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Cap´ıtulo 5: M´odulos sobre dominios de ideales
principales
Sea D un dominio de ideales principales (abreviadamente, DIP). Quer- emos clasificar los D-m´odulos finitamente generados. Para ello asociaremos a cada D-m´odulo M una matriz con coeficientes en D, clasificaremos las matrices y trasladaremos la clasificaci´on a los m´odulos.
1. Matrices y m´odulos
En esta secci´on, D ser´a un dominio, y consideraremos matrices con coe- ficientes en D. Mm×n(D) es el conjunto de tales matrices de tama˜no m × n.
Definici´on 1.1. Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(D) se dice invertible si existe una matriz C ∈ Mn×n(D) con la propiedad A · C = C · A = In, donde In es la matriz identidad de orden n.
La matriz C que cumple las condiciones de la Definici´on 1.1 est´a de- terminada un´ıvocamente por A, y se llama matriz inversa de la matriz A, denotada como A−^1.
Definici´on 1.2. Sea D un dominio. Dos matrices A, B ∈ Mm×n(D) se llaman equivalentes cuando existen matrices cuadradas invertibles P, Q, de forma que B = P AQ.
Que obtenemos una relaci´on de equivalencia mediante esta definici´on es inmediato: basta observar que si B = P AQ, entonces A = P −^1 BQ−^1 , y que el producto de matrices invertibles del mismo orden es invertible. Vamos ahora a asociar un D-m´odulo finitamente generado a cada matriz.
Definici´on 1.3. Sea D un dominio y sea A ∈ Mm×n(D), con A = (aij ). Para i = 1,... , m, pongamos ui = (ai 1 ,... , ain) ∈ Dn, y sea K el subm´odulo de Dn^ generado por u 1 ,... , um. El D-m´odulo Dn/K se llama el D-m´odulo definido por la matriz A y lo denotaremos como M (A).
El resultado principal de esta secci´on establecer´a que matrices equiva- lentes definen m´odulos isomorfos.
Proposici´on 1.4. Sea D un dominio. Si A, B ∈ Mm×n(D) son matrices equivalentes, entonces M (A) ∼= M (B).
Dem.: Sea B = P AQ, con P, Q invertibles. Probaremos que M (A) = M (P A) y que M (AQ) ∼= M (A). De ah´ı se sigue inmediatamente el resultado. Sea A = (aij ) y P = (bij ). Por la Definici´on 1.3, M (A) = Dn/K con K =
∑m i=1 Dui^ y cada^ ui^ =^
∑n j=1 aij^ ej^ , si los^ ej^ forman la base can´onica de Dn. Es f´acil calcular que la fila i-´esima de la matriz P A es vi =
∑m j=1 bij^ uj^. Si K′^ es el subm´odulo de Dn^ generado por v 1 ,... , vm, entonces M (P A) = Dn/K′^ y adem´as K′^ ⊆ K por las anteriores ecuaciones de los vi. Como P es invertible, el mismo razonamiento aplicado a las matrices P A y P −^1 (P A) nos muestra que K ⊆ K′. Luego K = K′^ y M (A) = M (P A). Sea ahora Q = (cij ). El homomorfismo definido por la matriz Q es el homomorfismo de D-m´odulos f : Dn^ → Dn^ dado por f (ei) =
∑n j=1 cij^ ej^. Esto equivale a decir que, si representamos por [x] la matriz fila de las coordenadas con respecto a la base can´onica de cualquier x ∈ Dn, entonces [f (x)] = [x]Q. Como Q tiene matriz inversa, f ser´a un isomorfismo cuyo inverso est´a definido por la matriz Q−^1. Entonces
f (ui) =
∑^ n
j,k=
aij cjkek
de forma que, si llamamos K′^ al subm´odulo de Dn^ generado por f (u 1 ),... , f (un), se tiene M (AQ) = Dn/K′. Por construcci´on, K′^ = f [K] y se tiene un dia- grama conmutativo de D-m´odulos
0 → K → Dn^ → M (A) → 0 ↓ f ↓ ↓ 0 → K′^ → Dn^ → M (AQ) → 0
donde las filas son sucesiones exactas cortas, con las inclusiones de K y K′^ en Dn; el homomorfismo vertical de la izquierda es la restricci´on de f ; y el de la derecha se obtiene por el Teorema 4.2.5. Como el n´ucleo de la
composici´on Dn^ f → Dn^ → Dn/K′^ es f −^1 [K′] = K, se sigue del Teorema 4.2.6 que M (A) ∼= M (AQ).
Cuando D es un dominio de ideales principales, todo D-m´odulo finita- mente generado est´a definido por alguna matriz.
