Algebra de Boole, Apuntes de Informática

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TEMA 4:

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011Dpto. de Ing. Eléctrica, Electrónica y Automática.Universidad de Castilla – La Mancha

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

ÁLGEBRA DE BOOLE

El álgebra de Boole, cuyo nombre se debe al matemático inglés George Boole, fue introducida por éste ("AnInvestigation of the Laws of Thought", Londres, 1854) con el fin de proporcionar un método simbólico paraanalizar la lógica humana. Casi un siglo después (1938) Claude E. Shannon propuso ("A Symbolic Analysis ofRelay and Switching Circuits") el álgebra de Boole bivalente o de conmutación, como aparato matemático parael estudio de los circuitos eléctricos de conmutación (circuitos eléctricos con dos estados posibles). Hace pues,más de setenta años que se sentaron las bases matemáticas para el análisis lógico de los circuitos básicosconstructivos de las modernas máquinas digitales.En este capítulo nos proponemos el estudio del álgebra de Boole, particularizando al álgebra de Boolebivalente, como una herramienta matemática que después utilizaremos en el análisis y síntesis de circuitosdigitales.

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE De los axiomas anteriores se derivan una serie de propiedades para el álgebra de Boole que son útiles en eltratamiento de las expresiones algebraicas booleanas. 9

Principio de dualidad

: Sea G una igualdad entre dos expresiones booleanas y G

D

otra igualdad obtenida a

partir de G intercambiando los operadores (+ y

) y los elementos de identidad (0 y 1). Si G es una identidad

(igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables que contiene su expresión), la igualdad G

D

(llamada dual de G) también lo es.

Para todo X perteneciente a B se verifica que

X + 1 = 1

y

X

Ley de idempotencia

: Para todo X perteneciente a B se verifica que:

X + X = X

y

X

X = X

Ley de involución

: Para todo X perteneciente a B se verifica que:

(X')'=X

Ley de absorción

: Para todo X e Y pertenecientes a B se verifica que:

X + X

Y = X

y

X

(X + Y) = X

Propiedad asociativa

: Para todo X, Y, Z pertenecientes a B se verifica que:

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

y

X

(Y

Z) = (X

Y)

Z

Leyes de De Morgan

: Para todo X

1

, X

2

, …, X

n

pertenecientes a B se verifica que:

(X

1

+ X

2

+ … + X

n

)' = X

1

X

2

X

n

'^

y

(X

1

X

2

X

n

)' = X

1

' + X

2

' + … + X

n

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

ÁLGEBRA DE BOOLE BIVALENTE O DE CONMUTACIÓN Se pueden definir muchas álgebras de Boole dependiendo de cual sea el conjunto B y de cómo se definan losoperadores + y

Definiremos aquí la llamada álgebra de Boole bivalente (el conjunto B lo forman únicamente dos elementos).Nuestro interés en el álgebra de Boole bivalente se debe a que es la estructura algebraica que nos permiteobtener un modelo matemático para los circuitos digitales binarios (también llamados de conmutación).El álgebra de Boole bivalente la definiremos sobre el conjunto B={0,1} y las operaciones + y

definidas en la

tabla siguiente: La estructura algebraica (B,+,

), así definida, cumple los axiomas del álgebra de Boole y, por tanto, constituye

un álgebra de Boole.

X

Y

X+Y

Y

X

X'

X

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES BOOLEANAS Una función booleana F(X

1

,X

2

,...,X

N

) se puede expresar algebraicamente o con su tabla de verdad.

En la expresión algebraica de una función booleana intervienen las variables de la función (X

1

,X

2

,...,X

N

relacionadas entre sí mediante los operadores +,

y el operador complemento '.

La tabla de verdad muestra el valor que toma la función (0 o 1) para cada una de las combinaciones binariasde las variables de las que depende.

Ejemplo: F(x,y,z)=xy+y'z+x'yz'.

F

z

y

Tabla de verdadx

En una función de n variables,cada una de ellas puedetomar independientemente elvalor 0 o 1, de modo queresultan 2

n

combinaciones

binarias o tuplas.

Para una determinada combinación binaria, podemos averiguar el valor que toma la función sustituyendo lasvariables por sus valores en la expresión algebraica y operando, o mirando directamente en la tabla de verdad.Es obvio cómo obtener la tabla de verdad de una función que nos viene expresada de forma algebraica. Másadelante estudiaremos la obtención de la expresión algebraica a partir de la tabla de verdad.Dos funciones lógicas F(X

1

, X

2

, X

3

, ... , X

n

) y G(X

1

, X

2

, X

3

, ... , X

n

) son equivalentes si ambas tienen la misma

tabla de verdad.

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

Se llama

término canónico

de una función lógica a todo

producto o suma de literales en el que aparecen todas lasvariables de la función en su forma directa (x) ocomplementada (x').Por ejemplo en una función de 3 variables F(x,y,z), elproducto xyz' y la suma x'+y+z son términos canónicos.

Los términos canónicos producto reciben el nombre de minitérminos

o

productos canónicos

Su nombre se deriva del hecho de que únicamente toman elvalor lógico 1 para una combinación de las variables deentrada. El minitérmino xyz' sólo toma el valor uno para lacombinación 110.

