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Capítulo 1
Conjuntos, aplicaciones y relaciones
1.1. Conjuntos
1.1.1. Generalidades sobre conjuntos.
Comenzamos esta notas con una introducción de algunos conceptos básicos sobre conjuntos. La idea de conjunto es una de las más importantes en matemáticas, pues gran parte de ellas está escrita en lenguaje de teoría de conjuntos. Un conjunto va a ser para nosotros una colección de objetos. En principio, estos objetos pueden tener cualquier naturaleza, y pueden ser de cualquier tamaño, aunque esto podría dar lugar a algunas contradicciones. Nosotros no vamos a entrar en esos detalles, pues para ello habría que definir una axiomática que se escapa de los objetivos de estas notas. A los objetos que forman parte de un conjunto, los llamaremos elementos del conjunto.
Relación de pertenencia.
Cuando un elemento forma parte de un conjunto, diremos que ese elemento pertenece al conjunto, y lo representaremos mediante el símbolo ∈. Es decir, si tenemos un conjunto X, y a es un elemento que pertenece al conjunto X, escribiremos a ∈ X. Así, si llamamos X al conjunto de los números naturales menores que 10 tenemos que 5 es un elemento de X, luego 5 ∈ X (se lee 5 pertenece a X). Cuando tengamos que varios elementos a 1 , a 2 , · · · , an tal que todos ellos pertenecen a un conjunto X escribiremos a 1 , a 2 , · · · , an ∈ X. Por ejemplo, con el conjunto X que hemos descrito anteriormente, podríamos escribir 2 , 3 , 5 , 7 ∈ X, en lugar de 2 ∈ X, 3 ∈ X, 5 ∈ X y 7 ∈ X. Si hay algún objeto que no pertenece a un conjunto, emplearemos el símbolo 6 ∈. De esta forma tenemos que 13 6 ∈ X. Informalmente, cuando un elemento pertenezca a un conjunto diremos que dicho elemento está en el conjunto. Entre los conjuntos consideramos uno formado por la colección de cero objetos, es decir, un conjunto que no tiene elementos. Dicho conjunto lo llamaremos conjunto vacío y será nombrado como ∅.
Descripción de conjuntos.
Un conjunto queda caracterizado por los elementos que tiene. Para determinar un conjunto entonces podemos hacerlo enumerando todos sus elementos. En tal caso, los elementos se escriben serparados por comas y entre llaves. Por ejemplo, el conjunto X que hemos nombrado antes sería
X = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } Siguiendo esta notación, el conjunto vacío lo podemos representar como {} (aunque preferimos la notación ∅). Sin embargo, cuando el conjunto tiene muchos elementos, o bien cuando es un conjunto infinito, esta forma no es útil. Pensemos, por ejemplo, en el conjunto de números naturales menores que 100000. Una forma para describir este conjunto podría ser Y = { 0 , 1 , 2 , 3 , · · · , 999998 , 999999 }. El siguiente conjunto
2 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES
representa el conjunto de todos los números naturales, y es denotado como N. También podemos describir el conjunto de los números enteros, que denotaremos como Z
Z = {· · · , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , · · · } Otros conjuntos infinitos con los que trabajaremos a lo largo del curso son, por ejemplo, el conjunto de los números racionales (Q), el conjunto de los números reales (R), el conjunto de los números complejos (C), etc. Hay otra forma de especificar un conjunto, y es a partir de una o varias propiedades que determinen de forma exclusiva los elementos de ese conjunto. Normalmente, en este caso, haremos referencia a un conjunto y especificaremos los elementos de este conjunto que verifican la propiedad. Por ejemplo, el conjunto X podemos describirlo:
X = {n ∈ N|n < 10 } Y se leería X es el conjunto de todos los n ∈ N tal que n es menor que 10, o si preferimos, el conjunto de todos los números naturales menores que 10. En este caso, hemos hecho referencia al conjunto de los números naturales. También podríamos haberlo descrito haciendo referencia a los números enteros como
X = {n ∈ Z| 0 ≤ n < 10 } A esta forma de describir un conjunto la llamaremos implícita, en contraposición a la que consiste en enumerar los elementos, que llamaremos explícita. Por ejemplo, si P es el conjunto de los números pares, entonces podemos describirlo como sigue:
P = {· · · − 6 , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , · · · } = {n ∈ Z|n es par } = {n ∈ Z|existe m ∈ Z : n = 2m}
P = {n ∈ Z|n = 2m para algún m ∈ Z} Incluso, podríamos escribir:
P = { 2 n : n ∈ Z} = 2Z Con la notación 2 Z queremos decir el conjunto de todos los números que se obtienen de multiplicar por 2 los elementos de Z. No interpretar como el producto de un número por un conjunto. ¿Cómo podríamos entonces especificar el conjunto de los números impares? ¿y el de los números que dan resto 2 al dividirlos por 5?
Igualdad e inclusión de conjuntos.
Hemos dicho más arriba que un conjunto queda determinado por los elementos que tiene. No influye por tanto el orden en que estén dados esos elementos ni ningún otro factor. En tal caso, los conjuntos A = { 3 , 1 , 5 } y B = { 1 , 3 , 5 } son iguales, e iguales al conjunto {m ∈ N|m impar y m ≤ 6 }. También el conjunto A es igual al conjunto C = { 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 3 , 5 , 5 } pues todos los elementos que pertenecen a C pertenecen a A y todos los elementos que pertenecen a A pertenecen también a C. La igualdad de conjuntos, por tanto, podría definirse así:
Definición 1. Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A y B son iguales (A = B) si para cualquier x ∈ A se tiene que x ∈ B y viceversa, es decir, para cualquier x ∈ B se tiene que x ∈ A.
