¡Descarga Guía de Polinomios y Factorización en Álgebra y más Apuntes en PDF de Alemán solo en Docsity!
Presentación
Nada hay más práctico que una buena teoría. ENMANUEL KANT
El Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional Federico Villarreal (CE-
PREVI), al preparar esta edición, ha tenido muy en cuenta que la teoría y la
práctica vayan unidas y en completa concordancia. Solo pretendemos ofrecer
el máximo material con las máximas ventajas de sencillez y claridad. Y creemos
haberlo conseguido, aunque la aridez propia de algunas materias y su dificultad
hagan, en ciertos momentos, sospechar lo contrario.
La innovación y el desarrollo es tarea de todos y más aún de los que forma-
mos y forjamos a la juventud estudiosa del mañana en esta casa de estudios.
El contenido y el nivel del libro se orientan a estudiantes de cualquier especia-
lidad, o bien, a las personas que requieran una herramienta que les ayude en la
presentación de exámenes de admisión en instituciones de educación superior.
Se estudian los tópicos del curso que desarrollarás en el CEPREVI, que están en
concordancia con los temas exigidos por la Oficina de Admisión de la UNFV.
Su razón de ser es que te sirva de complemento a las clases teórico-prácticas
que tu profesor desarrolle; no lo sustituye.
Esta es su primera edición y por esto es probable que se nos hayan deslizado
algunos errores involuntarios, que buscaremos corregir en la siguiente edición.
Solo nos queda desearte, joven postulante, éxitos en tu preparación hacia la uni-
versidad y que este manual contribuya a nuestro común objetivo: lograr tu in-
greso a la UNFV.
LOS PROFESORES
Índice
- UNIDAD 1 Leyes de exponentes - Ecuaciones exponenciales
- UNIDAD 2 Expresiones algebraicas - Grados y polinomios especiales
- UNIDAD 3 Productos notables
- UNIDAD 4 División algebraica de polinomios (división de Euclides)
- UNIDAD 5 Cocientes notables - Divisibilidad (C.N.)
- UNIDAD 6 Factorización
- UNIDAD 7 MCD - MCM - Fracciones
- UNIDAD 8 Binomio de Newton
- UNIDAD 9 Radicación
- UNIDAD 10 Números complejos
- UNIDAD 11 Ecuaciones de primer grado
- UNIDAD 12 Ecuaciones de segundo grado
- UNIDAD 13 Desigualdades e inecuaciones
- UNIDAD 14 Funciones
- UNIDAD 15 Logaritmos
4 Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
iii. En axn, a se denomina coeficiente, y cuando es un número natural tiene la
siguiente interpretación:
- a xn^ = xn^ + xn^ + ... + xn a veces Ejemplos:
- 5 xn^ = xn^ + xn^ + xn^ + xn^ + xn
- 4b = b + b + b + b
- 3ab = ab + ab + ab
1.2. EXPONENTE CERO
Siendo “a” un número real diferente de cero, se define:
a^0 = 1 ∀ a ∈ R+^ a ≠ 0
Ejemplos:
- (–3)^0 = 1
- (√ n )^0 = 1 ( n ≠ 1)
- (2 + 4√3 )^0 = 1
Nota: 00 es una forma indeterminada, como lo son también
0 0
; 00 – 00 ; 00 x 00
Ejemplo: – 0,75 = = 0^0 es una forma indeterminada que para
levantarla, se toma logaritmos.
1.3. EXPONENTE NEGATIVO
Siendo a ≠ 0 , n ∈ Z–
a – n^ = =
ii. ( ax ) n ; n afecta a las bases ubicadas en el interior del paréntesis, es decir
a y x :
- ( ax ) n^ = anxn^ ; ( ax ) n^ ≠ axn^ ... Potencia de un producto
- a^ = a
n x x n
n ; x n^ ≠ 0 ... Potencia de una división
Ejemplos:
- (2 x 22 x 43 )^3 = 2^3 x 22 x^3 x 43 x^3 = 2^3 x 26 x (2^2 )^9 = 2^3 x 26 x 218 = 23+6+18^ = 2^27
3
43 x^2
2
{ 4
0 { (^3) 4
{ 4
0 {
an
a
n
Álgebra 5
Ejemplos:
• (–3)–3^ = =
• 125 –2^ =
Nota:
- = an^ ; a ≠ 0
- = ∀ a; b ≠ 0
- 0 – n^ no está definido
1.4. EXPONENTE FRACCIONARIO
Sea x un número real y n un entero positivo (n ≥ 2), el exponente racional m/n se puede expresar como un radical en el que el denominador n es el índice de la
raíz y el numerador m, el exponente.
