Teoría de Conjuntos: Definiciones y Operaciones - Prof. Morais San Miguel, Apuntes de Álgebra

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Algebra

Ingenier´ıa en Inform´atica

Universidad de Alcal´a

Jos´e Enrique Morais San Miguel

6 de octubre de 2004

Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes.

E.W. Dijkstra

• 1. Preliminares
  • 1.1. Teor´ıa de conjuntos y aplicaciones.
    • 1.1.1. Definici´on de conjunto. Paradoja de Russell
    • 1.1.2. Subconjuntos. Operaciones entre conjuntos
    • 1.1.3. Aplicaciones
  • 1.2. Relaciones de orden y de equivalencia
    • 1.2.1. Relaciones de equivalencia
    • 1.2.2. Relaciones de orden
  • 1.3. N´umeros naturales. Principio de inducci´on
    • 1.3.1. N´umeros naturales
    • 1.3.2. Principio de inducci´on
  • 1.4. Cardinal de un conjunto
    • 1.4.1. ¿Qu´e significa contar?
    • 1.4.2. Cardinal de un conjunto
  • 1.5. Operaciones internas
    • 1.5.1. El anillo Z
  • 1.6. Problemas propuestos
• 2. Divisibilidad en Z
  • 2.1. Divisi´on eucl´ıdea en Z. M´aximo com´un divisor
  • 2.2. Algoritmo de Euclides. Teorema de Lam´e
    • 2.2.1. Teorema de Lam´e
  • 2.3. Identidad de B´ezout. Algoritmo extendido de Euclides
  • 2.4. Ecuaciones diof´anticas lineales
  • 2.5. M´ınimo com´un m´ultiplo
  • 2.6. Problemas propuestos
• 3. Congruencias
  • 3.1. Aritm´etica modular. Teorema chino de los restos
    • 3.1.1. Aritm´etica modular
    • 3.1.2. Teorema chino de los restos
    • 3.1.3. El grupo multiplicativo Z∗ m
  • 3.2. Teorema de Euler-Fermat
  • 3.3. Un test de primalidad eficiente
    • 3.3.1. Algoritmo binario para el c´alculo de potencias
    • 3.3.2. Test de Miller-Rabin
  • 3.4. Sistema criptogr´afico de clave p´ublica RSA
  • 3.5. Problemas propuestos
• 4. El anillo de polinomios K[x]
  • 4.1. Polinomios y divisibilidad
    • 4.1.1. Divisi´on eucl´ıdea
  • 4.2. Cuerpos finitos
• 5. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
  • 5.1. Matrices sobre un cuerpo. Definiciones y notaci´on
    • 5.1.1. Operaciones con matrices
  • 5.2. Rango de una familia de vectores de Kn
  • 5.3. Rango por filas y por columnas de una matriz
  • 5.4. Rango de una matriz. Matrices elementales
    • 5.4.1. Matrices elementales
    • 5.4.2. Rango de una matriz
    • 5.4.3. Aplicaci´on al c´alculo de inversas de matrices regulares
  • 5.5. Combinaci´on lineal. Variedades lineales
  • 5.6. Sistemas de ecuaciones lineales.
    • 5.6.1. Nulidad de una matriz
    • 5.6.2. Resoluci´on de sistemas lineales
  • 5.7. Problemas propuestos
• 6. Diagonalizaci´on de matrices
  • 6.1. Introducci´on
    • 6.1.1. Un ejemplo preliminar
    • 6.1.2. Planteamiento general del problema
  • 6.2. Algoritmo de diagonalizaci´on
  • 6.3. Aplicaciones de la diagonalizaci´on
    • 6.3.1. Manipulaci´on algebraica de matrices
    • 6.3.2. Sistemas de recurrencias lineales
    • 6.3.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
  • 6.4. Problemas propuestos
• 7. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales
  • 7.1. Espacios vectoriales
  • 7.2. Aplicaciones lineales
  • 7.3. C´odigos correctores de errores
  • 7.4. Problemas propuestos

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1. Teor´ıa de conjuntos y aplicaciones.