Cuando todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B diremos que A es un subconjunto de B, y lo representaremos como A ⊆ B. También puede leerse esto como A está contenido en B o B contiene a A. Esto queda recogido en la siguiente definición:
Definición 2. Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A es un subconjunto de B, que A está contenido en B, o que B contiene a A, y escribiremos A ⊆ B si para cualquier elemento x ∈ A se tiene que x ∈ B.
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4 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES
1.1.2. Operaciones con conjuntos.
Vamos a ver a continuación cómo, a partir de algunos conjuntos podemos obtener otros nuevos.
Unión de conjuntos.
Dados dos conjuntos A y B, podemos formar un nuevo conjunto reuniendo los elementos que, bien pertenecen a A, bien pertenecen a B. Obtenemos así el conjunto denominado unión de A y B, y que representaremos como A ∪ B.
Definición 4. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B como
A ∪ B = {x|x ∈ A ó x ∈ B}
Ejemplo 1.1.3. Si A es el conjunto de los números naturales pares menores que 15, y B el conjunto de los números primos menores que 15 entonces
A ∪ B = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 }
Los elementos 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 pertenecen a A ∪ B pues todos ellos pertenecen a A, mientras que 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 pertenecen a A ∪ B pues todos ellos pertenecen a B. De la misma forma, podría definirse la unión de tres o más conjuntos. Así, si llamamos ahora C al conjunto { 1 , 5 , 7 , 11 } entonces
A ∪ B ∪ C = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 } Pues cada uno de los elementos que hemos indicado pertenece al menos a uno de los conjuntos A, B ó C. También podría haberse definido la unión de tres conjuntos A, B, C como A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C. Puede comprobarse fácilmente que (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Notemos que si A y B son dos conjuntos, entonces tanto A como B son subconjuntos de A ∪ B, y A ∪ B es el menor conjunto que tiene esa propiedad (tener a A y B como subconjuntos). Dicho de otra forma:
A ⊆ A ∪ B B ⊆ A ∪ B y si
A ⊆ C
B ⊆ C
entonces A ∪ B ⊆ C
es decir, A y B son subconjuntos de A ∪ B y si hubiera otro conjunto C que tuviera a A y a B como subconjuntos, entonces también tiene a A ∪ B como subconjunto (en este sentido decimos que A ∪ B es el menor conjunto con esa propiedad).
Intersección de conjuntos.
Definición 5. Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Dicho conjunto se denota como A ∩ B.
A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B} = {x ∈ A|x ∈ B} = {x ∈ B|x ∈ A} Cuando la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío se dice que esos conjuntos son disjuntos.
Ejemplo 1.1.4. Para los conjuntos A, B y C del ejemplo anterior se tiene que
A ∩ B = { 2 } A ∩ C = ∅ B ∩ C = { 5 , 7 , 11 }
De forma análoga a como se hizo con la unión puede definirse la intersección de tres o más conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B es un subconjunto de A y de B. De hecho es el mayor subconjunto común de ambos.
A ∩ B ⊆ A A ∩ B ⊆ B y si
C ⊆ A
C ⊆ B
entonces C ⊆ A ∩ B
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1.1. Conjuntos 5 Diferencia de conjuntos.
Definición 6. Si A y B son dos conjuntos, se define el conjunto diferencia A \ B como el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B (es decir, para formar A \ B le quitamos a A los elementos que están en B).
A \ B = {x ∈ A|x 6 ∈ B}
Ejemplo 1.1.5. Para los conjuntos A y B del ejemplo anterior se tiene que A \ B = { 0 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 } (a A le quitamos el 2 que es el único elemento que pertenece a B), mientras que B \ A = { 3 , 5 , 7 , 11 , 13 }.
Notemos que dados dos conjuntos cualesquiera A y B se tiene que A \ B = A \ (A ∩ B), pues al quitarle a A un elemento que está en B en realidad estamos quitando un elemento que está en A ∩ B (si no estuviera en A no habría que quitarlo). Veamos una demostración de esto. Como hemos dicho antes, para ver que dos conjuntos son iguales probaremos que uno está incluido en el otro y el otro en el uno. En primer lugar veamos que A \ B ⊆ A \ (A ∩ B), es decir, que todo elemento de A \ B pertenece a A \ (A ∩ B). Sea x ∈ A \ B. Entonces x ∈ A y x 6 ∈ B. Por tanto, x 6 ∈ A ∩ B (pues no pertenece a B). Tenemos entonces que x ∈ A y x 6 ∈ A ∩ B, luego x ∈ A \ (A ∩ B). Recíprocamente, si x ∈ A \ (A ∩ B) entonces x ∈ A y x 6 ∈ A ∩ B. Como x 6 ∈ A ∩ B, x no puede ser simultáneamente elemento de A y de B, luego o no es elemento de A o no es elemento de B, es decir, x 6 ∈ A ó x 6 ∈ B. La primera opción no puede darse, pues teníamos que x ∈ A, luego se da la segunda, es decir, x 6 ∈ B. Y lo que tenemos ahora es que x ∈ A y x 6 ∈ B, luego x ∈ A \ B.
Diferencia simétrica.
Definición 7. Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de A y B como el conjunto A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Es decir, en A∆B están los elementos que pertenecen a uno de los dos conjuntos, A ó B, pero no a ambos. Podría entonces haberse definido como (A ∪ B) \ (A ∩ B). Queda como ejercicio demostrar que ambas definiciones son equivalentes. Para los conjuntos A y B de los ejemplos anteriores se tiene que
A∆B = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 }.
Complementario.
Normalmente, cuando estamos trabajando con conjuntos, fijaremos un conjunto de referencia al que llamaremos universo, y todas las operaciones que realicemos serán entre subconjuntos del mismo. Así, en los ejemplos que hemos visto, podríamos haber trabajado con N como universo. Todos los conjuntos que intervienen son subconjuntos de N.
Definición 8. Si X es un universo, y A es un conjunto (un subconjunto de X), se define el comple- mentario de A como el conjunto formado por todos los elementos (de X) que no pertenecen a A. El complementario de un conjunto A será denotado como A o A′.
