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Cap. 5
POLINOMIOS
Es intención que el alumno trabaje con los polinomios, ya que son expresiones que usará en muchas asignaturas de la carrera. Es fundamental que sepa operar con ellos con soltura. Se tratarán los polinomios con coeficientes en el cuerpo de los números complejos. Es de resaltar que hay definiciones que no son válidas fuera de este contexto. Además, este tema permite abordar la resolución de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales de grado más alto que dos, que en campo real no hay expresiones sencillas para resolverlas.
1. Definiciones básicas
Se llama polinomio en una indeterminada x y con coeficientes complejos a una expresión
de la forma:
P( x )= an xn^ + an- 1 xn-^1 +.........+ a 2 x^2 + a 1 x + a 0
siendo an , an-1 , ........, a 2 , a1 , a 0 números complejos, que son los coeficientes.
Observación : Recordar que por la identificación establecida, los números complejos
incluyen a los reales, es decir los números reales son un caso particular de complejos.
Se designa por [ x ] al conjunto de polinomios con coeficientes en. En alguna situaciones
especiales se indicará por [ x ] al conjunto de polinomios con coeficientes en , aunque
es sabido que [ x ] [ x ].
x no representa una variable real ni compleja.
Aunque x no es un número real ni complejo, ni los representa, se admite que 0. x = 0
Por ejemplo, si P( x ) = 4 x^5 + 2 x^4 – 3 x + 1; en este polinomio son: a 5 = 1; a 4 = 2 ;
a 3 = a 2 = 0; a 1 = - 3 ; a 0 =1 son los coeficientes.
Si T( x ) = 3 i x^4 + 5 x^3 – (2 + 3 i ) x + 1; en este polinomio son: a 4 = 3 i ; a 3 = 5; a 2 = 0;
a 1 = - (2 +3 i ) ; a 0 =1 son los coeficientes.
Cap. 5
Observar que los exponentes de x son números naturales.
NO ES un polinomio una expresión de la forma H( x ) = 3 x -^2 + 2 x + x^2 + 3
Pues aparece x elevada a – 2
Se llama grado de un polinomio al mayor n tal que a n sea distinto de 0.
En el ejemplo, P( x ) es de grado 5, pues a 5 = 4 0 y al no estar explícitos otros a i con
i > 5, significa que a i = 0 para i > 5.
El T( x ) es de grado 4, pues a 4 = 3 i 0 y al no estar explícitos otros a i con i > 4 , significa
que a i = 0 para i > 4.
El Q( x ) = 3 x^4 + 8 x - x^7 tiene grado 7 ya que a 0 = 0; a 1 =8 ; a 2 = a 3 =0 ; a 4 = 3 ;
a 5 = a 6 =0 ; a 7 = - 1.
El polinomio S( x ) = 8, es un polinomio de grado 0. ¿De acuerdo? …. Justifique!!!
Se llama polinomio nulo y se anota 0( x ) al polinomio cuyos coeficientes son todos 0. Es
decir:
0( x ) = 0 x m^ + 0 x m-^1 +.........+0 x + 0
Observar que de acuerdo a la definición el polinomio 0( x ) NO TIENE GRADO ; además se
puede escribir de muchas maneras 0( x ) = 0 x^2 +0 = 0 x^10 + 0 x^8 + 0 x +
Cap. 5
2. OPERACIONES: suma y multiplicación.
Si bien los números y los polinomios son cosas distintas, de alguna manera los polinomios pueden considerarse como una extensión del cuerpo numérico. De ahí que se han definido sobre ellos operaciones del mismo tipo a las definidas en , además pretendiendo que conserven las “buenas” propiedades de esas operaciones.
Recordemos que:
I) Un término es una expresión algebraica donde hay números, letras (que simbolizan números) o números y letras. II) Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, por ejemplo:
3 a^2 bc-^1 y^4 5
− a^2 bc-^1
son semejantes.