Siempre que √ xm^ ∈ R se define:
x = (√ x ) = √ xm^ ; ∀ n ∈ N, n ≥ 2
Ejemplos:
- 8 = (√ 8 ) = (2)^2 = 4
- 27 = √ 27
- 16 = √16 = 2
- (–8) = (√–8 ) = (–2)^4 = 16
1.5. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES
amanapaq^ = am + n + p + q
Ejemplos:
- 2–5^. 2^4 = 23 – 5 + 4^ = 27 – 5^ = 2^2 = 4
- x1/2. x–1/3. x1/6^ = x = x = x = x = √x^1
a – n
1 –1 (^2) 1
a b
–n (^) b a
n
n
n (^) n
3
5
4
3 4
m n
2 3
4 3
1 5 1 4
2
m
(^12) – 13 + 16 3–2+1 6 26 13 3
am^ b–n^ c–p
am^ er^ f s dq^ e–r^ f –s^ dq^ bn^ cp
Álgebra 7
Ejemplos:
- √4 = 2 pues (2)^2 = 4
- √27 = 3 pues 3^3 = 27
- √–8 = –2 pues (–2)^3 = –
- √–9 ≠ 3 pues (–3)^2 ≠ –9, por consiguiente √–9 ∉ R
Ejemplo:
Efectúe: M = 32 25 – –2–
Resolución
La expresión equivale a:
M = 32 25 –
- 2– 2 = 32 25 – - (^22) = 32 25 – - (^4) = 32 25 - 16 1/ = 32 25 - (^4) 16 = 32 25 - (^2) = 32 25 1/ = 32 25 = 32 5 = √2^5 = 2
M = 32 25 –
- 2– 2 = 32 25 – - (^22) = 32 25 – - (^) ( 2 )^2 = 32^25 - (^) ( 16 ) 4 = 32 ( 25 )(^16 )
4 = 32 ( 25 )(^16 ) ( 2 )^2
Se basa en la regla: (^) ( a )
–n = (^) ( b^ )
n b a
2.2. TEOREMAS
2.2.1. Índice común (radicales homogéneos)
√ a. √ b = √ a. b para n par ⇨ ab ≥ 0
= ; para n par
3
3
m n p m mn mnp
m (^) n p mnp
m (^) n mn
2.2.2. Índice no común (radicales heterogéneos)
√ a √ b = √ an^. √ bm^ = √an bm
m n mn nm mn
an bm
√ a nm √ b
m n =^ =
√ an √ bm
mn nm
a ≥ 0 b > 0
√ a √ b
n n a b
n
(^1 ) √
(^1 1 1 1 ) √ 5
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
(^11)
n n n
2.2.3. Raíz de raíz
√√ a = √ a m; n є N, para “mn” par ⇨ a ≥ 0
2.2.4. Radicales sucesivos (también se llama raíz de raíz)
√ a √ b √ c = √ a. √ b. √ c
2.2.5. Raíz de raíz (regla práctica)
√ ax^ √ ay^ √ az^ = √ a (xn+y)p+z
8 Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
Nota:
√ xa^ √ xb^ √ xc^ √ xd^ √ xe^ = √ x {^ (am–b)p+c^ q–d^ }r+e
- En los exponentes los signos se alternan.