1.1.1. Definici´on de conjunto. Paradoja de Russell

Si acudimos a un diccionario, la definici´on que se nos da de conjunto es, m´as o menos, del siguiente tenor: Totalidad de los entes matem´aticos que tienen una propiedad com´un.^1

En esta definici´on, y de manera impl´ıcita, estamos suponiendo que tenemos una colecci´on de objetos (matem´aticos o no, eso es lo de menos) y que disponemos de un criterio que nos permite saber si tal o cual objeto pertenece a dicha colecci´on o no (se tratar´ıa de ver si cumple o no la propiedad). Es decir, si mi colecci´on de objetos es A y x es un objeto podemos determinar si x ∈ A (x pertenece a A) o x /∈ A (x no pertenece a A). Aparentemente, esta definici´on de conjunto es perfectamente coherente, pero plantea serios problemas como veremos a continuaci´on. El l´ogico gal´es Bertrand Russell (1872-1970)^2 , considerado uno de los grandes en la L´ogica del Siglo XX escribi´o : “Normally, a class 3 is not a member of itself. Mankind, for example, is not a man”. Pero si consideramos el conjunto de todos los conjuntos, ´este se contendr´ıa a s´ı mismo. En consecuencia, Russell explicaba en 1901 la que ha pasado a la historia como paradoja de Russell en los siguientes t´erminos:

Form now the assemblage of classes which are not members of them- selves. This is a class: is it a member of itself or not? If it is, it is one of those classes that are members of themselves, i.e. it is not a member of itself. If it is not, it is not one of the classes that are not members of themselves, i.e it is a member of itself. Thus the two hypothesis- that (^1) Esta definici´on est´a extra´ıda de la versi´on de 2001 del Diccionario de la RAE. (^2) Una peque˜na biograf´ıa de Russell, con especial atenci´on a sus aportaciones matem´aticas,

puede consultarse en http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/ Russell.html (^3) Aqu´ı clase debe entenderse como conjunto definido como en el diccionario.

1.1. TEOR´IA DE CONJUNTOS Y APLICACIONES. 3

para todo x ∈ B , x ∈ B implica x ∈ A.

Si B es subconjunto de A tambi´en se suele decir que A incluye a B o que B est´a in- cluido en A.

Ejemplo 1.

El conjunto formado por las alumnas de la Universidad de Alcal´a es un sub- conjunto del conjunto de todos los estudiantes de la Universidad de Alcal´a.

El conjunto dado por

{x ∈ N : x = 2n, para alg´un n ∈ N}

es un subconjunto de los n´umeros naturales.

Por otro lado, se tiene que

A = B ⇐⇒ A ⊂ B y B ⊂ A.

El conjunto vac´ıo (denotado ∅) es el conjunto que no tiene ning´un elemento. Puesto que la condici´on x ∈ ∅ es siempre falsa, por lo anterior ∅ es subconjunto de cualquier conjunto. Puesto que, por otro lado, todo conjunto es subconjunto de s´ı mismo, llamaremos subconjuntos propios de un conjunto a todos los subconjuntos de ´el que no sean ni el vac´ıo, ni el propio conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los n´umeros naturales pares es un subconjunto propio del conjunto de n´umeros naturales.

Operaciones entre conjuntos

A partir de un conjunto dado o de varios conjuntos dados, podemos construir nuevos conjuntos. De esto nos ocuparemos en lo que resta de Subsecci´on.

Dado un conjunto A se define otro conjunto, conocido como el conjunto de partes de A y denotado por P(A), que es el conjunto de todos los subconjuntos de ´el. Por ejemplo, si

A = {a, b, c},

P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Supongamos ahora que tenemos dos conjuntos A y B. A partir de ellos, podemos construir los siguientes conjuntos (¡conviene que se comparen estas nociones y sus propiedades con la de los conectivos l´ogicos,{∨, ∧, ¬}, que seguro se introducir´an en la asignatura de L´ogica!):

4 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

La uni´on de A y de B, escrito A

B, se define como {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La intersecci´on de A y de B, escrito A

B se define como {x : x ∈ A y x ∈ B}. Si A

B = ∅, se dice que A y B son disjuntos.