Si X = N, y P es el subconjunto formado por los números pares, entonces P es el conjunto de todos los números impares. Notemos que el conjunto A es igual al conjunto X \ A, y que dados A y B dos subconjuntos de un conjunto X entonces A \ B = A ∩ B, pues A \ B son los elementos de A que no pertenecen a B, es decir, los elementos de A que pertenecen a B.
Tablas de pertenencia.
Si X es un conjunto que tomamos como universo, y A 1 , A 2 , · · · An son subconjuntos de X, para cada conjunto C que podamos formar a partir de los conjuntos A 1 , A 2 , · · · , An vamos a definir la denominada tabla de pertenencia. Esta tabla está formada por ceros y unos, y nos indica la posibilidad de que un
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1.1. Conjuntos 7
- A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C.
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C.
- A ∪ A = A.
- A ∩ A = A.
- A ∪ (A ∩ B) = A.
- A ∩ (A ∪ B) = A.
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
- A ∪ ∅ = A.
- A ∩ ∅ = ∅.
- Si A ⊆ B entonces A ∪ B = B (comparar con 7. y 11.).
- Si A ⊆ B entonces A ∩ B = A (comparar con 8. y 12.).
- A = A.
- X = ∅.
- ∅ = X.
- A ∪ A = X.
- A ∩ A = ∅.
- A ∪ B = A ∩ B.
- A ∩ B = A ∪ B.
- A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
- A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
- A∆∅ = A
- A∆A = ∅.
- (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
- A∆B = B∆A.
- A∆C = B∆C =⇒ A = B.
- A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C).
- A ∪ B ⊆ A ∪ C y A ∩ B ⊆ A ∩ C entonces B ⊆ C.
Podríamos enumerar muchas propiedades más. Las dos técnicas de demostración vistas en esta sección pueden usarse para probarlas. Vamos a ver algunos ejemplos.
Ejemplo 1.1.6.
- Vamos a comprobar que A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) para cualesquiera conjuntos A, B, C.
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8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES
Doble inclusión. Demostremos que A \ (B ∪ C) ⊆ (A \ B) ∩ (A \ C). Para eso, veremos que todo elemento de A \ (B ∪ C) es un elemento de (A \ B) ∩ (A \ C). Sea x ∈ A \ (B ∪ C). Entonces, x ∈ A y x 6 ∈ B ∪ C. Puesto que x 6 ∈ B ∪ C entonces x no puede perteneces a B y x no puede perteneces a C; es decir, x 6 ∈ B y x 6 ∈ C. Por tanto, tenemos por una parte que x ∈ A y x 6 ∈ B, luego x ∈ A \ B; y por otra que x ∈ A y x 6 ∈ C, de donde x ∈ A \ C. Deducimos entonces que x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C) Demostremos ahora que (A \ B) ∩ (A \ C) ⊆ A \ (B ∪ C). Sea x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Entonces x ∈ A \ B y x ∈ A \ C. Es decir, x ∈ A, x 6 ∈ B y x 6 ∈ C. Por tanto, x ∈ A y x 6 ∈ B ∪ C (pues no pertenece a B ni a C). Entonces x ∈ A \ (B ∪ C), como queríamos. Tablas de pertenencia.
A B C B ∪ C A \ (B ∪ C) A \ B A \ C (A \ B) ∩ (A \ C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 Al ver que las columnas correspondientes a A \ (B ∪ C) y (A \ B) ∩ (A \ C) son iguales, concluimos que ambos conjuntos son siempre iguales. Identidades entre conjuntos. A \ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ (B ∩ C) Propiedad 20. Ley de "de Morgan" = A ∩ B ∩ C Propiedad 4. Asociativa. = A ∩ B ∩ A ∩ C Propiedad 6. Idempotencia. = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) Propiedad 4. Asociativa = (A \ B) ∩ (A \ C)
Supongamos que nos piden estudiar qué relación existe entre los conjuntos A ∪ (B \ C) y (A ∪ B) \ (A ∪ C). En primer lugar, tomamos tres conjuntos A, B y C y vemos si podemos encontrar alguna relación. Por ejemplo: Sean A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, B = { 3 , 4 , 6 , 7 , 8 } y C = { 4 , 7 , 8 , 9 , 10 }. Entonces B \C = { 3 , 6 }, luego A∪(B \C) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, mientras que A∪B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, A ∪ C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 } y (A ∪ B) \ (A ∪ C) = { 6 }. Vemos entonces que los conjuntos no son iguales. Pero podría darse el caso de que (A ∪ B) \ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B \ C). Vamos a comprobar que efectivamente, se tiene esa inclusión. Supongamos que x ∈ (A ∪ B) \ (A ∪ C). Entonces, x ∈ (A ∪ B) y x 6 ∈ A ∪ C. Por tanto, x no puede pertences a A y tampoco a C. Es decir, x 6 ∈ C, y claramente x ∈ B, de donde deducimos que x ∈ B \ C. Entonces se tiene que x ∈ A ∪ (B \ C). También podemos comprobarlo usando las tablas de pertenencia.
A B C A ∪ B A ∪ C (A ∪ B) \ (A ∪ C) B \ C A ∪ (B \ C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
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10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES
1.2. Aplicaciones
1.2.1. Definición y ejemplos.
Supongamos que tenemos dos conjuntos X e Y , y que para cada elemento x ∈ X, hemos elegido un elemento (y sólo uno) y ∈ Y. Eso es lo que vamos a llamar una una aplicación de X en Y.
Definición 10. Una aplicación de X en Y es una forma de asignar, a cada elemento de X, un elemento (y sólo uno) de Y. Si llamamos f a una aplicación de X en Y , y x ∈ X, el elemento y ∈ Y que le asignamos a este elemento lo denotaremos como f (x), y leeremos f de x. Diremos que este elemento es la imagen por (la aplicación) f del elemento x.