3 ab-^8 y 3a-^1 b no son semejantes
4/9 y - 3 son semejantes (porque?)
iii) Al sumar términos semejantes se puede reducir la expresión, por ejemplo:
3a^2 bc-^1 + (^4 5
− ) a^2 bc-^1 = (3 + (^4 5
− ) ) a^2 bc-^1 =^11 5
a^2 bc-^1
iv) Al multiplicar términos se opera respetando las leyes de potenciación y la conmutatividad
de producto, por ejemplo:
3 a^2 b-^3 c. 25 a-^1 bc = 3. 25 a^2. a-^1 b-^3 .b.c.c = 15 ab-^2 c^2 5 7 5 7 7
Para el caso de las operaciones con polinomios usaremos el mismo criterio, aunque es de destacar nuevamente que x no simboliza un número.
❖ SUMA
EJEMPLO:
Para calcular P( x ) = 2 x^3 + 4 x^5 - x^2 + 2 más Q( x ) = x^4 – 2 x^5 + 3 x^3 + x^2 – 1, cuyo resultado anotaremos P( x ) + Q( x ), se suman los coeficientes de los términos de igual grado (es decir, de x elevada al mismo exponente). En el ejemplo:
Cap. 5
P( x ) + Q( x ) = (2+3) x^3 + (4 - 2) x^5 + (-1+1) x^2 + x^4 + (2-1) =
= 5 x^3 + 2 x^5 + x^4 + 1
esto se expresa también diciendo que se “suma coeficiente a coeficiente”.
¿Qué ocurre si realizamos P( x ) + 0( x ) =.........?
Es por eso que 0( x ) se lo llama polinomio nulo , pues para la suma se comporta como el
número 0 de.
Como se define la suma para polinomios cualesquiera:
Sean P( x ) y Q( x ) ambos no nulos, con grado n y m respectivamente.
P( x ) = an xn^ + an- 1 xn-^1 + .......+ a 1 x + a 0 y Q( x ) = bm xm^ + bm- 1 xm-^1 + ......+ b 1 x + b 0
Si m = n : P( x ) + Q( x ) = ( an + bn ) x n + ( an- 1 + bn- 1 ) x n- 1 + .... + ( a 0 + b 0 )
Si m < n : P( x ) + Q( x ) = an xn^ + .....+ (am + bm ) xm^ + ..... + (a 0 + b 0 )
➢ Completar un polinomio es explicitar con 0 los coeficientes de las potencias de x que no se presentan, por ejemplo:
a) H( x ) = x^4 + 3 x^3 + 4 Completar H( x ) significa escribir
H( x ) = x^4 + 3 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 4
b) T( x ) =^1 3
x^3 – 2 x^5 + x^2 el completado de T( x ) es^1 3
x^3 – 2 x^5 + x^2 + 0 x^4 + 0 x + 0
en algunas situaciones es conveniente “ ordenar” un polinomio. Por ello se entiende
escribirlo según potencias crecientes o decrecientes de x. En el caso de T( x ) resultará que el
ordenado y completado es:
Cap. 5
5.2.3 EJERCICIO
Dado un polinomio cualquiera P( x ), determinar cuál es su opuesto. Defina ese concepto.
¿Cómo anotaría el opuesto de P( x )?
5.2.4 EJERCICIO
Dados los siguientes polinomios, en cada caso:
i) Complete y ordene según potencias decrecientes de x. ii) Halle el opuesto de los siguientes polinomios:
P( x ) = x^4 – x^6 + 1 – 2 x , Q( x )= x^2 , R( x )=1 – x^2 + x^4
S( x ) = (^2 3
- i) x^4 – 2 x + 5 + x^5 + ( 3 - 7 i) x^8 , T( x ) = 5 i x^9 - 2 x^4 + i - 1
Para restar al polinomio P( x ) el polinomio Q( x ) se realiza P( x ) + (- Q( x ))
EJEMPLO
Calcular P( x ) + Q( x ) y P( x ) – Q( x ) siendo
P( x ) = 3 x^2 - x^4 + 3 x – 1 ; Q( x ) = x^3 + x^2 – 2 x +
Las operaciones se pueden realizar utilizando una disposición similar a la utilizada para
operar con números de varias cifras. Para ello se elige una forma (creciente o decreciente) de
ordenar las potencias, luego se disponen uno debajo del otro de modo que queden
encolumnados los términos semejantes. Por último se suman los coeficientes.