Proposici´on 1.5. Si D es un DIP y M es un D-m´odulo finitamente gene- rado, entonces existe alguna matriz A de modo que M ∼= M (A).
Dem.: Puesto que M es finitamente generado, M ∼= Dn/K para alg´un subm´odulo K ≤ Dn^ (Proposici´on 4.3.8). Adem´as, K es finitamente genera- do y libre con una base u 1 ,... , um con m ≤ n (Proposici´on 4.4.6). Poniendo ui = (ai 1 ,... , ain) ∈ Dn, obtenemos la matriz A = (aij ) y M (A) = Dn/K ∼= M , por la Definici´on 1.3.
Como hemos visto, las matrices elementales son invertibles. Esta es la base del resultado siguiente.
Proposici´on 2.2. Si a una matriz A ∈ Mn×m(D) se le aplica una suce- si´on finita de operaciones elementales de filas o de columnas o de ambas, el resultado es una matriz equivalente a la matriz A.
Dem.: Esto resulta inmediatamente de las Definiciones 2.1 y 1.2, y del hecho de que el producto de matrices invertibles es una matriz invertible.
2.2. Transformaciones de matrices
Estudiaremos las operaciones elementales de matrices sobre una clase particular de dominios de ideales principales.
Definici´on 2.3. Un dominio D se dice que tiene divisi´on eucl´ıdea cuando existe una aplicaci´on δ : D \ { 0 } → N, de manera que se cumple la propiedad siguiente: Dados elementos arbitrarios a, b ∈ D, con b 6 = 0, existen elementos q, r ∈ D, de modo que a = bq + r, y adem´as r = 0 o δ(r) < δ(b).
El dominio Z de los enteros y cualquier anillo de polinomios K[x], siendo K un cuerpo, son los ejemplos m´as importantes de dominios con divisi´on eucl´ıdea. Supondremos en este apartado que D es un dominio con divisi´on eucl´ıdea y estudiaremos matrices con coeficientes en D. Recordemos que todo dominio con divisi´on eucl´ıdea es un dominio de ideales principales; el rec´ıproco, en cambio, no es cierto. Pero veremos en el apartado siguiente que los resultados que vamos a probar ahora son tambi´en v´alidos en el contexto m´as general de los dominios de ideales principales.
Lema 2.4. Sea D un dominio con divisi´on eucl´ıdea. Sea A = (aij ) ∈ Mm×n(D) una matriz con a 11 6 = 0. Entonces, existe una sucesi´on de opera- ciones elementales que transforma la matriz A en una matriz B = (bij ) de manera que se verifica al menos una de estas condiciones: (i) δ(b 11 ) < δ(a 11 ), con b 11 6 = 0; (ii) B tiene la forma
B =
d 0 · · · 0 0 B 11
de manera que d 6 = 0 divide a todos los elementos de la submatriz B 11 ∈ Mm− 1 ,n− 1 (D).
Dem.: Veremos una secuencia de transformaciones elementales sobre A que, si no produce una matriz B en la situaci´on de (i), entonces transforma A en una matriz del tipo (ii).
Supongamos primero que alg´un elemento de la primera fila o primera columna de A es no divisible por a 11 , por ejemplo, a 1 j. Por la condici´on eucl´ıdea, ser´a a 1 j = a 11 q +r, con δ(r) < δ(a 11 ). Si a la columna j le restamos la columna 1 multiplicada por q, y luego intercambiamos las dos columnas, obtenemos r en el lugar (1, 1) y se cumple la condici´on de (i). Lo mismo resulta si usamos un elemento de la primera columna. Supongamos que, en cambio, todos los elementos de la primera fila y de la primera columna de A son divisibles por a 11. Cada elemento a 1 j de la primera fila ser´a, pues, a 1 j = a 11 dj. Restando a la columna j la primera columna multiplicada por dj , obtendremos 0 en el lugar (1, j). Procediendo de este modo, llegamos a una matriz cuya primera fila es de ceros, salvo por el elemento a 11. Procediendo ahora del mismo modo con los elementos de la primera columna, llegaremos a una matriz de la forma ( a 11 0 0 A 1
Si todo elemento de A 1 es divisible por a 11 , entonces la matriz tiene la forma (ii). Si, por el contrario, existe un elemento c = aij que no es divisible por a 11 , y le sumamos la fila i a la fila 1, obtendremos una matriz que tiene en la primera fila un elemento c que no es divisible por a 11. Estamos, pues, en el primer caso. Como ya hemos visto antes, es entonces posible transformar A en una matriz B que cumple la condici´on (i).
Podemos ahora demostrar el siguiente resultado.