Cuando tengamos una aplicación f , de X en Y , escribiremos f : X → Y , o X f −→ Y. Al conjunto X se le llama dominio de la aplicación, mientras que al conjunto Y codominio.
Ejemplo 1.2.1. Cuando somos pequeñitos, y nos bautizan, o nos inscriben en el registro civil, nos asignan una (o más) palabras que dicen que es nuestro nombre (vamos a suponer que todos tenemos nombres simples). Esta asignación, salvo casos excepcionales, nos marca de por vida. Tenemos de esta forma una aplicación del conjunto de las personas en el conjunto de palabras. Más adelante, se nos asigna un número natural que será el que nos identifique. Así tenemos una aplicación del conjunto de los españoles mayores de 18 años en el conjunto de los números naturales. A cada número natural le vamos a asignar su doble. Vamos a llamar f a esta asignación. Tenemos entonces que f es una aplicación N → N. Para cada número natural n su imagen por f es 2 n, es decir, f (n) = 2n. Podríamos haber descrito esta aplicación como sigue: Sea f : N → N la aplicación dada por (o definida por) f (n) = 2n (o definida por n 7 → 2 n).
Podemos ver entonces f como una regla, o como una máquina, que transforma cada elemento de X en un elemento de Y (en el ejemplo precedente cada número natural en un número natural). Sobre las posibles reglas no hay restricción alguna. Podemos elegir una regla, como la de asignar a cada número su doble, o simplemente, ir eligiendo una a una la imagen de cada elemento, sin ningún criterio aparente. Así, podemos tener la aplicación que asigne al cero el valor 35, al uno el valor 26, al dos el valor 99, al tres el valor 638, al cuatro el valor 2411. Y así podríamos seguir definiendo la imagen de cualquier otro número. Claro, que de esta forma únicamente tenemos definida la aplicación para aquellos valores de los que hemos dicho explícitamente su imagen.
Podría decirse que la aplicación anterior es la que asigna a cada número natural n menor o igual que cuatro, el número 16 n^4 − 32 n^3 + 25n^2 − 18 n + 35. En tal caso, podríamos considerar la aplicación N −→f N dada por f (n) = 16n^4 − 32 n^3 + 25n^2 − 18 n + 35 o cualquier otra expresión que satisfaga las cinco condiciones dadas (habría en este caso que comprobar que si n ∈ N entonces 16 n^4 − 32 n^3 + 25 n^2 − 18 n + 35 ∈ N). También podría haberse definido la aplicación como f (0) = 35, f (1) = 26, f (2) = 99, f (3) = 638, f (4) = 2411 y f (n) = n si n ≥ 5.
Para dar una aplicación X → Y , podemos, bien dar explícitamente la imagen de cada uno de los elementos X, bien dando una regla (o varias) que nos digan cómo calcular la imagen de cada elemento del dominio.
Ejemplo 1.2.2.
- Sea X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, Y = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y f : X → Y la aplicación dada por f (1) = 5, f (2) = 2, f (3) = 1, f (4) = 2 y f (5) = 5. En este caso, hemos dado explícitamente la imagen de cada uno de los elementos del dominio. También podríamos haberlo escrito diciendo que f es la aplicación definida por 1 7 → 5 , 2 7 → 2 , 3 7 → 1 , 4 7 → 2 , 5 7 → 5.
- La misma aplicación que acabamos de dar, la podríamos haber descrito como la aplicación f : X → Y dada por f (x) = x^2 − 6 x + 10. En este caso, hemos dado la aplicación mediante una regla que nos permite calcular f (x) a partir de cualquier elemento x ∈ X.
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1.2. Aplicaciones 11
- Sea G : N → N la aplicación
g(n) =
n + 1 si n es par. n − 1 si n es impar.
Es decir, g(0) = 1, g(1) = 0, g(2) = 3, g(3) = 2, etc. En este caso, la aplicación la hemos definido mediante dos reglas. Una que nos permite calcular la imagen de los números pares, y otra que nos permite calcular la imagen de los números impares. Esta misma aplicación la podríamos haber definido mediante una única regla, que sería g(n) = n + (−1)n.
Definición 11. Si f : X → Y es una aplicación, se define el grafo de f como el conjunto:
G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X}
es decir, las parejas formadas por un elemento y su imagen.
Notemos que G(f ) es un subconjunto de X × Y. Muchos autores definen una aplicación a partir de su grafo. Una aplicación de X en Y sería un subconjunto G de X × Y de forma que para cualquier x ∈ X existe un único elemento y ∈ Y tal que (x, y) ∈ G.
Ejemplo 1.2.3. Por ejemplo, si X = { 1 , 2 , 3 }, Y = {a, b, c, d} y f : X → Y es la aplicación dada por f (1) = b, f (2) = c y f (3) = b, entonces G(f ) = {(1, b), (2, c), (3, b)}. Notemos que el conjunto {(1, b), (2, c), (3, b)} determina totalmente a la aplicación f. Para cualquier conjunto X tenemos una aplicación X → X dada por x 7 → x. Esta aplicación se conoce como aplicación identidad, y se denota como IdX o (^1) X. En este caso, el grafo de la aplicación es el conjunto diagonal ∆X. Si A es un subconjunto de un conjunto X, tenemos la aplicación i : A → X definida como i(x) = x. Esta aplicación se conoce como aplicación inclusión. Como caso especial, consideramos que para cualquier conjunto X hay una aplicación ∅ → X. Su grafo es el único subconjunto de ∅ × X = ∅. La siguiente regla ab 7 → a + b no define ninguna aplicación Q → Z, ya que no determina de forma única la imagen de un elemento. Por ejemplo, 12 podría tener como imagen a 3 , a 6 (pues 12 = 24 ), a − 3 y en general a cualquier múltiplo no nulo de 3. El único elemento que tendría determinada su imagen es − 1.
