, v + u) = F (v, v) + F (v, u) + F (u, v) + F (u, u) =
= F (v, u) + F (u, v) = (1 + 1) F (u, v)
Com que car K 6 = 2, d’ac´ı es dedueix que F (u, v) = 0 i, per tant, en
aquest cas tota base de V ´es F -ortogonal.
b) ∃v 0 ∈ V / F (v 0 , v 0 ) 6 = 0: Per (2.11), tenim V = 〈v 0 〉⊕〈v 0
⊥
. Per tant
dim (〈v 0
⊥ ) = n − 1. Siga W = 〈v 0
⊥ i F /W la forma bilineal inducida
sobre W ; apliquem hip`otesi d’inducci´o a aquest subespai vectorial W i
obtenim una base {w 1 , w 2 ,... , w n− 1 } que verifica:
F (w i , w j
) = F
/W (w i , w j ) = 0 i 6 = j 1 ≤ i, j ≤ n − 1
Aleshores, com V = 〈v 0 〉 ⊕ W , ´es immediat que {v 0 , w 1 ,... , wn− 1 } ´es
base F -ortogonal de V.
Corol.lari 2.14. Siga V un K-espai vectorial de dimensi´o n ≥ 1 , amb car K 6 = 2,
i F una forma bilineal sim`etrica sobre V ; aleshores tot subespai vectorial no nul
de V t´e alguna base F -ortogonal.
Demostraci´o. Si { 0 } 6 = W ≤ V , ´es suficient considerar la forma bilineal sim`etrica
subordinada F /W sobre W i aplicar el teorema.
Corol.lari 2.15. Si V ´es un espai vectorial real i F una forma bilineal sim`etrica
sobre ell, aleshores tot subespai no nul de V t´e alguna base F -ortogonal. En par-
ticular V t´e bases F -ortogonals.
Demostraci´o. Immediata ja que car R 6 = 2.
Nota 2.16. La matriu coordenada de F en una base F -ortogonal B = {b 1 , b 2 ,... , b n
de V ´es una matriu diagonal.
Es a dir,
MB(F ) =
F (b 1 , b 1
0 F (b 2 , b 2
0 0... F (bn, bn)
= diag
[
q F
(b 1 ), q F
(b 2 ),... , q F
(bn)
]
i rang F coincideix amb el nombre de termes no nuls d’aquesta diagonal. Si
v = x 1 b 1
- · · · + x n b n , l’expressi´o de la forma quadr`atica, respecte la base B, queda:
q F
(v) = x
2
1
q F
(b 1 ) + · · · + x
2
n
q F
(b n
3 Formes bilineals sim`etriques reals
Al llarg d’aquesta secci´o, V representar`a un espai vectorial real de dimensi´o
finita n ≥ 1, i F una forma bilineal sim`etrica sobre V.
Definici´o 3.1. Si B = {b 1 , b 2 ,... , b n } ´es una base F -ortogonal de V , aleshores el
nombre de termes estrictament positius que hi ha en la matriu diagonal MB(F )
l’anomenarem signatura de F respecte de B i ho representarem per sig B
(F ).
Teorema 3.2. Teorema de Sylvester de la signatura. La signatura de F
respecte de totes les bases F -ortogonals de V ´es la mateixa.
Demostraci´o. Siguen B = {e 1 ,... , e n )} i B
′ = {u 1 ,... , u n } bases F -ortogonals de
V , i siguen sig B (F ) = s i sig B
′ (^) (F ) = t. Suposarem B i B
′ ordenades de manera
que:
M
B (F ) = diag
[
q F
(e 1 ),... , q F
(e s
q F
(e i )> 0
, q F
(e s+ )... , q F
(e n
q F
(e i )≤ 0
]
M
B ′ (F ) = diag
[
q F
(u 1 ),... , q F
(u t
q F
(ui)> 0
, q F
(u t+ )... , q F
(u n
q F
(ui)≤ 0
]
Si considerem els subespais de V , H = 〈e 1 ,... , es〉 i H
′ = 〈ut+1,... , un〉,
provarem que H ∩ H
′ = { 0 }. En efecte, si x ∈ H ∩ H
′ , aleshores:
x =
α 1 e 1 + · · · + αses ∈ H
β t+ u t+
∈ H
′
Corol.lari 3.5. En cada classe de congruencia de matrius n × n simetriques reals
hi ha una ´unica matriu de la forma diag
[
s
r−s
n−r
]
Tal matriu es dira canonica de la classe de congru`encia.