El complementario de B en A, escrito A \ B, es el subconjunto de A dado por {x : x ∈ A y x /∈ B}.

Los conceptos de uni´on e intersecci´on pueden extenderse a una familia (finita o no) de conjuntos cualesquiera.

Para las propiedades que siguen, supondremos que todos los conjuntos involucrados son subconjuntos de otro prefijado U y denotaremos por Ac^ el complementario de A en U. Asimismo, I denota un conjunto de ´ındices.

1. A

i∈I

Bi) =

i∈I

(A

Bi)

2. A

i∈I

Bi) =

i∈I

(A

Bi)

i∈I

Ai)c^ =

i∈I

Aci y (

i∈I

Ai)c^ =

i∈I

Aci (Leyes de Morgan)

4. A

B = B ⇐⇒ A ⊂ B ⇐⇒ A

B = A

Dado que es el primer resultado que nos aparece en las notas, demostraremos algunas de estas propiedades con todo lujo de detalles.

Propiedad 1. Por lo que hemos visto sobre la igualdad de los conjuntos, la propiedad 1 es equivalente a

A

i∈I

Bi) ⊂

i∈I

(A

Bi) y (1.1) ⋃

i∈I

(A

Bi) ⊂ A

i∈I

Bi) (1.2)

Probemos (1.1) en primer lugar. Para ello, deberemos mostrar que todo elemento

de A

i∈I

Bi) es tambi´en un elemento de

i∈I

(A

Bi). Sea, pues, x ∈ A

i∈I

Bi).

Por definici´on de intersecci´on de conjuntos, esto es tanto como decir que x ∈ A

y x ∈

i∈I

Bi. Ahora bien, por definici´on de uni´on, x ∈

i∈I

Bi implica que existe al

menos un i ∈ I tal que x ∈ Bi. Si a esta ´ultima condici´on le a˜nadimos ahora que x ∈ A, se tiene que x ∈ A

Bi para el i anterior. En consecuencia, x ∈

i∈I

(A

Bi)

como quer´ıamos demostrar.

6 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

En el caso de que A = B, A × B se suele escribir A^2 y si A 1 = A 2 = · · · = An = A, A 1 × A 2 × · · · × An se denota por An.

Finalmente, estudiamos un tipo de construcci´on de inter´es en Inform´atica, tal cual es el conjunto de palabras sobre un alfabeto finito. Supongamos dado un conjunto finito Σ (por ejemplo, el alfabeto espa˜nol {a,b,c,d,... , n,˜n,... , x,y,z} o { 0 , 1 }) que llamaremos alfabeto. Se llama palabra de longitud n a una n−tupla de elementos de Σ, es decir, α = (α 1 ,... , αn) ∈ Σn. Habitualmente, se omiten los par´entesis y las comas y se escribe

α 1... αn.

Si n = 0, Σ^0 se define como el conjunto formada ´unicamente por la palabra vac´ıa que se denota λ.

Por poner unos ejemplos, si Σ es el alfabeto espa˜nol, patata es una palabra de longitud 6 (est´a formada por 6 letras), supercalifragilistico es una palabra de longitud 21, ascvbghe tiene longitud 8,...

De esta forma, se define como el conjunto de palabras sobre el alfabeto finito Σ, y se denota Σ∗^ a

Σ∗^ =

n∈N

Σn.

1.1.3. Aplicaciones

Antes de definir de manera precisa el concepto de aplicaci´on, estudiemos un ejemplo ilustrativo. En tiempos que parecen ya muy lejanos (cuando la “mili”era obligatoria), todos los mozos de una quinta ten´ıan que pasar por un proceso que inclu´ıa, entre otras cosas, la medida de su talla. Este proceso, asociar a cada mozo un n´umero (su talla en cent´ımetros) es un ejemplo t´ıpico de aplicaci´on. Dado un conjunto, en este caso los mozos del reemplazo, a cada uno de ellos se le asocia un ´unico elemento de otro conjunto (en este caso, un n´umero natural).