1.2.2. Imagen directa e imagen inversa.
Definición 12. Sea f : X → Y. Definimos entonces dos nuevas aplicaciones.
f∗ : P(X) → P(Y ) f∗(A) = {f (x) : x ∈ A} f ∗^ : P(Y ) → P(X) f ∗(B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B}
Es decir, si A es un subconjunto de X, entonces f∗(A) es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos de A, mientras que f ∗(B) está formado por todos los elementos de X cuyas imágenes pertenecen a B. Las aplicaciones f∗ y f ∗^ se conocen como aplicaciones imagen directa e imagen iversa respectivamente. Al conjunto f∗(X) se le conoce como la imagen de f. Será denotado como Im(f ). Algunos autores escriben f (A) en lugar de f∗(A) y f −^1 (B) en lugar de f ∗(B).
Ejemplo 1.2.4.
- Sea E el conjunto de todos los ciudadanos españoles, y f : E → N la aplicación que asocia a cada persona su edad en años. Sea B = { 18 , 19 , · · · , 111 }. Entonces f ∗(B) es el conjunto de todos los españoles cuya edad está comprendida entre 18 y 111 años. Si suponemos que no hay nadie que tenga 112 años o más, entonces f ∗(B) es el conjunto de todos los españoles mayores de edad, y por tanto que tienen derecho a voto.
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1.2. Aplicaciones 13 Vemos con el ejemplo anterior que la composición de aplicaciones no es conmutativa. De hecho, pudiera ocurrir que g ◦ f existiera, pero que f ◦ g no estuviera definida. Por ejemplo, si f : X → Y y g : Y → Z y X 6 = Z, entonces la composición f ◦ g no tiene sentido. También puede ocurrir que existiendo ambas, dominio y codominio fueran diferentes. Por ejemplo, tenemos f : X → Y y g : Y → X. En tal caso, tenemos g ◦ f : X → X y f ◦ g : Y → Y. Si Y 6 = X, el dominio y codominio de g ◦ f es distinto del dominio y codominio de f ◦ g. Pero aún en el caso de que existan ambas composiciones, y que dominio y codominio coincidieran, las dos composiciones pueden ser diferentes, como hemos visto en el ejemplo precedente. Propiedades. Para cualquier aplicación f : X → Y se verifica que f ◦ IdX = IdY ◦ f = f. La composición de aplicaciones es asociativa, es decir, si tenemos f : X → Y , g : Y → Z y h : Z → W entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.
Ejemplo 1.2.6. Sean f : N → Z, g : Z → N y h : N → N las aplicaciones dadas por f (n) = n^2 − 5 , g(n) = n^2 + 1 y h(n) = n + 1. Entonces:
- (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(n^2 − 5) = (n^2 − 5)^2 + 1 = n^4 − 10 n^2 + 25 + 1 = n^4 − 10 n^2 + 26.
- (h ◦ (g ◦ f ))(n) = h((g ◦ f )(n)) = h(n^4 − 10 n^2 + 26) = n^4 − 10 n^2 + 27.
- (h ◦ g)(n) = h(n^2 + 1) = n^2 + 2.
- ((h ◦ g) ◦ f )(n) = (h ◦ g)(f (n)) = (h ◦ g)(n^2 − 5) = (n^2 − 5)^2 + 2 = n^4 − 10 n^2 + 25 + 2 = n^4 − 10 n^2 + 27.
Dada una aplicación f : X → X, denotaremos como f 2 a la composición f ◦ f. Más en general, definimos:
f 0 = IdX f n+1^ = f n^ ◦ f
Ejemplo 1.2.7. Si f : N → N es la aplicación dada por f (n) = 2n + 1, entonces f 2 (n) = f (f (n)) = f (2n + 1) = 2(2n + 1) + 1 = 4n + 3, f 3 (n) = f 2 (f (n)) = f 2 (2n + 1) = 4(2n + 1) + 3 = 8n + 7. En general, puede verse que f k(n) = 2kn + 2k^ − 1. Comprueba esta afirmación por inducción.
1.2.4. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
Aplicaciones inyectivas.
Definición 14. Una aplicación f : X → Y se dice inyectiva cuando elementos distintos del dominio dan lugar a imágenes distintas. Es decir, dados x 1 , x 2 ∈ X, x 1 6 = x 2 =⇒ f (x 1 ) 6 = f (x 2 ). O lo que es lo mismo, f (x 1 ) = f (x 2 ) =⇒ x 1 = x 2.
También podría haberse definido una aplicación inyectiva como aquella aplicación tal que para cada y ∈ Y el conjunto f ∗({y}) tiene a lo sumo un elemento.
Ejemplo 1.2.8.
- La aplicación f : N → N dada por f (n) = 2n es inyectiva, pues dos números distintos no pueden tener el mismo doble. Es decir, n 6 = n′^ =⇒ 2 n 6 = 2n′.
- La aplicación f : N → N dada por f (n) = n^2 es inyectiva, mientras que g : Z → Z dada por g(n) = n^2 no lo es, pues g(1) = g(−1) (es decir, dos elementos distintos tienen la misma imagen).
- Sea B el conjunto de todos los estudiantes matriculados en la asignatura ALEM de 1oB del grado en Ingeniería Informática en la Universidad de Granada, y D el conjunto de los 366 días del año. Sea n : B → D la aplicación que a cada estudiante le hace corresponder el día que nació. Apostaría 20 euros a que la aplicación n no es inyectiva, es decir, hay dos estudiantes que han nacido el mismo día (aunque posiblemente de distinto año).
Propiedades. Para cualquier conjunto X, la aplicación IdX es inyectiva. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Si g ◦ f es inyectiva, entonces podemos asegurar que f lo es, pero g podría serlo o no.