Veamos en el ejemplo:
P( x ) - x^4 + 0 x^3 + 3 x^2 + 3 x – 1 Q( x ) x^3 + x^2 - 2 x + 3
- x^4 + x^3 + 4 x^2 + x + 2 luego P( x ) + Q( x ) = - x^4 + x^3 + 4 x^2 + x +
Cap. 5
P( x ) - x^4 - 0 x^3 + 3 x^2 + 3 x - 1
- Q( x ) - x^3 - x^2 + 2 x - 3
- x^4 - x^3 + 2 x^2 + 5 x - 4 resulta P( x ) - Q( x )= - x^4 – x^3 + 2 x^2 + 5 x – 4
EJEMPLO
Calcular P( x ) + Q( x ) y P( x ) – Q( x ) para P( x ) = x^5 - 2 x^2 + 1
Q( x ) = x^2 + x^7 –^1 3
x - 2 x^3 – x^5
P( x ) x^5 + 0 x^4 + 0 x^3 - 2 x^2 + 0 x + 1
Q( x ) x^7 + 0 x^6 - x^5 + 0 x^4 - 2 x^3 + x^2 -^1 3
x + 0
x^7 + 0 x^6 +0 x^5 +0 x^4 – 2 x^3 - x^2 -^1 3
x + 1
luego P( x ) + Q( x ) = x^7 – 2 x^3 - x^2 -^1 3
x + 1
P( x ) x^5 + 0 x^4 + 0 x^3 - 2 x^2 + 0 x + 1
- Q( x ) - x^7 + 0 x^6 + x^5 + 0 x^4 + 2 x^3 - x^2 +^1 3
x + 0
- x^7 + 0 x^6 +2 x^5 +0 x^4 + 2 x^3 - 3 x^2 +^1 3
x + 1
Luego, P( x ) – Q( x ) = - x^7 +2 x^5 +2 x^3 - 3 x^2 +^1 3
x + 1
¿?
Cap. 5
Efectuar las operaciones indicadas y en cada caso indicar cuál es el grado del resultado:
a) (3 x^3 - 2 x^2 - x^4 + x ) + ½ ( x^3 – x + x^2 +^1 3
b) ½ (2 x^4 - 3 x^2 + x – 1) – 5 i (^1 2
x^4 + x –^1 25
x^2 + x^3 - 5 -^2 ) =
c) ( x^4 – 2 x + x^3 ) + (3 x^3 – x^2 + 2 x + 1 ) +^1 3
(3 - 12 x^3 - 3 x^4 +3 x^2 )=
d) – 1( x^2 + 3 x – 1) + ( x^2 + 3 x – 1) =
e) 0. ( x^41 + 28 x^21 – 82/ 3 x – 1 ) =
f) (2 + 3 i ) ( x^4 – 2 x + x^3 ) - (5 + i ) ( 4 x^4 + (1- 2 i ) x + x^3 + 5 i )
Se define la multiplicación de polinomios con la pretensión que algunas propiedades de la
multiplicación de los números complejos se sigan satisfaciendo, por ejemplo que el resultado
sea un polinomio, que sea asociativa y valga la distributividad de la multiplicación en la
suma, entre otras.