Definici´on 1.2 Dados conjuntos, A y B, una aplicaci´on f de A en B (escrito f : A → B) asigna a cada elemento a ∈ A un ´unico elemento b ∈ B. Al conjunto A se le dice dominio y a B rango. Dos funciones son iguales si poseen el mismo dominio y toman igual valor para elementos iguales del dominio. Si S ⊂ A, podemos definir una aplicaci´on de S en B, llamada restricci´on de f a S y denotada por f |S , que a cada elemento de S le asigna el mismo valor que f.

Ejemplo 1.

La aplicaci´on que a cada ciudadano espa˜nol le asigna un n´umero (el DNI).

La aplicaci´on talla estudiada anteriormente.

1.1. TEOR´IA DE CONJUNTOS Y APLICACIONES. 7

f : N → N dado por f (n) = 2n. Esta ´ultima es una forma t´ıpica de expresar una aplicaci´on: decir cu´al es la imagen de un elemento gen´erico del dominio.

Definici´on 1.4 (Composici´on de aplicaciones) Sean f : A → B y g : B → C dos aplicaciones. La composici´on de las aplicaciones f y g, denotada por g ◦ f , es una aplicaci´on de A en C dada por

(g ◦ f )(a) = g(f (a)).

Dada una aplicaci´on f : A → B se denomina conjunto imagen al subconjunto de B definido por:

{b ∈ B : b = f (a) para alg´un a ∈ A},

y a menudo se denota por Imf. Por otro lado, si T ⊂ B la imagen inversa de T por f es el conjunto

{a ∈ A : f (a) ∈ T }

que, habitualmente se denota por f −^1 (T ). Si T est´a compuesto por un ´unico ele- mento, T = {b}, se suelen omitir las llaves y se escribe f −^1 (b).

Proposici´on 1.5 Sea f : A → B una aplicaci´on. Se puede ver que:

para S ⊂ A, S ⊂ f −^1 (f (S));

para T ⊂ B, f (f −^1 (T )) ⊂ T.

Asimismo, si {Ti : i ∈ I} es una familia de subconjuntos de B, se verifica

f −^1 (

i∈I

Ti) =

i∈I

f −^1 (Ti)

f −^1 (

i∈I

Ti) =

i∈I

f −^1 (Ti)

Nota: El rec´ıproco a las dos primeras afirmaciones del resultado anterior no es, en general, cierto. Por ejemplo, sean J el conjunto de jugadores de la liga espa˜nola en la temporada actual y f la aplicaci´on que a cada jugador le asocia su altura. Si S es el conjunto formado ´unicamente por Benayoun (S = {Benayoun}), puesto que su altura es de 178 cm, f −^1 (f (S)) es el conjunto de todos los jugadores que miden 178 cm. Entre ellos estar´a el propio Benayoun, pero tambi´en muchos otros. ¿Por qu´e no se da la igualdad? Simplemente, porque hay m´as jugadores, aparte de Benayoun, que miden 178 cm.

1.1. TEOR´IA DE CONJUNTOS Y APLICACIONES. 9

Teorema 1.9 Sea f : A → B una aplicaci´on y A 6 = ∅.

1. f es inyectiva si, y s´olo si, existe una aplicaci´on g : B → A tal que g ◦ f = IA.
2. f es sobreyectiva si, y s´olo si, existe una aplicaci´on h : B → A tal que f ◦ h = IB.

Demostraci´on.– 1.- Supongamos, primero que existe g tal que g ◦ f = IA. Como IA es inyectiva, por lo anterior, la existencia de g garantiza la inyectividad de A.

Supongamos, ahora que f es inyectiva. Entonces, para cada b ∈ f (A), existe un ´unico a tal que f (a) = b. Sea ahora a 0 un elemento cualquiera de A. La aplicaci´on

g(x) =

a, si b ∈ f (A) y f (a) = b a 0 , si b /∈ f (A)

verifica g ◦ f = IA.