Lema 2.5. Sea D un dominio con divisi´on eucl´ıdea, y sea A ∈ Mm×n(D). Si A no es nula, existe una sucesi´on de operaciones elementales que convierte la matriz A en una matriz de la forma
B =
d 0 · · · 0 0 B 11
de manera que d 6 = 0 divide a todos los elementos de la submatriz B 11.
Dem.: Puesto que A no es nula, existe alg´un aij 6 = 0, y, haciendo los nece- sarios intercambios de l´ıneas, podremos suponer a 11 6 = 0. Por el Lema 2.4, alguna sucesi´on de transformaciones elementales lleva a una matriz del tipo (i) o (ii). Si el resultado es del tipo (ii), hemos terminado. En caso contrario, podemos aplicar a la nueva matriz otra secuencia de transformaciones con el mismo objetivo. Si en uno de estos pasos llegamos a obtener una matriz del tipo (ii), hemos terminado. En caso contrario, podemos seguir operando, de manera que los t´erminos en la posici´on (1, 1) de las respectivas matrices cumplir´an δ(a 11 ) > δ(b 11 ) > δ(c 11 ) >...
2.3. El caso de los dominios de ideales principales
Queremos ver ahora que los resultados del apartado anterior son tambi´en v´alidos cuando D es un dominio de ideales principales. Para verlo necesitamos introducir una nueva operaci´on sobre matrices, que llamaremos una operaci´on secundaria, a diferencia de las operaciones elementales consideradas antes. Sea D un dominio de ideales principales. Una matriz M = (aij ) ∈ Mn×n(D) se llamar´a una matriz secundaria, si est´a formada por bloques
Ir 0 0 0 M 1 0 0 0 Is
siendo Ir , Is las matrices identidad de tama˜no r, s respectivamente; r + s + 2 = n, con r, s ≥ 0; y M 1 una matriz 2 × 2, con
M 1 =
( a b c d
)
de modo que ad − bc es una unidad de D. Observemos que toda matriz secundaria es invertible. De hecho, la matriz M 1 anterior tiene como matriz inversa M 1 − 1 = u−^1
( d −b −c a
)
siendo u = ad − bc. Como consecuencia, la matriz inversa de la matriz secundaria M dada arriba ser´a (^)
Ir 0 0 0 M 1 − 1 0 0 0 Is
Una operaci´on secundaria por filas sobre una matriz arbitraria A consiste en mul- tiplicar A a su izquierda por una matriz secundaria M ; el resultado de la operaci´on ser´a M A. An´alogamente, una operaci´on secundaria por columnas sobre la matriz A la transformar´a en la matriz AN , donde N es una matriz secundaria. Cualquier sucesi´on de operaciones elementales o secundarias aplicada a una matriz A la transforma en una matriz equivalente a A. Nos interesar´a especialmente la operaci´on secundaria que vamos a describir. Sea A = (aij ) ∈ Mm×n(D) una matriz con a 11 6 = 0; y supongamos que a 12 no es divisible por a 11. Sea d = mcd(a 11 , a 12 ). Se deduce que d|a 11 y ambos elementos no son asociados. Existir´an entonces x, y ∈ D con la propiedad xa 11 + ya 12 = d. Por otro lado, dt 1 = a 11 y dt 2 = a 12 para ciertos t 1 , t 2 ∈ D. Apliquemos a la matriz A la operaci´on secundaria por columnas que consiste en multiplicar A por su derecha por la matriz secundaria cuya esquina superior izquierda es la submatriz ( x −t 2 y t 1
)
Esta ser´a, efectivamente, una matriz secundaria. Pues se tiene xt 1 + yt 2 = 1, ya que (xt 1 + yt 2 )d = xdt 1 + ydt 2 = xa 11 + ya 12 = d. Al realizar esta operaci´on secundaria sobre la matriz A, obtenemos una nueva matriz cuyo elemento de lugar (1, 1) ser´a igual a a 11 x + a 12 y = d. Como d|a 11 , resultar´a Da 11 ⊆ Dd; adem´as, esos dos ideales no son iguales ya que a 11 , d no son asociados. Esto permite probar el siguiente resultado, an´alogo del Lema 2.4.
Lema 2.7. Sea D un dominio de ideales principales. Sea A = (aij ) ∈ Mm×n(D) una ma- triz con a 11 6 = 0. Entonces, existe una sucesi´on de operaciones elementales o secundarias
que transforma la matriz A en una matriz B = (bij ) de manera que se verifica al menos una de estas condiciones: (i) Da 11 $ Db 11 ; (ii) B tiene la forma B =
( d 0 · · · 0 0 B 11
)
de manera que d divide a todos los elementos de la submatriz B 11 ∈ Mm− 1 ,n− 1 (D).