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14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES
Ejemplo 1.2.9. Sean X = { 1 , 2 , 3 }, Y = {a, b, c, d} y Z = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }. Consideramos las aplicaciones f : X → Y dada por f (1) = a, f (2) = c y f (3) = d y g : Y → Z dada por g(a) = 0, g(b) = 4, g(c) = 4, g(d) = 8. Entonces g ◦ f es inyectiva (la imagen de 1 es 0, la imagen de 2 es 4 y la imagen de 3 es 8), mientras que g no lo es, ya que g(b) = g(c).
Aplicaciones sobreyectivas.
Definición 15. Sea f : X → Y. Se dice que f es sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe x ∈ X tal que f (x) = y (es decir, para cualquier y ∈ Y el conjunto f ∗({y}) tiene al menos un elementos - es distinto del conjunto vacío -).
Ejemplo 1.2.10.
- La aplicación f : Z → N dada por f (x) = |x| es sobreyectiva, pues para cualquier número natural n hay un número entero (el propio n, o −n) cuyo valor absoluto es n. Esta aplicación no es inyectiva, pues f (2) = f (−2).
- La aplicación f : Z → Z x 7 → x + 1 es sobreyectiva, pues dado un número entero y, hay otro número entero x = y − 1 tal que f (x) = y. Sin embargo, la aplicación f : N → N dada por f (n) = n + 1 no es sobreyectiva, pues no hay ningún número natural que al sumarle 1 nos de 0.
- La aplicación n : B → D definida en el ejemplo 1.2.8 no es sobreyectiva, pues al ser el número de estudiantes de primero B menor de 366, tiene que haber días del año en que no haya nacido ninguno de estos estudiantes.
Propiedades. Para cualquier conjunto X, la aplicación IdX es sobreyectiva. La composición de aplicaciones sobreyectivas es sobreyectiva. Si f : X → Y , g : Y → Z son aplicaciones tales que g ◦ f es sobreyectiva, entonces también lo es g, pues dado z ∈ Z sabemos que existe x ∈ X tal que g(f (x)) = z. Basta tomar y = f (x) y se tiene que g(y) = z.
Ejemplo 1.2.11. Tomamos, por ejemplo, f : N → N la aplicación n 7 → 2 n, y g : N → N la aplicación n 7 → E(n/2) (donde E(x) denota la parte entera de x). Entonces (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(2n) = E(2n/2) = E(n) = n, luego g ◦ f = IdN que es sobreyectiva. Es claro que f no lo es.
Aplicaciones biyectivas. Aplicación inversa.
Definición 16. Una aplicación f : X → Y se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. O lo que es lo mismo, para cada y ∈ Y , el conjunto f ∗({y}) tiene exactamente un elemento.
Ejemplo 1.2.12. La aplicación f : Z → Z dada por f (x) = x + 2 es biyectiva, mientras que la aplicación f : N → N n 7 → n + 2 no lo es, pues no es sobreyectiva. La aplicación f : Q → Q definida como f (x) = 2x es biyectiva. La misma expresión, pero tomando como dominio y codominio Z define una aplicación que no es biyectiva (pues no es sobreyectiva).
Propiedades. Para cualquier conjunto X la aplicación IdX es biyectiva. La composición de aplicaciones biyectivas es una aplicación biyectiva. Si f : X → Y y g : Y → Z son aplicaciones tales que g ◦ f es biyectiva, lo más que podemos asegurar es que f es inyectiva y que g es sobreyectiva.
Definición 17. Sea f : X → Y una aplicación. Se dice que f tiene inversa si existe g : Y → X tal que g ◦ f = IdX y f ◦ g = IdY.
Ejemplo 1.2.13. La aplicación f : Z → Z x 7 → x + 2 tiene como inversa la aplicación g : Z → Z x 7 → x − 2. Para cualquier conjunto X la aplicación IdX : X → X tiene como inversa a ella misma.
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16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES
Si X es un conjunto y A un subconjunto de X, definimos la aplicación fA : P(X) → P(X) como fA(B) = A∆B. Entonces f es una biyección. Como ejercicio, encuentra su inversa.
1.2.5. Cardinales.
Sea f : X → Y una aplicación inyectiva. Eso significa que dos elementos distintos de X dan lugar (por la aplicación f ) a dos elementos distintos de Y. Por tanto, el conjunto Y debe tener más elementos (o quizá los mismos) que X. De la misma forma, si f : X → Y es una aplicación sobreyectiva, entonces el número de elementos de X debe ser mayor o igual que el número de elementos de Y , pues por cada elemento y ∈ Y tenemos uno o más elementos de X (los que pertenecen a f ∗({y})). Por tanto, si f : X → Y es una aplicación biyectiva, el número de elementos de X debe ser igual al número de elementos de Y. Sea n un número natural. Vamos a llamar n al conjunto n = { 0 , 1 , 2 , · · · , n − 1 } (el conjunto 0 es el conjunto vacío). El número de elementos de n es n.
Definición 18. Sea X un conjunto. Diremos que X tiene cardinal n (es decir, que X tiene n elementos) si existe una biyección n → X. En tal caso escribiremos |X| = n.