Demostraci´o. Exist`encia: Siga una tal classe i siga A una matriu de la classe.
Fixem una base B i siga F la forma bilineal sim`etrica sobre V tal que
MB(F ) = A. Per la proposici´o anterior, existeix una base B
′ de V tal que
M
B ′ (F ) = diag
[
s
r−s
n−r
]
= C
Per tant, A ´es congruent a C, doncs s´on matrius coordenades de la mateixa
forma bilineal F ; ´es a dir C pertany a la classe.
Unicitat Si C
′ = diag
[
s ′
r ′ −s ′
n−r ′
]
´es una altra matriu
de la classe, C i C
′ s´on congruents, aix´ı que tenen el mateix rang i r = r
′ .
Per (2.5) existir`a una base B
′′ de V tal que M B
′′ (F ) = C
′
. Pel teorema de
Sylvester, el nombre de termes positius de C i de C
′ coincideix; ´es a dir
s = s
′
. En definitiva, C = C
′
Si A ´es una matriu sim`etrica real n × n, calcular la seua matriu congruent
can`onica ´es trobar la matriu C = diag
[
s
r−s
n−r
]
tal que A cong C.
Definici´o 3.6. Si A ∈ S n (R), definim sig(A) com el nombre de 1 de la matriu
canonica de la seua classe de congruencia.
Corol.lari 3.7. Si A, B ∈ S n (R), aleshores els enunciats seg¨uents s´on equivalents:
a) A i B s´on congruents.
b) rang(A) = rang(B) i sig(A) = sig(B).
Demostraci´o.
- a) =⇒ b): Si A i B s´on congruents, aleshores s´on matrius equivalents i per
tant rang(A) = rang(B). Per altra banda, al ser A i B congruents, estan
en la mateixa classe de congruencia; si la matriu canonica de la classe de
congru`encia ´es C = diag
[
s
r−s
n−r
]
es verifica
que sig(A) = s = sig(B).
- b) =⇒ a): Si suposem rang(A) = rang(B) = r i sig(A) = sig(B) = s,
aleshores la congruent can`onica, tant de A com de B ´es
C = diag
[
s
r−s
n−r
]
Aix´ı que A ´es congruent a C, i B ´es congruent a C; concluim que A ´es
congruent a B.
Definici´o 3.8. Si F ´es una forma bilineal sim`etrica sobre V , direm que F ´es
definida positiva si F (x, x) > 0 , ∀x ∈ V x 6 = 0. Direm que una matriu
A ∈ S
n (R) ´es definida positiva, si i sols si, sig(A) = rang(A) = n, ´es a dir, si
i sol si, A ´es congruent amb la matriu I n
Conseq¨uencies Si F ´es una forma bilineal simetrica sobre V , aleshores:
a) F ´es definida positiva si i sols si sig(F ) = rang(F ) = dim(V ).
b) Si F ´es definida positiva, aleshores tot subespai W de V verifica:
W ⊕ W
⊥ = V
Demostraci´o. a) Suposem que F ´es definida positiva. Si B = {b 1 , b 2 ,... , b n } ´es
una base F -ortogonal de V , la matriu coordenada de F respecte la base B
´es diagonal i en la diagonal estan els nombres reals F (b i , b i ), 1 ≤ i ≤ n.
Per ser F definida positiva, F (bi, bi) > 0, 1 ≤ i ≤ n. Aix´ı que rang(F ) =
rang(M B (F )) = n; i sig(F ) = al nombre de termes positius de la diagonal
= n.