2.- Si existe h tal que f ◦ h = IB , puesto que IB es sobreyectiva, la Proposici´on anterior me garantiza que f es sobreyectiva.

Supongamos ahora que f es sobreyectiva. Eso quiere decir que para cualquier b ∈ B, f −^1 (b) ⊂ A no es vac´ıo. En consecuencia podemos elegir ab ∈ f −^1 (b). La aplicaci´on h(b) = ab verifica la tesis del enunciado

Nota. En la prueba del Teorema anterior hemos dado por hecho que en cualquier conjunto no vac´ıo podemos escoger siempre un elemento. Aunque no entraremos en ello, los axiomas t´ıpicos de la teor´ıa de conjuntos no nos garantizan que podamos ha- cerlo. En consecuencia, se suele asumir que esto siempre es posible constituy´endose entonces como un axioma m´as. Existen distintas versiones de este axioma que se conoce como Axioma de elecci´on.

La aplicaci´on g del Teorema anterior se suele llamar inversa a izquierda de f y la h inversa a derecha de f. Si una aplicaci´on f : A → B posee una inversa a izquierda g y una inversa a derecha h, se tiene:

g = g ◦ IB = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f ) ◦ h = IA ◦ h = h

y la aplicaci´on g = h se dice inversa a derecha e izquierda de f. Asimismo, este argumento prueba que si existe inversa a derecha e izquierda de f ´esta es ´unica. Ahora, juntando los dos apartados del Teorema y las consideraciones previas, se tiene que si f : A → B es una aplicaci´on, entonces

f es biyectiva ⇐⇒ f posee inversa a izquierda y derecha.

La ´unica aplicaci´on que es inversa a derecha e izquierda de f se denota por f −^1 y se llama inversa de f.

10 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

1.2. Relaciones de orden y de equivalencia

1.2.1. Relaciones de equivalencia

Una relaci´on en un conjunto A no es m´as que un subconjunto R del producto cartesiano A × A. De esta forma se dice que dos elementos est´an relacionados, aRb, si el par (a, b) pertenece al subconjunto R. Supongamos que tomamos un grupo de personas y R el conjunto de pares ordenados de personas que son del mismo sexo. Dos personas est´an relacionadas si, y s´olo si, son del mismo sexo.

Las propiedades que puede tener una relaci´on son:

reflexiva: aRa para todo a de A,

sim´etrica: aRb =⇒ bRa,

antisim´etrica : aRb y bRa =⇒ a = b

transitiva: aRb y bRc =⇒ aRc

As´ı, la relaci´on anteriormente definida es reflexiva, sim´etrica y transitiva. Obs´ervese que, de esta forma, hemos clasificado a nuestro grupo en dos, a saber, hombres y mu- jeres. Esto es as´ı, justamente, por verificar esa relaci´on las citadas tres propiedades.

Definici´on 1.10 Una relaci´on que verifique las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva se denomina relaci´on de equivalencia.

Ejemplo 1.

Relaci´on de congruencia m´odulo un natural n > 0 en Z definida por

r congruente con s m´odulo n ⇐⇒ r − s es m´ultiplo de n

Relaci´on de paralelismo entre rectas del plano.

La relaci´on de equipotencia entre conjuntos definida por

A y B equipotentes ⇐⇒ existe una aplicaci´on biyectiva f : A → B.

Como ya hemos dicho, las relaciones de equivalencia sirven para clasificar los ele- mentos del conjunto A en lo que se conoce como clases de equivalencia. La clase de un elemento a es:

¯a = [a] = {x ∈ A : xRa}.

12 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

La relaci´on ≤ en Z, Q o R.