Los términos canónicos suma reciben el nombre de maxitérminos

o

sumas canónicas

Estos términos toman el valor lógico 1 para todas lascombinaciones binarias excepto para la que hace que todoslos sumandos valgan cero, de ahí el prefijo maxi. Elmaxitérmino x'+y+z toma el valor uno para todas lascombinaciones excepto para la 100.

En una función de N variables cada término canónico (sumao producto) tendrá N variables. Como cada variable puedeaparecer en forma directa o complementada, el número deproductos canónicos posible será 2

N

lo mismo que el

número de sumas canónicas.

M

0

M

1

M

2

M

3

M

4

M

5

M

6

M

7

m

0

m

1

m

2

m

3

m

4

m

5

m

6

m

7

x'+y'+z'x'+y'+zx'+y+z'x'+y+zx+y'+z'x+y'+zx+y+z'x+y+z

x'y'z'x'y'zx'yz'x'yzxy'z'xy'zxyz'xyz

Maxitérminos

Minitérminos

z

y

x

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

EXPRESIONES CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA TABLA DE VERDAD

F

w

z

y

x

−

1

2

0 i

i

n

2

1

n

i ( F

m

x

x ,

x ( F

a)

expresión canónica en suma de términos producto o minitérminos.Apliquemos la expresión derivada del teorema de expansión de ShannonF(x,y,z,w) = m

0

F(0) + m

1

F(1) + m

2

F(2) + m

3

F(3) + m

4

F(4) + m

5

F(5) + m

6

F(6) +

• m

7

F(7) + m

8

F(8) + m

9

F(9) + m

10

F(10) + m

11

F(11) + m

12

F(12) +

• m

13

F(13) + m

14

F(14) + m

15

F(15) =

= m

0

0 + m

1

1 + m

2

1 + m

3

0 + m

4

0 + m

5

0 + m

6

1 + m

7

1 + m

8

• m

9

0 + m

10

1 + m

11

1 + m

12

0 + m

13

1 + m

14

0 + m

15

= m

1

• m

2

• m

6

• m

7

• m

10

• m

11

• m

13

• m

15

de modo queF(x,y,z,w) = x’y’z’w + x’y’zw’ + x’yzw’ + x’yzw + xy’zw’ + xy’zw + xyz’w + xyzwEn la práctica, para obtener la expresión canónica en suma de productos, sesuman los minitérminos que se derivan de las combinaciones binarias que hacenuno a la función.Se le suele llamar expresión canónica por unos o tomando unos y de formaabreviada se puede expresar:

4

w , z , y , x ( F

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

EXPRESIONES CANÓNICAS DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA TABLA DE VERDAD

F

w

z

y

x

b)

expresión canónica en producto de terminos suma o maxitérminos.Apliquemos la expresión derivada del teorema de expansión de ShannonF(x,y,z,w) = (M

15

+F(0) (M

14

+F(1))(M

13

+F(2))(M

12

F(3))(M

11

+F(4))(M

10

+F(5))

(M

9

+F(6))(M

8

+F(7))(M

7

+F(8))(M

6

+F(9))(M

5

+F(10))(M

4

+F(11))

(M

3

+F(12))(M

2

+F(13))(M

1

+F(14))(M

0

+F(15)) =

= (M

15

+0)(M

14

+1)(M

13

+1)(M

12

+0)(M

11

+0)(M

10

+0)(M

9

+1)(M

8

+1)(M

7

(M

6

+0)(M

5

+1)(M

4

+1)(M

3

+0)(M

2

+1)(M

1

+0)(M

0

= M

15

· M

12

· M

11

· M

10

· M

7

· M

6

· M

3

· M

1

de modo queF(x,y,z,w) = (x+y+z+w)(x+y+z’+w’)(x+y’+z+w)(x+y’+z+w’)(x’+y+z+w)(x’+y+z+w’)

(x’+y’+z+w)(x’+y’+z’+w)

En la práctica, para obtener la expresión canónica en producto de sumas, setoman las combinaciones binarias que hacen 0 a la función y de cada una deellas se obtiene un término suma en el que si la variable vale 0 se pone en formadirecta y si vale 1 en forma negadaSe le suele llamar expresión canónica por ceros o tomando ceros y de formaabreviada se puede expresar:

4

w , z , y , x ( F

−

− −

1

2

0 i^

i 1 2 n 2 1

n

n

i ( F

M

x

x ,

x ( F

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

EXPRESIONES NORMALIZADAS 9

Las expresiones algebraicas en suma de productos o productos de sumas en las que no todos los términosson canónicos reciben el nombre de normalizadas.

F(x,y,z) = xy + x´yz´

G(x,y,z)=(y’+z)(x+y+z)(x+y’+z)

En una expresión algebraica normalizada, no pueden coexistir términos suma y términos producto.

