Departamento de Matem´aticas
Universidad de Salamanca
4 de junio de 2012
´
ALGEBRA LINEAL II - 1oGRADO EN MATEM´
ATICAS
RESPUESTAS A LAS CUESTIONES TE ´
ORICAS
Responder razonadamente a las siguientes cuestiones:
1. Se dice que dos subvariedades de un espacio af´ın se cruzan cuando sus subespacios
directores no tienen ning´un vector en com´un. ¿Pueden cruzarse dos subvariedades
afines de dimensi´on 3 en un espacio vectorial de dimensi´on 5?
Respuesta.- NO, porque si A1=p1+E1yA2=p2+E2con dim E1=
dim E2= 3, entonces dim (E1+E2)≤5 (que es la dimensi´on el espacio), y por
tanto dim (E1∩E2)≥1, de donde se deduce que los subespacios directores tienen
vectores en com´un y las subvariedades no pueden cruzarse.
2. Sea Eun espacio vectorial de dimensi´on 7 y sea T:E−→ Eun endomorfismo de
polinomio anulador pa
T(x) = (x−3)α. Si E≃E1⊕E2, siendo E1=< e1>Ty
E2=< e2>T(mon´ogenos para T), ¿puede ocurrir que α= 3?
Respuesta.- NO, porque si α= 3 del segundo teorema de descomposici´on se deduce
que dim E1= gr [pa
T(x)] = 3 y dim E2≤3. Luego dim (E1⊕E2)≤6 y E=E1⊕E2.
3. Sea Tun endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on 3 con T≡A, y Auna
matriz no diagonal. Si Ttiene un ´unico valor propio, ¿puede ser Tdiagonalizable?
Respuesta.- NO, porque si Ttiene un ´unico valor propio, diagonaliza solamente
cuando pa
T(x) = x−λ, algo que es imposible si la matriz Aes no diagonal.
4. Sea kun cuerpo en el que multiplicar por 2 no sea cero. Si Ees un espacio vectorial
sobre k, ¿es posible que exista un tensor no nulo Tp∈Tp(E) tal que Tpsea al mismo
tiempo sim´etrico y hemisim´etrico?
Respuesta.- NO, porque si σes una permutaci´on de p elementos con signo -1, si Tp
es sim´etrico se verifica que Tσ
p=Tp, y si es hemisim´etrico se tiene que Tσ
p=−Tp,
algo que no puede ocurrir simultaneamente porque Tp=−Tp(estamos en un cuerpo
donde 1 =−1).