En los dos ejemplos anteriores, se percibe una radical diferencia. En P(A) dos ele- mentos no son siempre comparables: por ejemplo, si A = { 1 , 2 , 3 , 4 }, los subconjuntos { 1 , 2 } y { 2 , 3 } no verifican ni { 1 , 2 } ⊂ { 2 , 3 } ni { 2 , 3 } ⊂ { 1 , 2 }. Sin embargo, dados dos n´umeros enteros, por ejemplo, siempre uno de ellos es menor o igual que el otro. Un conjunto con una relaci´on de orden en la que dos elementos son siempre compa- rables, se dice totalmente ordenado. Si no, se dice parcialmente ordenado. En un conjunto con una relaci´on de orden, algunos elementos reciben nombres es- peciales:

m´ınimo: a ∈ A tal que a ≤ x para todo x ∈ A

m´aximo: a ∈ A tal que x ≤ a para todo x ∈ A

Por ejemplo, el conjunto de n´umeros naturales posee m´ınimo para la relaci´on de orden habitual, mientras que no posee m´aximo. En el caso de las partes de un conjunto A con la inclusi´on como relaci´on de orden, se tiene que el conjunto vac´ıo es m´ınimo y el propio conjunto A es m´aximo.

Por otro lado, en relaci´on a un subconjunto X de A se dice que a ∈ A es

cota inferior, si a ≤ x para todo x ∈ X;

´ınfimo, si es la mayor de las cotas inferiores;

cota superior, si x ≤ a para todo x ∈ X;

supremo, si es la menor de las cotas superiores.

Cuando se tiene una relaci´on de orden ≤, la notaci´on a < b significa que a ≤ b y a 6 = b, mientras que la notaci´on b ≥ a significa, obviamente, que a ≤ b.

Para concluir, una ´ultima definici´on: un conjunto con una relaci´on de orden se dice bien ordenado si todo subconjunto no vac´ıo tiene m´ınimo, es decir, existe ´ınfimo y ´este pertenece al subconjunto.

1.3. N UMEROS NATURALES. PRINCIPIO DE INDUCCI ´ ON´ 13

1.3. N´umeros naturales. Principio de inducci´on

1.3.1. N´umeros naturales

El conjunto de los n´umeros naturales se define usando la conocida como Axiom´atica de Peano que data de 1889. Esto es,

1. 0 es un n´umero natural
2. Para cada n´umero natural x existe otro n´umero natural x′^ llamado sucesor de x, tal que

a) 0 no es sucesor de ning´un n´umero natural b) Si x′^ = y′, entonces x = y

3. Axioma de Inducci´on : Si S es un subconjunto de N que verifica :

a) 0 ∈ S, b) Si x est´a en S, su sucesor tambi´en.

Entonces, S = N.

Antes de continuar, algunos peque˜nos comentarios sobre estos axiomas:

El primero de ellos postula la existencia de un elemento que consideramos el primero de todos para la ordenaci´on que introduce el segundo postulado. El segundo postu- lado garantiza la infinitud de N y, por ´ultimo, el tercero nos garantiza que el ´unico conjunto que se puede construir a partir de los dos primeros postulados es el de los n´umeros naturales.

Usando los axiomas de Peano, es posible definir la suma en N. En la forma habitual, llamemos 1 al sucesor de 0, 2 al sucesor de 1, 3 al sucesor de 2,... De esta forma, podemos definir n + 0 = n y una vez definido n + m, definimos n + m′^ := (n + m)′, por ejemplo, n + 1 = (n + 0)′^ = n′. La multiplicaci´on puede tambi´en definirse a partir de estos axiomas de la forma que sigue:

n · 1 := n

una vez definido n · m, definimos n · m′^ := (n · m) + n

A pesar de que no entraremos en ello se˜nalemos que, a partir de estas definiciones, se pueden demostrar las propiedades habituales de las operaciones aritm´eticas suma y producto en N (conmutatividad de la suma y del producto, asociatividad de suma y producto, existencia de elemento neutro para la suma y elemento identidad para el producto, distributividad,...).