Dem.: Si en la primera fila de A hay un elemento que no es divisible por a 11 , podemos situarlo en la segunda columna mediante un intercambio de columnas. Aplicando entonces la operaci´on secundaria indicada arriba, llegamos a una matriz con la condici´on (i). Si lo que debemos usar es un elemento de la primera columna, se consigue lo mismo con la correspondiente transformaci´on secundaria por filas. Si todos los elementos de la primera fila y de la primera columna son divisibles por a 11 , podemos aplicar operaciones elementales, para transformar A en una matriz de la forma B =
( a 11 0 · · · 0 0 B 11
)
Si todos los elementos de B 11 son divisibles por a 11 , entonces hemos obtenido una matriz de tipo (ii). Si no, sea b = bij un elemento de B 11 que no es divisible por a 11. Si sumamos la fila i a la fila 1, obtendremos el elemento b en el lugar 1, j. Intercambiando las columnas 2, j, obtendremos ese elemento b en el lugar 1, 2. Aplicamos entonces la transformaci´on secundaria indicada anteriormente, y llegamos a una matriz del tipo (i).
Tambi´en el Lema 2.5 tiene una versi´on en este contexto.
Lema 2.8. Sea D un dominio de ideales principales, y sea A ∈ Mm×n(D). Si A no es nula, existe una sucesi´on de operaciones elementales o secundarias que convierte la matriz A en una matriz de la forma
B =
( d 0 · · · 0 0 B 11
)
de manera que d 6 = 0 divide a todos los elementos de la submatriz B 11.
Dem.: Mediante operaciones elementales, podemos llegar a tener a 11 6 = 0. Queremos ver que una sucesi´on de operaciones elementales o secundarias lleva la matriz A a una de tipo (ii). Aplicando el Lema 2.7, todo lo que hay que probar es que no puede existir una secuencia infinita de transformaciones a partir de A que conduzcan siempre a matrices de tipo (i). Supongamos que ese fuera el caso. Si los t´erminos de lugar (1, 1) de las sucesivas matrices son a 11 , b 11 , c 11 ,... , tendremos que
Da 11 $ Db 11 $ Dc 11 $... Pero esto dar´ıa una cadena estrictamente ascendente infinita de ideales del dominio D. Como D es un dominio de ideales principales, es noetheriano y esto no puede ocurrir. Luego en alg´un paso del proceso obtendremos una matriz de tipo (ii), como se trataba de ver.
Estamos ya en condiciones de demostrar el mismo resultado del Teorema 2.6, para dominios de ideales principales.
Proposici´on 3.2. Sea A una matriz m × n sobre el dominio D de ideales principales, y sea M = M (A) el D-m´odulo finitamente generado definido por A. Sea
A′^ =
diag(c 1 ,... , cs, d 1 ,... , dt) 0 0 0
(con c 1 ,... , cs unidades de D, d 1 |d 2 |... |dt no unidades y no nulos) una matriz equivalente a A. Entonces M es suma directa de subm´odulos c´ıclicos
M = N 1 ⊕ · · · ⊕ Nt ⊕ L 1 ⊕ · · · ⊕ Ln−(t+s)
de forma que (para cada ´ındice i) Li ∼= D y Ni ∼= (^) (Ddi).
Dem.: Por la Proposici´on 1.4, M ∼= M ′^ = M (A′). Por la Definici´on 1.3, M ′^ = D n K donde^ K^ es el subm´odulo de^ D
n (^) generado por los elementos
c 1 e 1 ,... , cses, d 1 es+1,... , dtes+t, si e 1 ,... , en forman la base can´onica de Dn. Por tanto,
M ′^ =
De 1 ⊕ · · · ⊕ Den De 1 ⊕ · · · ⊕ Des ⊕ Dd 1 es+1 ⊕ · · · ⊕ Ddtes+t
puesto que Dn^ = ⊕ni=1Dei y Dciei = Dei cuando ci es una unidad. Aplicando el Lema 3.1,
M ∼= M ′^ ∼=
Des+ Dd 1 es+
Des+t Ddtes+t
⊕ Des+t+1 ⊕ · · · ⊕ Den
Claramente, (^) DdDej jej^ ∼= (^) (Ddj ) y Deh ∼= D. Luego M ∼= (^) (Dd 1 ) ⊕ · · · ⊕ (^) (Ddt) ⊕
Dn−(t+s). Los subm´odulos Ni, Li del enunciado son las im´agenes en el iso- morfismo de los correspondientes (^) (Ddi) o D.
Proposici´on 3.3. Sea D un dominio cualquiera, M un D-m´odulo. Un ele- mento x ∈ M se dice que es un elemento de torsi´on si existe d ∈ D no nulo y tal que dx = 0. El conjunto de los elementos de torsi´on de un D-m´odulo M es un subm´odu- lo de M , llamado el subm´odulo de torsi´on de M y denotado t(M ). Se dice que M es de torsi´on cuando t(M ) = M.