Inversament, si sig(F ) = rang(F ) = n, podem trobar una base B = {b i
tal que MB(F ) = In. Siga x =
n
i=
xibi ∈ V , no nul, i X
T la matriu fila
[x 1 , x 2 ,... , x n ]. Aleshores, F (x, x) = X
T I n
X =
n
i=
x
2
i
b) Si W ≤ V , tenim W ∩ W
⊥ = { 0 }; en efecte, si x ∈ W ∩ W
⊥ , F (x, x) = 0
i per tant, x = 0. A m´es, n ≥ dim
W + W
⊥
= dim(W ) + dim(W
⊥ ) −
dim
W ∩W
⊥
= dim(W )+dim(W
⊥ ) ≥ n. En resum, dim
W +W
⊥
= n, i
V = W +W
⊥
. Com la intersecci´o ´es nul.la, la tesi es segueix immediatament.
Teorema 3.9. Criteri de Sylvester de la signatura. A ´es una matriu
sim`etrica real, n × n. Denotem amb A i la submatriu principal constitu¨ıda per
les i primeres files i columnes. Suposem que |Ai| 6 = 0 1 ≤ i ≤ n. Aleshores, la
signatura de A ´est`a determinada pel nombre de termes positius de la successi´o
|A
1
|A
2
|A 1 |
|A
n
|An− 1 |
En particular, A ´es definida positiva si, i sols si, |A i | > 0 1 ≤ i ≤ n.
Podem demostrar per inducci´o sobre i que 〈a 1 , a 2 ,... , a i 〉 = 〈b 1 , b 2 ,... , b i 〉; siga
Wi = 〈a 1 , a 2 ,... , ai〉; com {a 1 , a 2 ,... , ai} ´es fam´ılia lliure, tenim dim(Wi) = i; aix´ı
que {b 1 , b 2 ,... , b i } ´es sistema generador minimal de W i
. Per tant, {a 1 , a 2 ,... , a i
i {b 1 , b 2 ,... , bi} s´on bases de Wi. Si considerem la forma bilineal indu¨ıda F/W i
sobre W i , la matriu coordenada corresponent respecte la base {a 1 , a 2 ,... , a i } ´es
A
i , i respecte la base {b 1 , b 2 ,... , b i } ´es diag [u 1 , u 2 ,... , u i ],; amb la qual cosa,
existir`a una matriu regular P i tal que
P
T
i
A
i
P
i = diag [u 1 , u 2 ,... , u i
]
Prenem determinants:
|P
i
2 |A i | = u 1 u 2 · · · u i
i aleshores, signe(|A i |) = signe(u 1 u 2 · · · u i
En resum:
signe(|A 1 |) = signe(u 1 ); signe(|A 2 |) = signe(u 1 u 2 ) = signe(u 1 )signe(u 2
...... , signe(|A i |) = signe(u 1 u 2 · · · u i ) = signe(u 1 u 2 · · · u i− 1 )signe(u i
signe(u i
signe(|A i
signe(|Ai− 1 |)
= signe
|A i |
|Ai− 1 |
Com la signatura de F (i la signatura de A) estan determinades pel nombre de
termes positius de la successi´o u 1 , u 2 ,... , u n , el resultat es segueix immediata-
ment.
En particular, si A ´es definida positiva, tots els termes de la successi´o
u 1 , u 2 ,... , u n
s´on positius; per tant, tamb´e s´on positius els termes de la successi´o
|A
1
|A
2
|A
1
|A
n
|A
n− 1
Aix`o implica que tots els termes de la successi´o |A 1
|, |A
2
|,... , |A
n | s´on posi-
tius. I viceversa.
EXEMPLE: Si A =
[
]
, la base B
′ que trobem en la demostraci´o del teore-
ma anterior ´es : {b 1 = a 1 ; b 2 = a 2 − 2 a 1 }.
EXERCICI: Repasseu la demostraci´o del teorema anterior i proveu que, a m´es,
es verifica:
|Ai|
|Ai− 1 |
= u i