Am´en de las operaciones aritm´eticas ya se˜naladas, sabemos que en N se tiene un or- den que puede deducirse del segundo postulado de los axiomas de Peano. Se˜nalemos,

1.3. N UMEROS NATURALES. PRINCIPIO DE INDUCCI ´ ON´ 15

1 + 2 + · · · + n =

n(n + 1) 2

Esta f´ormula es un caso claro del tipo de problemas que podemos atacar con el Teorema 1.15. Tenemos una serie de afirmaciones, una por cada n´umero natural, y queremos verificar la veracidad de cada una de ellas. Para ello, definimos el conjunto S como

S = {n ∈ N : 1 + 2 + · · · + n =

n(n + 1) 2

Se tiene que 1 ∈ S por cuanto

1 =

Adem´as si suponemos que n ∈ S, es decir,

1 + 2 + · · · + n =

n(n + 1) 2

es f´acil ver que tambi´en es cierto

1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =

(n + 1)(n + 2) 2

o, lo que es lo mismo, (n+1) ∈ S. Aplicando el Teorema 1.15, habremos demostrado que la f´ormula es cierta para cualquier n´umero natural mayor o igual que 1.

El mismo razonamiento que hemos hecho con la suma aritm´etica, puede realizarse para cualquier conjunto de proposiciones que dependan de un par´ametro natural.

Corolario 1.16 (Principio de inducci´on) Supongamos que para cada natural n ≥ n 0 se tiene una proposici´on P (n) que puede ser cierta o falsa. Si

1. P (n 0 ) es cierta y
2. para todo n ≥ n 0 , P (n) cierta =⇒ P (n + 1) es cierta. Entonces, P (n) es cierta para todo n ≥ n 0.

Asimismo, por argumentos no demasiado complicados, podemos formular el princi- pio de inducci´on de esta otra manera:

Corolario 1.17 Supongamos que para cada natural n ≥ n 0 se tiene una proposici´on P (n) que puede ser cierta o falsa. Si

1. P (n 0 ) es cierta y
2. para todo n ≥ n 0 , P (m) cierta para todo m con n 0 ≤ m ≤ n =⇒ P (n + 1) es cierta. Entonces, P (n) es cierta para todo n ≥ n 0.

16 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

Ejemplo 1.18 (M´as ejemplos de aplicaci´on del principio de inducci´on) 1.- Probar que

12 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 =

n(n + 1)(2n + 1) para todo n ≥ 1

a) La f´ormula es cierta para n = 1, pues 1 =

b) Supongamos que la f´ormula es cierta para n. Si eso implica que la f´ormula es cierta para n + 1, tendr´ıamos probada la f´ormula para cualquier natural ≥ 1. Se tiene, aplicando la hip´otesis de la veracidad de la f´ormula para n (hip´otesis de inducci´on), que

12 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 + (n + 1)^2 =

n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)^2.

Unas peque˜nas cuentas prueban que

12 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 + (n + 1)^2 =

(n + 1)(n + 2)(2n + 3),

con lo que habr´ıamos terminado.

2.- Probar que 3^2 n^ − 1 es m´ultiplo de 8 para todo natural ≥ 1.

a) Como 3^2 − 1 = 8, la afirmaci´on es cierta para n = 1.

b) Lo que tenemos que ver ahora es

32 n^ − 1 m´ultiplo de 8 =⇒ 3 2(n+1)^ − 1 m´ultiplo de 8

Ahora bien,

3 2(n+1)^ − 1 = 3^2 n+2^ − 1 = 3^2 n^ · 32 − 1 = 3^2 n^ · 32 − 32 + 3^2 − 1 = 3^2 (3^2 n^ − 1) + (3^2 − 1)

Aplicando que 3^2 n^ − 1 es m´ultiplo de 8 y que 3^2 − 1 = 8 tambi´en, se concluye que 3 2(n+1)^ − 1 es m´ultiplo de 8.

1.4. Cardinal de un conjunto

1.4.1. ¿Qu´e significa contar?

Supongamos que tomamos el tren en el apeadero del Campus para trasladarnos a la estaci´on de Atocha. ¿C´omo contamos el n´umero de paradas entre una y otra estaci´on? La primera vez que se para el tren es en Alcal´a y a esa parada le asig- namos el n´umero natural 1. La siguiente parada es La Garena a la que le asignamos