Notemos que cuando damos una biyección n → X lo que estamos haciendo es contar los elementos de X (empezando por cero) tal y como nosotros hemos contado siempre los elementos de un conjunto. Esta definición es coherente, en el sentido que si tuviéramos dos biyecciones m → X y n → X entonces m = n (es decir, a la hora de contar los elementos de un conjunto da igual por cual empecemos y el orden en que los contemos. Siempre llegaremos al mismo resultado). La afirmación anterior, aunque intuitivamente muy clara tiene una demostración un poco complicada. Cardinal de la unión de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B|. La idea está clara. Al contar los elementos de A ∪ B, y no haber ninguno en común, sale exactamente la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B. Si m es el cardinal de A y n el cardinal de B, cuando contamos los elementos de la unión, primero contamos los de A (y llegamos hasta m − 1 ), y a continuación contamos los de B (pero siguiendo por m). LLegaremos entonces hasta m + n − 1. Luego |A ∪ B| = m + n = |A| + |B|. Más formalmente, si f : m → A y g : n → B son dos biyecciones. Entonces la aplicación h : m + n → A ∪ B
h(x) =
f (x) si x < m g(x − m) si x ≥ m
es una biyección. Vamos ahora a calcular cuando vale |A ∪ B| sin que necesariamente A ∩ B sea igual al conjunto vacío. Intuitivamente, si sumamos el cardinal de A y el cardinal de B, los elementos de A ∩ B los estamos contando dos veces, luego habrá que restarlos una vez para haber contado todos los elementos de A ∪ B exactamente una vez. Por tanto, |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Una demostración de esto podría ser como sigue. En primer lugar, se tiene que es fácil comprobar que A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), y que (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅. Por tanto, |A| = |A \ B| + |A ∩ B|, luego |A \ B| = |A| − |A ∩ B|. De la misma forma, |B \ A| = |B| − |A ∩ B|. Puesto que A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B) y la intersección de dos cualesquiera de estos conjuntos es el conjunto vacío se tiene que
|A ∪ B| = |A \ B| + |B \ A| + |A ∩ B| = |A| − |A ∩ B| + |B| − |A ∩ B| + |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Cardinal del producto cartesiano. En cuanto al producto cartesiano, se tiene que |A × B| = |A| · |B|. Si A = {a 1 , · · · , am} y B = {b 1 , · · · , bn}, por cada elemento ai ∈ A tenemos n elementos (ai, b 1 ), · · · , (ai, bn) de A × B. Por tanto, el cardinal del producto cartesiano debe ser el producto de cada uno de los factores, es decir:
|A × B| = |A| · |B|
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1.2. Aplicaciones 17 Para comprobarlo, vamos a ver que existe una biyección f : m × n → p, donde p = m · n. Esta biyección viene dada por f (x, y) = x + m · y.
f (0, 0) = 0 f (0, 1) = m
..................... f (0, n − 1) = mn − m
f (1, 0) = 1 f (1, 1) = m + 1
......................... f (1, n − 1) = mn − m + 1
f (m − 1 , 0) = m − 1 f (m − 1 , 1) = 2m − 1
......................... f (m − 1 , n − 1) = mn − 1
La inversa de f sería la aplicación g : p → m × n z 7 → (z mód m, z div m) Cardinal de un conjunto de aplicaciones. Por último vamos a calcular el número de aplicaciones de X en Y en función del número de elementos de X y de Y. Supongamos que X = {a 1 , · · · , am} e Y = {b 1 , · · · , bn}. Entonces, para dar una aplicación X → Y debemos elegir el valor de f (a 1 ), para lo cual tenemos n posibilidades; el valor de f (a 2 ), para lo cual tenemos otras n posibilidades, y así hasta f (am), para lo cual volvemos a tener n posibilidades. En total, podemos hacer un total de n · n · · · n = nm^ posibles aplicaciones.
Una forma de demostrar esto, sería dar una biyección entre el conjunto Z = {α : m → n|α es aplicación} y el conjunto p, donde p = nm. Esta biyección podría ser:
h(α) = α(0) + α(1) · n + · · · + α(m − 1) · nm−^1
La inversa vendría dada como sigue: para un elemento x tal que 0 ≤ x < p, calculamos su expresión en base n, y nos quedaría x = (am− 1 · · · a 1 a 0 )n (donde am− 1 podría valer 0 ). Al elemento x le haríamos corresponder la aplicación α : m → n dada por α(i) = ai.
En base a esto, es usual, dado dos conjuntos X e Y , denotar como Y X^ al conjunto de todas las aplicaciones f : X → Y. Cardinal del conjunto potencia. Finalmente, vamos a calcular el cardinal del conjunto P(X) en función del cardinal de X. Sea X un conjunto de cardinal n. Supongamos que X = {a 1 , a 2 , · · · , an}. Para cada subconjunto A ⊆ X definimos la aplicación característica χA : X → { 0 , 1 } como:
χA(ai) =
1 si ai ∈ A 0 si ai 6 ∈ A Por ejemplo, χ∅ es la aplicación constante 0, mientras que χX es la aplicación constante 1. Se tiene que A ⊆ B si, y sólo si, para cualquier a ∈ X, χA(a) ≤ χB (a). De esta forma, hemos definido una aplicación
P(X) −→ { 0 , 1 }X A 7 → χA
que es biyectiva. Es inyectiva pues dos subconjuntos de X diferentes dan lugar a aplicaciones caracterís- ticas diferentes, y es sobreyectiva pues cualquier aplicación X → { 0 , 1 } es la aplicación característica de algún subconjunto de X (basta tomar la imagen inversa de { 1 }). Por tanto, ambos conjuntos tienen igual cardinal. Como el cardinal del segundo conjunto es 2 |X| deducimos que |P(X)| = 2|X|. Por ejemplo, vamos a tomar X = {a, b, c}. Vamos a escribir todas las aplicaciones X → { 0 , 1 }, y el subconjunto de X con el que se corresponden:
a 7 → 0 b 7 → 0 c 7 → 0
A = ∅
a 7 → 0 b 7 → 0 c 7 → 1
A = {c}
a 7 → 0 b 7 → 1 c 7 → 0
A = {b}
a 7 → 0 b 7 → 1 c 7 → 1
A = {b, c}
a 7 → 1 b 7 → 0 c 7 → 0
A = {a}
a 7 → 1 b 7 → 0 c 7 → 1
A = {a, c}
a 7 → 1 b 7 → 1 c 7 → 0
A = {a, b}
a 7 → 1 b 7 → 1 c 7 → 1
A = {a, b, c}
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1.3. Relaciones 19 [2] = { 1 , 3 }.
- Para la relación R′, se tiene:
[0] = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }. [1] = { 1 , 2 , 3 , 4 }. [2] = { 2 , 3 , 4 }. [3] = { 3 , 4 }. [4] = { 4 }.
- Si X es un conjunto, y consideramos la relación ∆, entonces, para cada x ∈ X, [x] = {x}.