Ejemplos:
- √ 10 √7√8 = √10. √7. √8 = √10. √7. √8 = 10. 7. 8
- √ x^2 √ y^2 √ z^5 = √ x. √ y. √ z^5 = √ x^2. √ y. √ z = x2/5^. y1/20^. z1/
- √ √√ √ 52 = √ 52 = √ 52 = 5 = 5^4
- √ x^3 √ x–^2 √ x^4 = √ x ((3)(5)–2)3+4^ = √ x^43 = x
- √ 2 x √ 3 x √5 = √(2)(3)(5) = √ 30
- √ 3 x √ 2 x √6 = √ 32 x √ 23 x √ 61 = √ 9 x √ 8 x √6 = √ 9 x 8 x 6 = √ 72 x 6 = √ 432
5 5
5 5
3 √6^2 √5^3
3 x 2 2 x 3
6 = (^) = 6 = 6
Nota:
- √xn^ = x √xp^ = x = x √x = x
- √xn^ = ( √x)
2.2.6. Raíz de un producto
√abc = √a √b √c
Caso general: √a 1 a 2 a 3 ............. ak = √a 1 √a 2 √a 3 .............. √ak
Ejemplos:
- √ 16 x 81 = √ 16 x √81 = 4 x 9 = 36
- √ 27 x 64 = √ 27 x √64 = 3 x 4 = 12
- √ 32 x 243 = √ 32 x √243 = 2 x 3 = 6
- √ 32 x 243 = √ 24 x 2 x 34 x 3 = √ 24 x √ 2 x √ 34 x √ 3
= 2^2 x √ 2 x 32 x √3 = 36√ 2 x 3 = 36 √ 6
(^3 )
3
3
3
(^3 6 3) x 2 2 x 3
3 3 3 3
6 6 6 6 6 6 6
5 3 (2)(5)(3)^30
3 12 60
20 12
4 3(4) 3(4)(5)
4
5
5
1/2 (^) 1/6 1/
5 2 5(4) 2 5(4)(3) 5
1 3
1 12
1 60
43 30
2 1 2
m
n
3 3 3
5 5 5
n n n
n n n n (^) n
m n
m (^) m^ n^ n^ m^ m n
p m pn (^) pnm n p^ m
(3) 12 (2)^16
n m (^) p (^) q (^) r nmpqr
10 Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
UNIDAD 2
Expresiones algebraicas -
Grados y polinomios especiales
1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es aquella que esta formada por parte numérica y parte literal, que están relacio-
nadas por las operaciones fundamentales.
Ejemplos
x^2 + 4 z
... término algebraico
- x (^2) y + x– (^3) y1/2– x+y+ 2 z
... multinomio
... monomio
- 3 x^3 y – xy + 2 x^4 y^5 – 3 x + y + 2 ... polinomio 2. POLINOMIO
Es una expresión algebraica que está formada por una suma de términos alge-
braicos racionales enteros, es decir, los exponentes de las variables son números
enteros no negativos, o son exponentes fraccionarios divisibles.
Un polinomio en variable x generalmente se denota por P(x); en variables x
e y por P(x; y).
Una expresión algebraica de un solo término (no nulo) se llama MONOMIO;
de dos términos, BINOMIO; de tres términos, TRINOMIO; de cuatro términos,
CUATRINOMIO, etc.
Recordar lo siguiente:
- P(x) = 0, es el polinomio nulo, a este no se le asigna grado.
- P(x) = a, donde a є R – {0} se le llama polinomio constante, su grado es 0.
Esto quiere decir:
- P(x) = 2; √3; ; π ⇨ son polinomios constantes.
- P(x;y) = 7 x^2 y^6 ⇨ es un monomio
- N(x;y;z) = x^4 – 6yz^9 ⇨ es un binomio
- R(x;y;z) = x^2 + y^3 – z^4 ⇨ es un trinomio, etc.
Álgebra 11
2.1. REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE GRADO n EN VARIABLE x
P(x) = a 0 xn^ + a 1 xn–1^ + a 2 xn–2^ + ... + an ; a 0 ≠ 0
Donde:
- a 0 ; a 1 ; a 2 ; … ; an ⇨ son coeficientes.
- x ⇨ es la variable
- n є Z ⇨ grado del polinomio
- a 0 ⇨ coeficiente principal
- an ⇨ coeficiente final o término independiente.
2.2. ALGUNAS REPRESENTACIONES USUALES
⇨ Polinomio lineal o de primer grado.
- P(x) = a x^2 + b x + c ; a ≠ 0
⇨ Polinomio cuadrático o de segundo grado.
- P(x) = a x^3 + b x^2 +c x + d; a ≠
⇨ Polinomio cúbico o de tercer grado
2.3. POLINOMIO MÓNICO
Se llama así a aquel que presenta una sola variable y coeficiente principal igual
a 1.
3. VALOR NUMÉRICO (V.N.)
Dada una expresión matemática, el valor numérico es el que se obtiene al susti-
tuir sus variables por valores numéricos y realizar las operaciones presentes en
la expresión.
Ejemplo:
Dada la expresión matemática:
f(x)=
3 x + x –
Hallar su V.N. para x = 8.
Solución:
Reemplazamos x por 8 en f(x):
⇨ V.N. f(x) =
f(8) = 5
f(8)=
Álgebra 13
Ejemplo:
Dado el monomio:
M(x; y; z) = 7 a^4 x^5 y^3 z^7
Se tiene: G.R. (x) = 5 G.R. (y) = 3 G.R. (z) = 7
⇨ G.A. (M) = 5 + 3 + 7 = 15
En un polinomio (de 2 o más términos)
- El G.R. respecto a una variable está dado por el mayor exponente que afecta
a dicha variable.
