¡Descarga Solución Examen Álgebra/Matemáticas I - 15/06/2013 - Prof. 57 y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
SOLUCIÓ EXAMEN 15/06/
a) Calculeu “x” (x és un nombre real) per a què el resultat del producte (x + 2 + ix)·(x – i) sigui un nombre real.
b) Calculeu les arrels terceres del complex següent: z= -i (proporcioneu els angles en graus i els resultats en forma polar)
Solució:
a) Fem el producte dels complexos, recordant, tal com s´explica al requadre
gris de la pàgina 17, que i^2 1 :
(x + 2 + ix)·(x – i) = x^2 – xi + 2x – 2i + x^2 i + x = (x^2 + 3x) + (x^2 – x – 2)i
Seguint les instruccions de la pàgina 18, apartat 3.2 sobre la forma binòmica dels nombres complexos, igualem la part imaginària a 0.
Resolem l´equació de segon grau:
x^2 – x – 2 = 0
x^118
Per tant, queden les següents solucions:
x = 2
x = -
b) Escrivim el complex z en forma polar tal com s´explica a l´apartat 3.4, pàgina 27 del material imprès, sobre la forma polar dels nombres complexos:
0 2 ( 1 )^21
arctg arctg
m
Observem que restem 180º donat que la part imaginària del complex és negativa (apartat 3.4.1 de la pàgina 30 del material imprès).
Tenim, per tant, que z i 1270 º
Com que ens demanen les arrels terceres, hem de fer (observem que a l´apartat 3.6.1. de la pàgina 43 del material imprès es fa el mateix però amb les arrels cúbiques de la unitat):
3
(^3) z (^3 1270) º (^31270) º 360 º k per a k=0, 1, 2
Això és, el mòdul de les arrels és: r ^3 1 1
Els arguments de les arrels són
^270 º^ ^360 º k per a k=0, 1, 2
Si k=0, tenim que 0 90 º
Si k=1, tenim que 1 90 º 120 º 210 º
Si k=2, tenim que 2 ^90 º^240 º^330 º
Per tant, les tres arrels terceres del complex z i són:
i
i
i
330 º
210 º
90 º
a) Trobeu el pla π que conté la recta r: 1 2 2
x (^) y z i és paral·lel a la recta
s: 1 2 1 2
x (^) y (^) z
b) Trobeu els valors de a i b per tal que el punt Q= a , b, 3 pertanyi a π. Resolució: a) L’equació d’un pla a R 3 es determina per un punt del pla i dos vectors Com que el pla π conté la recta r també contindrà tots els punts d’aquesta recta. Sabem que l’equació contínua de la recta, es defineix com (pàg. 42 del mòdul 2):
1 2 3 1 2
x p y p z p v v v
3 Així doncs, és fàcil trobar un punt i un vector director de la recta, ja que l’equació que tenim la podem escriure com:
On és fàcil veure el punt:P=(1,0,2) . I el vector: v=(2,1,-1)
x (^) y z
x y z
Estudiem el rang de la matriu A. Com que
, aleshores.
Per a veure quan el rang pot ser 3, calculem el determinant d’ A i obtenim
rang A 2
A 3 a 2 que només s’anul.la pel valor a = 2/.
Cas I. a^ ^ 2 / 3^ ^ A^ ^0 ^ rang A^ ^3 ^ rang A '^ ^ SCD
I si el resolem pel mètode de Cramer:
x
a 1 a 1 A
a^ ^1 ^6 a^ ^4 a^ ^3 3 a 2 3 a^ ^2 3 a 2
y
1 a a 1 A
^3 ^4 a ^3 a ^ a^ ^1 3 a 2 6 a^ ^4 3 a 2
z
1 1 a A
a^ ^1 ^1 ^2 a 3 a 2 3 a^ ^2 3 a 2
I per tant la solució única és: independent del valor que donem al
paràmetre
^ 1,2,1
a 2 / 3.
Cas II. a 2 / 3 A 0 rang A 2
Per a calcular el rang de la matriu ampliada orlem el menor diferent de zero que tenim a la matriu A i mirem si s’anul.la el determinant.
1 2 1 1 1 0 1 1 2 / 3
0 rang A ' 2 rang A SCI
Per a la resolució, una vegada anul·lada la 3a equació i passant la incògnita z als termes independents, obtenim el següent sistema d’equacions equivalent
x 2 y 1 4 z x y 3 z
que ens porta a la solució x 1 ^2 z 3
, y 7 z ^1 3
, z z.
4. Sigui P el quadrat de vèrtexs (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1).
a) Sigui G el gir de 45º en sentit antihorari des del punt (0,1). Sigui Q la imatge de P per G. Calculeu Q. b) Sigui E l’escalatge uniforme de raó a des del punt (0,0). Sigui R la imatge de Q per E. Trobeu a de manera que un costat de R estigui damunt la recta x 2.
Resolució:
Per fer un gir de 45º des del punt (0,1), primer fem la translació que porta el
(0,1) a l’origen (veure apunts M6, Notació matricial eficient) :
T
^
Després fem el gir de 45ª en sentit antihorari:
gir
Després desfem la translació: 1
T
^.
Composant les tres
transformacions, obtenim G , el gir de 45º en sentit antihorari des del punt (0,1):
c) 1
G T gir T
^
^ ^
^ ^
^ ^
Calculem Q, la imatge del quadrat P pel gir G :