Dem.: Si x, y son elementos de torsi´on, ser´a d 1 x = d 2 y = 0 para ciertos elementos no nulos d 1 , d 2 ∈ D. Entonces d = d 1 d 2 6 = 0 y dx = dy = 0, por lo que d(x + y) = 0, as´ı que x + y es un elemento de torsi´on. Si x ∈ M es un elemento de torsi´on con dx = 0 y d 6 = 0, y a ∈ D, entonces d(ax) = a(dx) = 0, luego ax es de torsi´on. Esto prueba que los elementos de torsi´on forman un subm´odulo.
Proposici´on 3.4. Sea D un DIP, M un D-m´odulo finitamente generado. Se tiene que M = t(M ) ⊕ L, con L libre de rango finito. Adem´as, el rango de L es un invariante de la clase de isomorfismo de M.
Dem.: Dado M , existir´a por la Proposici´on 3.2 un m´odulo M ′^ con un iso- morfismo M ∼= M ′^ y tal que M ′^ = (^) (dD 1 ) ⊕ · · · ⊕ (^) (dDt) ⊕ Dr. Si d = d 1 d 2 · · · dt,
entonces d 6 = 0 y d anula a todos los elementos de (^) (Ddi) (con i = 1,... t),
luego (^) (Dd 1 ) ⊕ · · · ⊕ (^) (dDt) ⊆ t(M ′). Por otro lado, un elemento de M ′^ que tenga alguna coordenada no nula en el sumando Dr^ no puede ser un ele- mento de torsi´on (pues Dr^ no tiene elementos de torsi´on no nulos), luego t(M ′) ⊆ (^) (dD 1 ) ⊕ · · · ⊕ (^) (Ddt) y M ′^ = t(M ′) ⊕ Dr. Puesto que un isomorfismo conserva los elementos de torsi´on y las descomposiciones en suma directa, la hip´otesis M ∼= M ′^ implica M = t(M ) ⊕ L con L ∼= Dr. Adem´as, si N ∼= M , y N = t(N ) ⊕ L′, el isomorfismo se restringe por la misma raz´on anterior a un isomorfismo t(M ) ∼= t(N ) lo que implica (^) t(MM ) ∼= N t(N ). De las observaciones sobre sucesiones exactas cortas que preceden a la Proposici´on 4.4.4 se sigue que L ∼= (^) t(MM ) y L′^ ∼= (^) t(NN ) , luego Dr^ ∼= L ∼= L′. Por tanto el rango de L coincide con el de L′, por el Corolario 4.3.7.
Corolario 3.5. Sea M un D-m´odulo finitamente generado y de torsi´on. Entonces existen elementos d 1 ,... , dt ∈ D no unidades y no nulos tales que d 1 |d 2 |... |dt y M ∼= (^) (dD 1 ) ⊕ · · · ⊕ (^) (Ddt).
Una tal descomposici´on de M como suma directa de m´odulos ciclicos se llama descomposici´on racional de M. Los elementos d 1 ,... , dt (determinados por la descomposici´on salvo asociados) se llaman los factores invariantes de la descomposici´on.
3.2. La descomposici´on indescomponible
Definici´on 3.6. Sea R un anillo, M un R-m´odulo no nulo. Decimos que M es indescomponible si M 6 = (0) y siempre que M = A ⊕ B para dos subm´odulos A, B, se tiene que A = (0) o B = (0).
Observemos que si D es un dominio, el D-m´odulo regular D es indes- componible. De hecho, si Dx, Dy son subm´odulos no nulos de D, entonces Dx∩Dy 6 = (0), ya que xy ∈ Dx∩Dy. Pero si D = L⊕N , entonces L∩N = 0 por la Proposici´on 4.2.12. As´ı que ha de ser L = 0 o N = 0. Vamos a estu- diar cu´ales son los m´odulos de torsi´on que tienen esta misma propiedad, la de ser indescomponibles.
Lema 3.7. Sea D un dominio de ideales principales y sea M ∼= (^) (Dd) un D- m´odulo c´ıclico no nulo y de torsi´on. Sea d = upe 11 · · · pe kk con u unidad, los pi elementos irreducibles de D dos a dos no asociados, y con los ei ≥ 1. Entonces M ∼= (^) (pDe 1 1 )^
⊕ · · · ⊕ (^) (pDek k )^
Dem.: Observemos que los ideales (pe i i) son dos a dos coprimos, por serlo los elementos pe i i. Adem´as, (d) es el producto de los ideales (pe i i). El isomorfismo
subm´odulo, el subm´odulo de p-torsi´on de M. Se dice que M es de p-torsi´on cuando M = tp(M ).