Para establecer la definición se considera que:
x n^. x m^ = x n+m^ para n, m naturales
a. x n^ = x n^. a para a un número complejo y n natural
Veamos un EJEMPLO para presentar la idea:
Realizar la multiplicación de P( x ) = 3 x^3 + 4 x^2 – 2/3 por Q( x ) = 2 x^4 – x , será multiplicar cada
término de P( x ) por cada término de Q( x ) y sumar. Luego se tiene así:
P( x ). Q( x ) = 3 x^3. 2 x^4 + 3 x^3. (- x ) + 4 x^2. 2 x^4 + 4 x^2. (- x ) + (-^2 3
)2 x^4 + (-^2 3
). (- x ) =
= 3. 2 x^3. x^4 + 3(-1) x^3. x + 4. 2 x^2. x^4 + 4(-1) x^2. x + (-^2 3
) 2 x^4 + (-^2 3
) (-1) x =
= 6 x^7 - 3 x^4 + 8 x^6 - 4 x^3 -^4 3
x^4 +^2 3
x = 6 x^7 + 8 x^6 -^13 3
x^4 - 4 x^3 +^2 3
x
Observe que al multiplicar P( x ) de grado 3 por Q( x ) de grado 4 se ha obtenido un polinomio
de grado 7.
Cap. 5
5.2.7EJERCICIO
¿Cómo resultará en general el grado de un producto de polinomios no nulos? ¿Qué ocurre si
uno de los factores es 0( x )?
5.2.8 EJERCICIO
Inspirado en el ejemplo anterior, defina para polinomios P( x ) y Q( x ) cualesquiera el producto
P( x ). Q( x ).
También para realizar la multiplicación de polinomios se hace una disposición práctica de
los mismos, análoga a la usada para multiplicar a mano números, ya que los números en base
10 tienen una estructura polinomial.
Cómo hacemos para realizar 287. 1585?
Dispondríamos: 1585 y no 287 porqué?
x 287 x 1585
Luego multiplicamos 1585 por cada una de las cifras 287, comenzando por la unidad (7);
cuando multiplicamos por la decena (8), nos desplazamos a la izquierda un lugar
(multiplicamos por 10) y luego por la centena (2), nos desplazamos otro lugar a la izquierda
(así multiplicamos por 100) y en este caso concluimos sumando los nºs que están
encolumnados.
Hágalo usted a mano. Verifique que le da: 454895.
Volvamos a los polinomios en x. Dados P( x ) y Q( x ), si gr (P( x )) gr (Q( x )) o el nº de términos
no nulos de P( x ) nº de términos no nulos de Q( x ) se dispone
Cap. 5
El gr (Q( x )) > gr (P( x )) pero el nº de términos no nulos de P( x ) > el nº de términos no nulos
de Q( x ), luego se dispone:
recordemos que 3 x^3 + 4 x^2 + 0 x – 2/
ocurre al 2 x^4 + 0 x^3 + 0 x^2 - x + 0
multiplicar por 0
- 3 x^4 - 4 x^3 + 0 x^2 + 2/3 x + 0 6 x^7 + 8 x^6 + 0 x^5 +4/3 x^4 +0 x^3 + 0 x^2
6 x^7 + 8 x^6 + 0 x^5 - 13/3 x^4 - 4 x^3 + 0 x^2 + 2/3 x + 0
➢ POTENCIACIÓN ( un caso particular de multiplicación )
La potencia natural de polinomios se define como en los números. Con esa pretensión
será que se tiene (P( x ))^3 = P( x ).P( x ).P( x ).
Para que eso suceda se da en general:
n n-
n
Para P( ) 0( ) 1 0 P( ) P( ).P( ) 1
Para 0 P( ) = 0( ) P( ) 0( )
n x x si n x x x si n
n x x x x
5.2.9 EJERCICIO
a) Dados los polinomios
P( x ) = 3 x^2 - 2 x + 1 , R( x ) = - 3 x^2 + x y Q( x ) = - 5 x^4 + 3 x^2 - 2
efectuar las siguientes operaciones:
i) P( x ). Q( x ) – R( x ) ; ii) P( x ). Q( x ) – P( x ). R( x ) ¿que pasa?