- El G.A. está dado por el término de mayor G.A.
Ejemplo:
Dado el polinomio:
P(x; y; z) = a^2 x^4 yz^2 – √ 2 x^2 y^3 z^3 + y^4 z
Se tiene:
G.R. x = 4 G.R. y = 4 G.R. z = 3
Donde:
G.A. ( t 1 ) = 7 ; G.A. ( t 2 ) = 8 ; G.A. ( t 3 ) = 5
⇨ G.A. P = G.A. ( t 2 ) = 8
6. POLINOMIOS ESPECIALES
6.1. POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel cuyos términos tienen igual grado absoluto.
Ejemplo:
P(x; y; z) = 7 x^2 y^2 z^4 – 9 x^3 y^3 z^2 + √ 3 xy^7
Es un polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 8.
6.2. POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios de grado n y de las mismas variables son idénticos si tienen el
mismo V.N. para por lo menos (n+1) sistemas de valores diferentes asignados a
sus variables.
Además, en dos polinomios reducidos e idénticos se debe cumplir que los
coeficientes de sus términos semejantes deben ser iguales en ambos.
Ejemplo:
Si A x^6 + B x^3 y^2 + C y^4 ≡ M x^6 + N x^3 y^2 + P y^4 ⇨ se debe cumplir A = M; B = N y C = P
t 1 t 2 t 3
G.A.= 8 G.A.= 8 G.A.= 8
14 Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
6.3. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Un polinomio de grado n es idénticamente nulo si este se anula para por lo me-
nos (n + 1) sistemas de valores diferentes asignados a sus variables.
Además, en todo polinomio reducido e idénticamente nulo se debe cumplir
que los coeficientes en cada uno de sus términos debe ser 0.
Ejemplo:
Si: P(x; y) = A x^8 + B x^4 y^2 + C x^2 y^4 + D y^6 ≡ 0 ⇨ se debe cumplir: A = B = C = D = 0
Ejemplo:
Determine a + b + c, si el polinomio:
P(x) = (a – 2) x^4 + (5 + b) x^3 – (4 – c) x^2 es idénticamente nulo.
Solución
Dado que P(x) es idénticamente nulo:
a – 2 = 0 ^ 5 + b = 0 ^ 4 – c = 0
a = 2 ^ b = –5 ^ c = 4
a + b + c = 2 – 5 + 4 = 1
6.4. POLINOMIO ORDENADO RESPECTO A UNA VARIABLE
Cuando los exponentes de la variable referida están aumentando o disminuyen-
do. Por ejemplo, el polinomio:
P(x;y) = 6x^9 y –
x^5 y^4 + √5 x^3 y^5 – xy^8
está ordenado en forma descendente respecto a x y ordenado en forma ascen-
dente respecto a y.
6.5. POLINOMIO COMPLETO RESPECTO A UNA VARIABLE
Cuando la variable referida presenta todos los exponentes consecutivamente
desde 1 hasta el mayor de ellos. Incluye el término independiente de dicha varia-
ble. Por ejemplo, el polinomio:
P(x;y) = 9x^3 – 7y + 4x^4 y^8 + x^2 y^5 + 9xy^2
está completo respecto a x. El término independiente respecto a x es –7y (T.I. x = –7y).
Nota: Siendo P(x) un polinomio completo, se cumple:
de términos de p(x)= grado de P(x) +1.
7. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables por alguna constante.
Ejemplo:
Sea F(x) = x+ x–
- 2x, hallar el valor numérico de F en x = 5.