Dem.: An´aloga a la de la Proposici´on 3.3.
El subm´odulo tp(M ) se llama tambi´en la componente p-primaria de M.
Proposici´on 4.2. Sea D un DIP, M un D-m´odulo finitamente generado y de torsi´on. Existen irreducibles p 1 ,... , pr ∈ D dos a dos no asociados de forma que M = ⊕ri=1tpi (M ).
Demostraci´on. Por los Corolarios 3.8 y 3.9, existen irreducibles no asociados p 1 ,... , pr de modo que M = N 1 ⊕ · · · ⊕ Nr y cada Ni ∼= ⊕n j=1i D/(pe i ij) es de pi-torsi´on. Por otro lado, es directo comprobar que tpi (M ) = ⊕rj=1tpi (Nj ); y que, puesto que los isomorfismos conservan los subm´odulos de p-torsi´on, tpi (Ni) = Ni mientras que tpi (Nj ) = 0 si j 6 = i. Por tanto, tpi (M ) = Ni y el resultado se sigue.
Vemos ahora la unicidad de las descomposiciones indescomponibles en un caso par- ticular.
Proposici´on 4.3. Sea p ∈ D irreducible, M ∼= M ′^ D-m´odulos finitamente generados y de p-torsi´on. Cualquier descomposici´on indescomponible de M tiene los mismos divisores elementales (salvo asociados) que cualquier descomposici´on indescomponible de M ′.
Dem.: Sea M = N 1 ⊕ · · · ⊕ Ns con cada Ni ∼= D/(pei^ ), de forma que 1 ≤ e 1 ≤ · · · ≤ es. Los divisores elementales son pe^1 ,... , pes^. Del mismo modo, sea M ′^ = ⊕ri=1N (^) i′ y cada N (^) i′ ∼= (^) (pDe′ i (^) ) con 1 ≤ e′ 1 ≤ · · · ≤ e′ r. Por el ejercicio 4.16, si K = D/(p), entonces s es la dimensi´on del K-espacio vectorial annM (p), y r es la dimensi´on de annM ′ (p). Es claro que si g : M → M ′^ es un isomorfismo, entonces g[annM (p)] = annM ′ (p), luego ambos subm´odulos son isomorfos como K-espacios vectoriales y s = r. As´ı, el n´umero de sumandos es el mismo en las dos descomposiciones. Adem´as, por la expresi´on de M como suma directa de indescomponibles, y dado que los isomorfismos conservan los anuladores, se sigue que pes^ anula a todo elemento de M , as´ı que (pes^ ) ⊆ ann(M ). Adem´as, si d ∈ ann(M ), entonces d anula a D/(pes^ ), luego pes^ |d; como consecuencia ann(M ) ⊆ (pes^ ). Por lo tanto, (pes^ ) = ann(M ) = ann(M ′) = (pe ′ s ) lo que implica que es = e′ s. N´otese que estas dos propiedades son v´alidas para cualquier isomorfismo L ∼= L′^ de m´odulos de p-torsi´on finitamente generados. Ahora, demostramos el enunciado haciendo inducci´on sobre es. Si es = 1, entonces los divisores elementales de M son p, p,... , p (s divisores). Pero entonces e′ s = 1 por la observaci´on anterior, y los divisores elementales de la descomposi- ci´on dada de M ′^ son, de nuevo, p, p,... , p (s divisores). Esto demuestra la propiedad en el caso es = 1. Sea ahora es = e′ s > 1 y apliquemos la hip´otesis de inducci´on. Se tiene annM (p) = annN 1 (p) ⊕ · · · ⊕ annNs (p) ∼= ⊕si=1(pei−^1 )/(pei^ )
de modo que M = (^) annM M (p) = (^) ann N^1 ⊕ · · · ⊕^ Ns N 1 (p)^ ⊕ · · · ⊕^ annNs (p)
y por el Lema 3.1,
M ∼= ⊕si=1 ann^ Ni Ni (p) = ⊕si=1^ D/(p
ei (^) ) (pei−^1 )/(pei^ )
∼= ⊕si=1^ D (pei−^1 )
∼= ⊕si=1,ei> 1 D (pei−^1 ) Para M ′^ obtenemos una descomposici´on an´aloga. Como el isomorfismo M ∼= M ′^ se restringe a un isomorfismo annM (p) ∼= annM ′^ (p), los cocientes son isomorfos, por el mismo argumento dado para el diagrama de la Proposici´on 1.4:
M = (^) annM M (p)^
∼= M^ ′ annM ′^ (p) =^ M^
′
y al isomorfismo M ∼= M ′^ podemos aplicar la hip´otesis de inducci´on para deducir que ei > 1 si y solo si e′ i > 1 y que ei − 1 = e′ i − 1 en todo caso. Luego ei = e′ i, como se trataba de ver.