Definición 22. Sea X un conjunto. Una relación R sobre X se dice:
Reflexiva: si para cualquier x ∈ X se tiene que xRx (o equivalentemente, ∆ ⊆ R).
Simétrica: si siempre que xRy se tiene que yRx (es decir, R ⊆ R−^1 )
Antisimétrica: si xRy e yRx implica que x = y (es decir, R ∩ R−^1 ⊆ ∆).
Transitiva: si xRy e yRz implica que xRz (es decir, R ◦ R ⊆ R).
Ejemplo 1.3.4.
- La relación R del ejemplo anterior no es reflexiva, pues 1 6 R 1 ((1, 1) ∈ ∆ pero (1, 1) 6 ∈ R). No es simétrica, pues 1 R 2 pero 2 R 6 1 ((1, 2) ∈ R pero (1, 2) 6 ∈ R−^1 ) No es antisimétrica, pues 0 R 4 y 4 R 0 y sin embargo, 0 6 = 4 ((0, 4) ∈ R ∩ R−^1 y (0, 4) 6 ∈ ∆). No es transitiva, pues 0 R 2 , 2 R 3 y sin embargo, 0 6 R 3 ((0, 3) ∈ R ◦ R pero (0, 3) 6 ∈ R).
- Para cualquier conjunto X, la relación ∆ es una relación reflexiva, simétrica, antisimétrica y tran- sitiva.
- En N, la relación xRy si x + y es par es:
- Reflexiva, pues para cualquier x, x + x = 2x es par.
- Simétrica, pues si x + y es par también lo es y + x.
- Transitiva, pues si x + y es par e y + z es par, entonces x + z = (x + y) + (y + z) − 2 y, que es par. No es antisimétrica, pues 2 R 4 y 4 R 2. Podemos ver que [0] = { 0 , 2 , 4 , 6 , · · · } = 2N, y esta clase es igual a la de cualquier número par, y si x es un número impar, entonces [x] = { 1 , 3 , 5 , 7 , · · · }.
- En N la relación xRy si x < y es transitiva y antisimétrica, pero no es ni reflexiva, ni simétrica. Para cualquier número natural x, la clase de x está formada por todos los números mayores que x.
- Si X es un conjunto, la relación en P(X) definida como ARB si A ⊆ B es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Propiedad. Una relación que sea simétrica y transitiva es reflexiva, pues si xRy, por ser simétrica se tiene que yRx, y al ser transitiva deducimos que xRx.
Ejemplo 1.3.5. En N definimos la relación mRn si m · n 6 = 0. Esta relación es simétrica (pues si m · n 6 = 0 entonces n · m 6 = 0) y es transitiva (ya que si m · n 6 = 0 y n · p 6 = 0 entonces m 6 = 0 y p 6 = 0, luego m · p 6 = 0. Sin embargo no es reflexiva. Cuestión: Este ejemplo no es coherente con lo que acabamos de decir. ¿Qué falla?.
Vamos a centrarnos ahora en las llamadas relaciones de equivalencia. La relación de equivalencia es una generalización del concepto de igualdad.
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20 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES
Definición 23. Sea X un conjunto. Una relación de equivalencia en X es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo 1.3.6.
Para cualquier conjunto X, la relación de igualdad (xRy si x = y) es una relación de equivalencia.
La relación xRy si x + y es par definida en N es una relación de equivalencia.
Sea m un número natural. Definimos en Z la relación ≡m como:
x ≡m y si m|(y − x)
Esta relación es de equivalencia, pues es:
Reflexiva. Ya que para cualquier x ∈ Z se tiene que x ≡m x, pues m| 0. Simétrica. Pues si x ≡m y significa que m|(y − x), luego m| − (y − x), es decir, m|(x − y), y por tanto, y ≡m x. Transitiva. Si x ≡m y e y ≡m z significa que tanto y − x como z − y son múltiplos de m, luego también lo es (y − x) + (z − y) = z − x. Es decir, x ≡m z.
Esta es la relación de congruencia módulo m.
Si f : X → Y es una aplicación, definimos en X la relación Rf como sigue: xRf y si f (x) = f (y). Esta relación es una relación de equivalencia.
En R^2 se define la relación (x, y)R(x′, y′) si |x| + |y| = |x′| + |y′|. Esta relación es de equivalencia.
Sea X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }. La relación
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}
es de equivalencia.
Si X es un conjunto y R una relación de equivalencia en X, a la clase de un elemento x ∈ X la llamaremos clase de equivalencia del elemento x. Una relación de equivalencia en un conjunto X clasifica a los elementos del conjunto X. Esta clasifi- cación viene dada por las clases de equivalencia.
Ejemplo 1.3.7.
- Para cualquier relación de equivalencia en un conjunto X, la clase de equivalencia de un elemento es distinta del vacío (pues el propio elemento pertenece a su clase, al ser la relación reflexiva).
- Consideramos la relación de igualdad en un conjunto X, que vimos que es de equivalencia. Entonces, para cualquier x ∈ X se tiene que [x] = {x}.
- Vamos a calcular las clases de equivalencia para la relación de congruencia módulo m. Vamos a escribir [a]m para denotar la clase de equivalencia de a bajo la relación ≡m. Empezamos para m = 2. Tenemos que
0 ≡ 2 x ⇐⇒ 2 |(x − 0) ⇐⇒ 2 |x ⇐⇒ x es par
Por tanto, [0] 2 = {x ∈ Z : 0 ≡ 2 x} = {· · · , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , · · · }. De la misma forma se comprueba que [1] 2 = {x ∈ Z : 1 ≡ 2 x} = {· · · , − 5 , − 3 , − 1 , 1 , 3 , 5 , · · · }. Podemos ver que si x ∈ Z y x es par, entonces [x] 2 = [0] 2 , mientras que si x es impar entonces [x] 2 = [1] 2.
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