iii) P( x ). Q( x ) + 3(P( x ) + R( x )) ; iv) Q( x ) –^5 3
x^2. P( x )
v) R^2 ( x ) – 2 x. Q( x )
Cap. 5
b) Sin hacer los cálculos determinar el grado de:
i) ( x - 3)^2 ; ii) ( x^2 - 3 i )^2. ( x +(-1+ 2 i ))^3
iii) ( x^3 - 3 x^2 - i )^2. (3/5 x^2 - 4 ix +1)
5.2.10 EJERCICIO
Efectuar las operaciones indicadas:
i) ( x + 5). ( x - 6)^2 ; ii) (4 x - 1)^3 - (4 x + 1)^3 iii) ( x - (2+2 i ))^2. ( x + 3)^3 ; iv) ( x – 3 i ).( x + 3 i )
3. Divisibilidad y División
Cuando decimos que 3 divide a 12, es porque existe 4 tal que 3.4 = 12.
¿Es cierto que 6 divide a 54? Justifique su opinión. ¿El 5 divide a 34? Justifique su respuesta.
De la misma forma:
En el conjunto de polinomios en una indeterminada x con coeficientes complejos, [ x ] :
Q( x ) divide a P( x ) si e x iste en [ x ] un polinomio C( x ) (llamado cociente ) tal que:
P( x ) = C( x ). Q( x )
Por ejemplo: el polinomio x^2 - 1 divide al polinomio 3 x^4 + 2 x^3 - 4 x^2 - 2 x +
Pues existe el polinomio 3 x^2 + 2 x – 1 de modo que:
(3 x^2 + 2 x – 1 ). ( x^2 - 1) = 3 x^4 + 2 x^3 - 4 x^2 - 2 x + 1 (Verifíquelo)
x + 1 divide a 2 x^2 - 2, pues existe 2 x – 2 tal que 2 x^2 - 2 = (2 x – 2)( x + 1) (Verifíquelo)
x - i divide a x^2 + 1 , pues existe x + i tal que x^2 + 1= ( x - i ) ( x + i ) (Verifíquelo!!)
No siempre se da que un polinomio es divisible por otro polinomio (como sabemos que pasa
dentro de los números enteros).
Como trabajo!!!!
Cap. 5
x^2 + 4 x + 5 = ( x +3)( x +1) + 2 (Verifique)
resulta
C( x ) = x +3 y R( x ) = 2
Como el divisor es de grado 1, el resto R( x ) de no ser 0( x ), debe tener grado 0 es decir ser un
número.
Es evidente que para dividir polinomios y poder determinar si un polinomio es divisible por
otro es necesario un algoritmo o mecanismo para resolver la cuestión.
Si se quiere dividir P( x ) por Q( x ), con Q( x ) 0( x ) y:
Si el gr(Q( x )) > gr(P( x )):
resulta de acuerdo al teorema anterior que el cociente C( x ) = 0( x ) y el resto R( x ) = P( x ) pues P( x ) = 0( x ). Q( x ) + R( x )
Si el gr(Q( x )) gr(P( x )), nos iremos aproximando al cociente y al resto por sucesivas restas
(es análogo al mecanismo de la división de números de varias cifras).
Lo explicaremos en un ejemplo:
Sean P( x ) = x^5 + 2 x^3 + x – 2 y Q( x ) = x^3 - 3 x^2 + 1 realizaremos la división de P( x ) por
Q( x ), hallando C( x ) y R( x ) de modo que
P( x ) = C( x ). Q( x ) + R( x ) con R( x ) = 0( x ) ó gr(R( x )) < gr(Q( x )).
Observar que C( x ). Q( x ) debe tener grado 5 (como el de P( x ), piense qué relación hay en el
grado de un producto y en el grado de una suma!!!) y también por la igualdad a satisfacer se
determina cual es el coeficiente de x^2 en C( x ); se hace una disposición (como la que figura
más abajo) teniendo en cuenta:
Cap. 5
1º) Se han completado P( x ) y Q( x ) para “guardar lugar” a las sucesivas potencias, Q( x ) no es
imprescindible.