Proposici´on 4.4. Sea D un DIP, M ∼= M ′^ D-m´odulos finitamente gene- rados y de torsi´on. Cualquier descomposici´on indescomponible de M tiene los mismos divisores elementales (salvo asociados) que cualquier descompo- sici´on indescomponible de M ′.
Dem.: Por la Proposici´on 4.2, existen elementos irreducibles p 1 ,... , ps ∈ D, dos a dos coprimos, de forma que M = N 1 ⊕ · · · ⊕ Ns con cada Ni = ⊕t ji=1D/(pe i ij); y M ′^ =
N 1 ′ ⊕ · · · ⊕ N (^) s′ con cada N (^) i′ = ⊕h j=1i D/(pe
′ ij i ) (podemos suponer los mismos irreducibles en las dos descomposiciones admitiendo sumandos Ni, N (^) j′ posiblemente nulos; o admitiendo exponentes eij , e′ ij iguales a 0). En esta descomposici´on, los elementos pe iij que no son iguales a 1 (o los pe
′ ij i ) forman las colecciones de divisores elementales. Se deduce de la demostraci´on de la Proposici´on 4.2 que Ni = tpi (M ) y N (^) i′ = tpi (M ′). Puesto que el isomorfismo M ∼= M ′^ conserva los elementos de p-torsi´on en todo caso, se restringe a isomorfismos Ni ∼= N (^) i′. Por la Proposici´on 4.3, los divisores elementales de Ni coinciden con los de N (^) i′. En consecuencia, los divisores elementales de las dos descomposiciones coinciden.
4.2. Unicidad de los factores invariantes
Proposici´on 4.5. Sea D un DIP, M ∼= M ′^ D-m´odulos finitamente genera- dos y de torsi´on. Cualquier descomposici´on racional de M tiene los mismos factores invariantes (salvo asociados) que cualquier descomposici´on racional de M ′.
Dem.: Sean d 1 ,... , ds (respectivamente, d′ 1 ,... , d′ r ) los factores invariantes de la descom- posici´on racional de M (respectivamente, de M ′). Notemos en primer lugar que ann(M ) = (ds) por la misma raz´on dada para probar ann(M ) = (pes^ ) en la demostraci´on de la Proposici´on 4.3. Igualmente ann(M ) = (d′ r ), lo que implica que ds, d′ r son asociados. Recordemos que los divisores elementales de M son todas las potencias de irreducibles que aparecen en las factorizaciones de los di. Ahora, supongamos que (sustituyendo los factores por asociados suyos si es necesario), ds−i = d′ r−i para i = 0,... , j − 1; pero que hay un menor j ≥ 1 tal que ds−j , d′ r−j no son asociados. Entonces, existir´a alg´un factor irreducible p de modo que, por ejemplo, ph, pk^ son las potencias de p que aparecen en las factorizaciones de ds−j , d′ r−j respectivamente, pero 0 ≤ h < k. En consecuencia, en la descomposici´on de M ′^ aparecen al menos j + 1 divisores elementales de la forma pt^ con t ≥ k > h. En cambio, en la descomposici´on dada de M solamente aparecen j divisores elementales de la forma pt^ con t ≥ k. Pero esto contradice la Proposici´on 4.4.
El entero n se llama el rango del grupo abeliano A; y los d 1 ,... , ds forman la familia de factores invariantes. Como consecuencia del Corolario 4.6, dos grupos abelianos finitamente generados son isomorfos si y s´olo si tienen el mismo rango y los mismos factores invariantes. Adem´as, un corolario del resultado anterior es la siguiente caracterizaci´on.
Corolario 5.3. Un grupo abeliano es finito si y s´olo si es finitamente gene- rado y de torsi´on.
Dem.: Si A es finito ha de ser finitamente generado, ya que el conjunto de sus elementos es siempre un conjunto generador. Como A es finito, su rango tiene que ser 0, as´ı que A = t(A) de acuerdo con la Proposici´on 3.4, y A es de torsi´on. Rec´ıprocamente, si A es finitamente generado y de torsi´on, ser´a A = Zd 1 ⊕ · · · ⊕ Zds , por el Teorema 5.2. As´ı, A es suma directa de un n´umero finito de grupos finitos; luego es finito.
Por ´ultimo, existe tambi´en la descomposici´on indescomponible de un grupo abeliano finitamente generado. El resultado que sigue es una conse- cuencia directa de las Proposiciones 3.4 y 4.
