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ÁLGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS
Convocatoria Febrero 2012
Alumno: DNI:
Ejercicio 1. Sea A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}. El cardinal del conjunto P(A × B) es: (a) 212. (b) 27. (c) 72. (d) 122. Ejercicio 2. ¿Cuál de las siguientes reglas define una aplicación f : N → N? (a) f(n) = n^2 − 1. (b) f(n) = n^2 − 60n + 800. (c) f(n) = n^3 +6n 3 2 +8n.
(d) f(n) = n^3 +5n 6 2 +6n. Ejercicio 3. En Z 12 definimos la relación de equivalencia xRy si x^2 = y^2. Entonces el cardinal del conjunto cociente vale: (a) 1 (b) 4 (c) 6 (d) 12 Ejercicio 4. Disponemos de 45 billetes de 20 euros, y 18 billetes de 50 euros. ¿De cuántas formas distintas podemos conseguir 1110 euros? (a) 7. (b) 11. (c) 9. (d) 5. Ejercicio 5. ¿Para que valor de m no es verdad que 36 ≡ 9 mód m? (a) m = 8. (b) m = 10. (c) m = 12. (d) m = 14.
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Ejercicio 6. Dado el sistema de congruencias 22x ≡ 26 mód 36 13x ≡ 38 mód 51
(a) No tiene solución pues 51 y 36 no son primos relativos. (b) No tiene solución pues 22 no tiene inverso módulo 36. (c) Tiene una única solución comprendida entre 1000 y 2000. (d) Tiene cuatro soluciones comprendidas entre 1000 y 2000.
Ejercicio 7. Sea A = Z 5 [x]x (^4) +3x (^3) +3x (^2) +x+ 2 , y sea p(x) = x^2 + 1 ∈ A. Entonces:
(a) p(x) no tiene inverso en A pues x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 2 tiene a x = 1 como raíz. (b) p(x) no tiene inverso en A pues x^2 + 1 no es irreducible. (c) p(x) tiene inverso en A y vale 2x^3 + x^2 + 4x + 1. (d) p(x) tiene inverso en A y vale x^3 + x^2 + 4x + 2.
Ejercicio 8. De los siguientes anillos, indica cuál es un cuerpo con 125 elementos: (a) Z 5 [x]x (^3) +x+ 1. (b) Z 3 [x]x (^5) +x (^2) + 2. (c) Z 5 [x]x (^3) +x (^2) + 4. (d) {a(x) ∈ Z 5 [x] : gr(a(x)) ≤ 124 }. Ejercicio 9. El resto de dividir 55141838 entre 7 es: (a) 6. (b) 1. (c) 4. (d) 3. Ejercicio 10. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Q
ax + y + z = b x + by + z = a (a) El sistema es siempre compatible indeterminado. (b) Si a = b = 1 el sistema es incompatible. (c) Existen valores de a y b para los que el sistema es compatible determinado. (d) El sistema es compatible indeterminado si, y sólo si, a · b = 1.
Ejercicio 11. Sea A =
∈^ M^4 (Z^7 ). Entonces el determinante de^ A^ vale:
(a) 3. (b) 4. (c) 1. (d) 0.
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(b) A tiene dos valores propios distintos, y no es diagonalizable. (c) A tiene dos valores propios distintos, y es diagonalizable. (d) A tiene un único valor propio.
Ejercicio 18. Dada la aplicación lineal f : Q^3 → Q^2 definida por f(x, y, z) = (2x + 3y, 7x + z) (a) Una base de la imagen es {(1, 0); (0, 1)}. (b) f es inyectiva. (c) f no es sobreyectiva. (d) El núcleo de f tiene dimensión 2.
Ejercicio 19. Sea A =
∈ M 2 (Z 5 ). Entonces A^105 vale
(a)
(b)
(c) A. (d) La matriz identidad.
Ejercicio 20. Sea U el subespacio vectorial de (Z 5 )^4 generado por los vectores (1, 0, 1, 2); (0, 4, 1, 1). Las ecua- ciones cartesianas de U son: (a) {^ 4x + 2y + 3z + 4t = 0.
(b)
{ (^) x + 4y + 4z = 0 3x + 3y + 4z + 4t = 0.
(c)
x + z + 4t = 0 2x + 4y + 4t = 0 3x + 4y + 2z + 3t = 0
(d)
{ (^) 3x + y + z + t = 1 x + 4y + 4z = 0.
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