2º) x^5 = x^2. x^3 de allí que en C( x ) esté x^2.
3º) Se multiplica por x^2 c/u de los términos de Q( x ), que se irán colocando debajo de P( x )
ordenadamente por grado. Como a P( x ) le queremos restar x 2.^ Q( x ), “cambiamos” el signo.
x^5 + 0 x^4 + 2 x^3 + 0 x^2 + x – 2 x^3 - 3 x^2 + 0 x + 1
- x^5 + 3 x^4 + 0 x^3 - x^2
se está formando C( x )
4º) A P( x ) le restamos x^2 .Q( x ); y “bajamos” el término siguiente (en este caso x ).
5º) Como P( x ) - x^2. Q( x ) tiene grado 4, el próximo término de C( x ) será de grado 1 y
con coeficiente 3 para que por la siguiente resta se anule 3 x^4 así:
x^5 + 0 x^4 + 2 x^3 + 0 x^2 + x – 2 x^3 - 3 x^2 + 0 x +
- x^5 + 3 x^4 + 0 x^3 - x^2
0 + 3 x^4 + 2 x^3 - x^2 + x construyendo C( x )
6º) Se multiplica por 3 x .Q( x ) y se van colocando sus términos bajo P( x ) - x^2 Q( x )
“cambiados” de signo.
7º) se resta a (P( x ) - x^2. Q( x )) 3 x. Q( x ); se baja el término siguiente: - 2
x^2
x^2 + 3x
Cap. 5
EJEMPLO
Halle el cociente y el resto de la división T( x ) = 2 x^4 + 3 x + 1 por S( x ) = x + 3:
2 x^4 + 0 x^3 + 0 x^2 + 3 x + 1 x + 3
- 2 x^4 - 6 x^3 2 x^3 - 6 x^2 + 18 x - 51 0 - 6 x^3 + 0 x^2 + 6 x^3 + 18 x^2 0 + 18 x^2 + 3 x - 18 x^2 - 54 x 0 - 51 x + 1 51 x + 153 0 + 154
Observar que por el mecanismo antes expuesto hemos arribado a R( x ) = 154 que tiene
grado 0 pues S( x ) que es el divisor de este ejemplo tiene grado 1.
EJEMPLO
Halle el cociente y el resto de la división T( x ) = 2 x^4 + 3 x + 1 por S( x ) = x + 3 utilizando
la regla de Ruffini.
1º) Se disponen en un cuadro los coeficientes del dividendo, previamente ordenado según potencias decrecientes y completado, y el término independiente del divisor cambiado de signo.
coeficientes del dividendo (completado)
independiente del divisor
cambiado de signo
2º) Luego “se baja” el coeficiente de mayor grado del dividendo.
Cap. 5
3 º) Se multiplica ese coeficiente (en este caso 2) por el término independiente del
divisor cambiado de signo (en este caso – 3 ) y se coloca ese resultado (- 6) bajo el
coeficiente siguiente del dividendo.
2 0 0 3 1
4º) Se suma el 2º coeficiente del dividendo con – 6, esa suma se multiplica por – 3 y se
colocan bajo el siguiente coeficiente de T( x ).
5º) Se suman esos números y se sigue de manera análoga
6º) Como este caso, en algún momento habremos recorrido todos los coeficientes del dividendo. Hemos terminado. El último número obtenido resulta ser el resto R( x ), en este caso R( x ) = 154.
Los otros números, son los sucesivos coeficientes del cociente C( x ). Como la división es por un polinomio de grado 1, el grado del cociente es 1 menor que el dividendo, en este caso 3. (¿De acuerdo? ¿Porqué??)
La obtención de C( x ) = 2 x^3 - 6 x^2 + 18 x – 51
OBSERVACION IMPORTANTE : La regla de Ruffini es aplicable sólo cuando el divisor es de grado 1.
resto
Yo lo se!!!!