Teorema 5.4. Sea A un grupo abeliano finitamente generado. A es isomorfo a una suma de grupos c´ıclicos de la forma
A = Zn^ ⊕ (⊕ti=1(Zni ))
donde cada Zni es indescomponible y finito. Tanto n (el rango de A) como los enteros ni (que son potencias de primos) est´an determinados un´ıvocamente por A. Dichos enteros ni son los divisores elementales de A. Dos grupos abelianos finitamente generados son isomorfos si y s´olo si tienen el mismo rango y los mismos divisores elementales.
5.2. Presentaciones de grupos abelianos
Definici´on 5.5. Sea G un grupo abeliano. Un par formado por un sub- conjunto de G, {u 1 ,... , us}; y combinaciones lineales de esos elementos {r 1 ,... , rk} con ri =
∑s j=1 aij^ uj^ (los^ aij^ ∈^ Z) se llama una^ presentaci´on^ del grupo abeliano G (por generadores y relatores) cuando G ∼= M (A), siendo A la matriz de enteros (aij ). La presentaci´on indicada del grupo abeliano G se escribe como
〈u 1 ,... , us|
∑^ s
j=
a 1 j uj ,... ,
∑^ s
j=
akj uj 〉
Por la Definici´on 1.3, G tiene una presentaci´on como la indicada si G ∼= Zs K y^ K^ es el subgrupo de^ Z
s (^) generado por los elementos v 1 ,... , vk, donde
vi =
∑s j=1 aij^ ej^ , siendo^ e^1 ,... , es^ la base can´onica de^ Z s. Teniendo en cuenta
el isomorfismo anterior, si identificamos cada ui ∈ G con ei mediante la proyecci´on can´onica, entonces u 1 ,... , us forman un sistema de generadores de G y todos los ri son el elemento nulo de G. Tenemos un m´etodo para calcular el rango y los factores invariantes de un grupo abeliano dado por generadores y relatores. En efecto, dada la presentaci´on
〈u 1 ,... , us|r 1 ,... , rk〉, rj =
∑^ s
j=
aij uj
escribimos la matriz k × s de enteros (aij ). Entonces, mediante operaciones elementales podemos transformarla en una matriz equivalente
C =
diag(d 1 ,... , dr, dr+1,... , dt) 0 0 0
con d 1 ,... , dr unidades de Z, dr+1|... |dt no unidades. De acuerdo con la Proposici´on 3.2, el grupo abeliano G tendr´a rango igual a s − t y factores invariantes dr+1,... , dt. As´ı, el grupo G es isomorfo a Zs−t^ ⊕ Zdr+1 ⊕ · · · ⊕ Zdt
6. Ejercicios
- Sea A la matriz de enteros
A =
Encontrar matrices invertibles P, Q sobre Z, de modo que la matriz P AQ sea la forma normal de A.
- Reducir a la forma normal la siguiente matriz sobre Q[x]:
x − 2 4 − 1 − 3 − 2 x + 3 0 − 2 0 1 x − 1 − 2 − 1 1 1 x
- Justificar que si K es un cuerpo, entonces K es un dominio con divisi´on eucl´ıdea. Deducir de los resultados del cap´ıtulo que cada matriz n × m
- Determinar el rango y los invariantes del grupo abeliano dado por la presentaci´on 〈a, b, c| 3 a + c = 0〉
- Misma pregunta para la presentaci´on
〈a, b, c| 2 a + 4b + 4c = 3a + 4b − 2 c = 0〉
- Sean r, s, t, u enteros, y sea d = ru − st. Describir la estructura del grupo abeliano 〈a, b|ra + tb = sa + ub = 0〉 cuando: (i) d = 1; (ii) d = 2; (iii) d es un primo; (iv) d = 0.
Ejercicios propuestos en ex´amenes
- Sea D un DIP, y sea p ∈ D irreducible. Dado un D-m´odulo M , definir cu´ando un elemento de M es de p-torsi´on y probar que los elementos de p-torsi´on de M forman un subm´odulo, tp(M ). Sea d ∈ D de forma que d = prqs, con p, q irreducibles no asociados, y sea M = (^) (Dd). Usando el hecho de que en un DIP se cumple la igualdad de B´ezout para elementos coprimos, probar que M = tp(M ) + tq(M ).
- (a) Hallar el n´umero de clases de isomorfismo de grupos abelianos de orden 675 e identificar cada una mediante la descomposici´on indes- componible. (b) Se consideran las siguientes presentaciones de grupos abelianos (identificadas por la correspondiente matriz):
Una de dichas presentaciones es la de uno de los grupos abelianos del apartado (a) anterior. Explicar razonadamente cu´al es esa pre- sentaci´on, a qu´e grupo del apartado (a) corresponde y por qu´e las otras no cumplen esa condici´on.