H(x,y,z) = (xy + z)(x´y´+ z)

En la

normalización

deberemos aplicar la propiedad distributiva para desarrollar los paréntesis y las

demás propiedades para simplificar los términos resultantes.H(x,y,z) = (xy + z)(x´y´+ z) = xyx´y´+ x´y´z + xyz + zz = 0 + x´y´z + xyz + z = xyz + x´y´z + z

A partir de la forma normalizada, el procedimiento para pasar a la forma canónica consiste en multiplicarcada producto no canónico por la variable que le falta más ella misma negada (x + x´ = 1), o sumar a cadasuma no canónica la variable que le falta por ella misma negada (x • x´ = 0). Si falta más de una variable elproceso se repite varias veces.F(x,y,z) = x + xy + x´y z´ = x(y+y’)(z+z’) + xy(z+z´) + x´y z´ = (xy + xy’)(z +z’) + xyz + xyz´+x´yz´ =

= xyz + xy’z + xyz’ + xy’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’ == xyz + xy’z + xyz’ + xy’z’ +x’yz’

Observese que:

si falta una variable

xy

xy

z’ +

xy

z

si faltan dos variables

x

x

yz +

x

y’z +

x

yz’ +

x

y’z’

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

CONJUNTO DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Una función booleana puede tomar el valor 0 o 1 para cada combinación binaria de sus variables, de modo quepara n variables existen

funciones distintas. Para el caso de 2 variables serían 16.

n 2

N A N D

N O T

N O T

X N O R

N O R

O R

X O R

A N D

f

15

f

14

f

13

f

12

f

11

f

10

f

9

f

8

f

7

f

6

f

5

f

4

f

3

f

2

f

1

f

0

xy

XY

Y

X

Y

NAND

X

=

=

X

X

NOT

=

XY

Y

AND

X

=

Y X Y X Y X Y

XOR

X

⊕

=

=

Y

X

Y

OR

X

=

Y

X

Y

X

Y

NOR

X

=

=

Y

X

Y

X

XY

Y

X

Y

XNOR

X

=

⊕

=

=

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

PUERTAS LÓGICAS DE MÁS DE DOS ENTRADAS Todas las puertas, a excepción del inversor (NOT), pueden tener más de dos entradas

n

3

2

1

x

x

x

x

F

K

=

n

3

2

1

x

x

x

x

F

K

=

n

3

2

1

x

x

x

x

F

⊕

⊕

⊕

⊕

=

K

n

3

2

1

x

x

x

x

F

=

K

n

3

2

1

x

x

x

x

F

=

K

n

3

2

1

x

x

x

x

F

⊕

⊕

⊕

⊕

=

K

ANDNANDORNORXORXNOR

Todos estos operadores son conmutativos, pero sólo AND,OR y XOR son asociativos.Las puertas lógicas que implementan operadoresasociativos permiten la ampliación del número de entradaspor simple asociación. En las demás son precisasnegaciones intermedias.

x y z

z y x

x y z

z

y

x

x y z

z

y

x

⊕

⊕

x y z

y

x

⊕

y

x

y

x

⊕

=

⊕

z

y

x

⊕

⊕

“0”

x y z

y x

y x

y x

=

z y x x x x

=

x y z

y

x

y

x

y

x

=

z

y

x

x

x

x

=

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

CONJUNTOS FUNCIONALMENTE COMPLETOS Un conjunto de operadores se dice que es funcionalmente completo si, y solo si, cualquier función lógica puedeser expresada por medio de operadores de este conjunto.El conjunto {+,

,'} es claramente funcionalmente completo (teorema de expansión Shannon).

Por otra parte, por medio de las leyes de De Morgan podemos demostrar que el conjunto {+,'} también esfuncionalmente completo:Con los operadores + y ' podemos sustituir al operador

en cualquier función lógica.

Lo mismo ocurre con el conjunto {

De esto se desprende directamente que los operadores NAND y NOR son funcionalmente completos.Cualquier función lógica se puede expresar por medio de variables y constantes relacionadas con uno de estosoperadores.Por ejemplo:

y

x

y · x

y · x

y · x y x y x

z y x · z y x · z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x

z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x

• • • • • • • • = + + + + + + + + = + + = + +

Juan Enrique García Sánchez, Febrero de 2011

IMPLEMENTACION DE UNA FUNCIÓN CON PUERTAS LÓGICAS

z y x z y x z y x z y x F

NOT y

OR

AND,

puertas

Con

=

→

z y x · z y x · z y x · z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x F

NAND

puertas

Con

= + + + = + + + = →

) z

y

x (

) z

y

x (

) z

y

x (

) z

y

x (

) z

y

x )( z

y

x

)( z

y

x )( z

y

x (

) z

y

x )( z

y

x )( z

y

x )( z

y

x ( z y x z y x z y x z y x F

NOR

puertas

Con

• • • • • • • • • • + = + + + + + + + + =

= + + + + + + + + = + + + = →

Existen razones que aconsejan en la práctica la implementación de los circuitos digitales utilizando únicamente puertasNAND o puertas NOR. 9

Las puertas NAND y NOR son tecnológicamente las más simples.

9

Un circuito construido únicamente con puertas NAND o con puertas NOR es preferible por simplicidad yuniformidad.

9

La integración de circuitos es tecnológicamente más simple si todo el circuito se obtiene replicando una mismacélula básica.

F

F

F