16 Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
UNIDAD 3
Productos notables
1. Cuadrado de un binomio (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 = (b – a)^2 2. Cubo de un binomio (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) (a – b)^3 = a^3 – 3a^2 b + 3ab^2 – b^3 (a – b)^3 = a^3 – b^3 – 3ab(a – b) 3. Cuadrado de un trinomio (a+b+c)^2 = a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+ac+bc) 4. Cubo de un trinomio (a+b+c)^3 = a^3 +b^3 +c^3 +3(a+b)(a+c)(b+c) 5. Producto o multiplicaciones de binomios con términos comunes - (x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x+ab - (x+a)(x+b)(x+c)= x^3 +(a+b+c)x^2 +(ab+ac+bc)x+abc - (x–a)(x–b)(x–c)= x^3 –(a+b+c)x^2 +(ab+ac)x–abc 6. Multiplicación de un binomio suma por su diferencia (a+b)(a–b) = a^2 – b^2 7. Multiplicaciones de un binomio por un trinomio (a + b)(a^2 – ab + b^2 ) = a^3 + b^3 (a – b)(a^2 + ab + b^2 ) = a^3 – b^3 8. Identidades de Legendre (x + a)^2 + (x – a)^2 = 2(x^2 + a^2 ) (x + a)^2 – (x – a)^2 = 4xa 9. Identidad de Argand (x2m^ + xmyn^ + y2n)(x2m^ – xmyn^ + y2n) = x4m^ + x2my2n^ + y4n 10. Identidad de Gauss a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 –ab–ac–bc) 11. Identidad condicional Si: a + b + c = 0 a^3 + b^3 + c^3 = 3abc a^2 + b^2 + c^2 = –2(ab+bc+ac) 12. Si a^2 +b^2 +c^2 = ab+ac+bc a;b;c ∈ R ⇒ a=b=c 13. Si a2n+b2n+c2n=anbn+ancn+bncn a; b; c ∈ R n ∈ N ⇒ a = b = c
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en for-
ma directa, considerando implícita la propiedad distributiva de la multiplicación
por la forma que presentan:
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
Nota: A los productos notables se les conoce también como multiplicaciones abreviadas, equi- valencias algebraicas e identidades.
Álgebra 17
UNIDAD 4
División algebraica de polinomios
(división de Euclides)
1. DIVISIÓN ALGEBRAICA
Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios
llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denomi-
nados DIVIDENDO y DIVISOR, que se encuentran ligados por la relación:
D(x) = d(x) q(x) + r(x)... Propiedad fundamental (algoritmo de la división)
Donde:
D(x) : Dividendo
d(x) : Divisor
q(x) : Cociente
r(x) : Residuo o resto
Gdo. (D(x)): Grado del dividendo
Gdo. (d(x)): Grado del divisor
2. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
- Gdo. (q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))
- Gdo. (r(x)) < Gdo. (d(x))
- Además: Máximo Gdo. (r(x)) = Gdo. (d(x)) – 1 3. PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN
3.1. MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:
- Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, com-
pleto o completado.
- Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, comple-
to o completado, con signo contrario salvo el primero.
- Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos
de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar di- chos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.
Álgebra 19
Observación:
Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obte-
nido se deberá dividir entre este valor.
4. TEOREMA DEL RESTO (TEOREMA DE DESCARTES)
Se utiliza para obtener directamente el resto de una división de un polino-
mio entero en “x”, P(x) de cualquier grado por un divisor binomio de la forma
ax + b transformable en él. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la
mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo.
Enunciado
En toda división de un polinomio entero en “x”, P(x) por un divisor binomio
de la forma ax ± b, el resto obtenido es igual al valor numérico de: P ±
a b
que
adquiere dicho polinomio cuando se reemplaza a “x” por (^) ± b a
, haciendo
ax ± b = 0; luego Resto (R) = P ±
a b
20 Universidad Nacional Federico Villarreal - CEPREVI
Término general de lugar k (t k )
t k = xn–k^ ak–^1 → d( x ) = x – a
t k = (–1) k–^1 xn–k^ ak–^1 → d( x ) = x + a
También, según la combinación de signos, se puede analizar 4 casos, dando en
cada uno un C.N. (o sea resto igual cero).
División indicada según su forma
Cociente notable n ∈ Z+^ ∃
x n^ – an x – a
= xn–^1 + xn–^2 a + xn–^3 a^2 – ... ... ...
C.N.
n par impar
x n^ + an x + a
= xn–^1 – xn–^2 a + xn–^3 a^2 – ... ... ... + an–^1
C.N.
n = impar
x n^ – an x + a
= xn–^1 – xn–^2 a + xn–^3 a^2 – ... ... ... – an–^1
C.N.
cuando n = par
x n^ + an x – a
= xn–^1 a^0 + xn–^2 a + xn–^3 a^2 + ... ... ...
∃ C.N.
n = par impar
UNIDAD 5
Cocientes notables - Divisibilidad
(C.N.)
1. DEFINICIÓN
Son resultados de ciertas divisiones que por sus características particulares po-
demos escribirlas directamente, sin efectuar la división.
Forma general:
xn^ ± an x ± a
n ∈ N n ≥ 2... Divisiones entre binomios
