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I. CONJUNTOS.
Def. 1. Entenderemos por conjunto a una colección de objetos o cosas. Comúnmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A,B,C,… Ejemplos: A = {1,2,3,4,5} B = {Los alumnos ESIME zacatenco} C = {x / 0 x 1} = {x : 0 x 1} = [0.1] {todas las x tales que x es un número real comprendido entre 0 y 1} Los objetos que forman la colección del conjunto A se llaman elementos de A. Si “a” es un elemento de A, escribiremos aA, si “b” no es un elemento de B, escribiremos bB. Def. 2. Definimos el conjunto universal U como el conjunto de todos los objetos relacionados con un problema determinado. Def. 3. Definimos el conjunto vacío como aquel conjunto que no tiene elementos y se denota como . Def. 4. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y escribimos A = B A = {1,2,3} , B = {2,3,1} A = B Algunas propiedades de la igualdad son: A=A A=B ⇒^ B=A A=B , B=C ⇒^ A=C Def. 5. Diremos que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B ( A^ ⊂^ B^ ) si
para todo x A xB Algunas propiedades de AB i) AA todo conjunto está contenido en sí mismo. ii) AB no implica BA no es simétrico. iii) AB, BC AC transitiva. iv) A, AU U v)
A = B ⇔¿ { A ⊂ B ¿ ¿¿
Def. 6. Definimos la unión de dos conjuntos A y B como: AB = {x / xA o xB} Algunas propiedades de AB. i) AA =A reflexiva ii) AB = BA conmutativa iii) A(BC) = (AB)C asociativa
Def. 8. Diremos que dos conjuntos A, B son disjuntos o mutuamente excluyentes si AB = es decir, si no tienen elementos en común. Def. 9. Definimos el complemento de un conjunto A como
¯ A ={ x / x ∉ A }
A^ ¯= Ac = ℓA
Algunas propiedades de ¯A.
i) ´ A = A
ii) A ∪^ ¯ A = U^ ,^ A ∩^ ¯ A =∅
iii ) A ∪ B = A ∩ B ¿ }¿ ¿ Ley de D'Morgon ¿
v) UC^ = ; C^ = U vi) Si AB AC^ BC
vii) Si AB = A^ ⊃^ B^ ,^ B^ ⊃^ A
Def. 10. Definimos el conjunto diferencia A – B como: A − B ={^ x / x ∈ A y x ∉ B }={^ x / x ∈ A y x ∈ B }= A ∩ B C A – B = ABC Algunas propiedades de A – B: i) A – B B – A ii) A = (A – B)(AB) iii) AB = (A – B)(AB)(B – A) = (ABC)(AB)(BAC) iv)
∅− U =∅∩ U ¯ =∅∩∅=∅
U −∅= U ∩∅= U ∪ U = U
v) ∅−∅=∅∩∅=∅∩ U =∅ Def. 11. Definimos el producto cartesiano de dos conjuntos A, B como:
A x B ={( x , y ) / x ∈ A , y ∈ B }
Algunas propiedades de AxB:
g) BC h) BC i) BD j)BD k)CD l) CD m) ABC n)A(BC) o) A(BC) p) ABC q) C(AD) r) (AB)(CB) s ) A ∪( B ∩ C ) t ) A ∪ B ∩( C − A ) u ) A ∪ B v )(C-D)∪(A-B )
- Indicar si cada proposición es verdadera o falsa. i) {1,4,3} = {3,4,1} v) {4} {1,3,4} ii) {3,1,2} {1,2,3} vi) {1,2,3} iii) 1 {1,2} vii) {1,3,4} iv) {4} {1,4,3}
- Sea A = {1,0} Indicar si las proposiciones son correctas o no. i) {0} A ii) A iii) {0} A iv) 0 A v) 0 A
- Sea U = {1,2,3,4,5,6,7} ; A = {1,2,3,4,5} ; B = {1,3,5,7} y C = {2,5,6,7}. Encontrar:
i) AC ii) BA iii) C-B iv) B ∪ C^ v^ ) C ∩^ A
vi )(A-B) C vii )(A-B c ) C viii )( A ∩ A C ) C ix ) ( A − B )∪( B − C )
- Encuentre el conjunto potencia P(A) = 2A^ para el conjunto A = {1,2,3,4}
- Encuentre el conjunto potencia P(B) = 2B^ para el conjunto B = {a,b,c}
- Si W = {Marisol, Alejandra, Pilar} y V = {Luis, Jorge}, encuentre: a) W x V b) V x W c) V xV
- Sea A = {2,3} , B = {1,3,5} y C = {3,4} construir el diagrama de árbol de A x B y de A x B x C y después encontrar A x B y A x B x C.
- Si S = {a,b,c} ; T = {b,c,d} y W = {a,d}, construir diagrama de árbol de S x T x W
- Suponer que los conjuntos V = {a,b,c} , W = {k,l,m,n} y Z = {1,2,3,4,5}, encuentre el número de elementos de: i) W x Z ii) V x W iii) V x Z iv) V x V v) V x W x Z vi) Z x Z x Z vii) W x W x …W = Wn
- Sea A = {a,b} , B = {2,3} y C = {3,4}. Encuentre: i) A x (BC) ii) (A x B)(A x C)
iii) A x (BC) iv) (A x B)(A x C)
- Si A = {1,2,3} , B = {2,4} y C = {7,8,9} Encuentre: A x B x C, B x C x A, C x A x B
- Sea S = {a,b}, W = {1,2,3,4,5,6} y V = {3,5,7,9} Encuentre: (S x W)(S x V), también encuentre S x (WV). ¿Cómo son los dos conjuntos anteriores? LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Leyes de Reflexión 1a AA = A 1b AA = A Leyes Asociativas 2a (AB)C = A(BC) 2b (AB)C =A (BC) Leyes Conmutativas 3a AB = BA 3b AB = BA Leyes Distributivas 4a A (BC) = (AB) (AC) 4b A(BC) = (AB)(AC) Leyes de Identidad 5a A= A 5b AU = A 6a AU = U 6b A = Leyes del Complemento 7a AA c (^) = U 7b AA c (^) = 8ª (A c ) c^ = (^) A 8b U c^ = (^) , c^ = (^) U Leyes de D’Morgan 9a (AB) C = (^) A C B C 9b (AB) C = A C B C SÍMBOLOS { m } Conjunto^ {} ; ∅ Vacío^ ∩^ Intersección
∕ Tales que^ ¿ ; ≠ Igual; Distinto^ y Intersección
∈ Pertenecía^ ∉ No pertenece^ o Unión
⊂ Contención^ ⇒ Entonces, implica^ ∴ Por lo tanto
… Así sucesivamente^ ∪ Unión^ ⇔ Si y solo si
