¡Descarga Introducción al producto exterior de formas multilineales alternadas en Rn - Prof. Molto y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
`
Algebra exterior
1 Funcions k–lineals alternades
Definici´o 1. Siga E un espai vectorial real. Direm que la funci´o M : E
k → R ´es
multilineal de grau k (o k–lineal) si per a cada i, 1 ≤ i ≤ k i cada elecci´o de h 1 ,
... ,hi− 1 ,hi+1,... ,hk ∈ E la funci´o ϕ(·) := M (h 1 ,... , hi− 1 , ·, hi+1,... , hk) ´es lineal.
Definici´o 2. Siga E un espai vectorial real. Donades les funcions multilineals R : E
k →
R i S : E
→ R de graus k i respectivament, anomenarem producte tensorial de R per
S i ho representarem per R ⊗ S , a la funci´o multilineal de grau k+`, R⊗S : E
k+` → R
definida per
R ⊗ S (u 1 , u 2 ,... , uk, uk+1,... , uk+) = R (u 1 , u 2 ,... , uk) S (uk+1,... , uk+).
Definici´o 3. Siga R una funci´o multilineal de grau k direm que ´es alternada quan per
a cada parell i, j, 1 ≤ i < j ≤ k, i cada u = (u 1 ,... , ui,... , uj ,... , uk) tinguem
R (u 1 ,... , ui− 1 , ui, ui+1,... , uj− 1 , uj , uj+1,... , uk) =
= −R (u 1 ,... , ui− 1 , uj , ui+1,... , uj− 1 , ui, uj+1,... , uk).
Notaci´on 4. Siga E un espai vectorial real. Representarem per Λ
k (E)
∗ el conjunt de
totes les funcions k–lineals alternades. Λ
k (E)
∗ ´es un espai vectorial per a les operacions
usuals de suma i producte per un escalar.
Nota 5. Si M ´es una funci´o n–lineal alternada i si hi = hj per a 1 ≤ i < j ≤ n tindrem
M (h 1 ,... , hi− 1 , hi, hi+1,... , hj− 1 , hj , hj+1,... , hn) = 0.
Exemple 6. Siguen naturals ij , 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ ij ≤ n i λ := {ik}
r k=
, definirem una
aplicaci´o r–lineal alternada dxλ : (R
n )
r → R per la igualtat
(1) dxλ
a
1 , a
2 ,... , a
r
a
1 i 1 a
2 i 1...^ a
r i 1 . . .
a
1 ir a
2 ir...^ a
r ir
2 EL PRODUCTE EXTERIOR DE FORMES MULTILINEALS ALTERNADES 2
2 El producte exterior de formes multilineals alter-
nades
2.1 El signe d’una permutaci´o
Definici´o 7. Anomenarem permutaci´on d’ordre k, k ∈ N, a tota bijecci´o σ : { 1 , 2 ,... , n} −→
{ 1 , 2 ,... , n}. Al conjunt de totes les permutacions de k elements el denotarem per Sk.
Direm que en σ els naturals i, j, 1 ≤ i < j ≤ n, formen una inversi´o de la
permutaci´o σ : { 1 , 2 ,... , n} −→ { 1 , 2 ,... , n} si σ(j) < σ(i). Direm que una permutaci´o
´es parella i escriurem sign σ = 1 (respectivament imparella ) si el conjunt de les seues
inversions ´es t´e cardinal parell (respectivament imparell i sign σ = −1).
Exemples 8.
(i) La permutaci´o identitat t´e signe 1.
(ii) La permutaci´o σ(1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6) = (4, 5 , 1 , 3 , 6 , 2) t´e 8 inversions, per tant el seu
signe ´es 1.
2.2 S∧T
Definici´o 9. Siga E un espai vectorial real. Donada una aplicaci´o multilineal T : E
k →
R definirem
Alt T (u 1 , u 2... , uk) =
k!
σ∈Sk
(sign σ) T
uσ(1), uσ(2)... , uσ(k)
Proposici´o 10. Siga E un espai vectorial real i T : E
k → R una aplicaci´o multilineal
aleshores
(i) Alt T ∈ Λ
k (E)
∗ .
(ii) Si T ∈ Λ
k (E)
∗ llavors Alt T = T.
Definici´o 11. Siga E un espai vectorial real, S : E
k → R i T : E
` → R aplicacions
multilineals de grau k i ` respectivament, definirem
S ∧ T :=
(k + `)!
k! `!
Alt (S ⊗ T ).
Teorema 12. Siga E un espai vectorial real, R ∈ Λ
k (E)
∗ , S ∈ Λ
` (E)
∗ , T ∈ Λ
` (E)
∗ i
U ∈ Λ
m (E)
∗ , siga tamb´e α ∈ R, llavors
(i) (S + T ) ∧ R = (S ∧ R) + (T ∧ R);
(ii) R ∧ (S + T ) = (R ∧ S) + (R ∧ T );
2 EL PRODUCTE EXTERIOR DE FORMES MULTILINEALS ALTERNADES 4
Definici´o 20. Donats x, y ∈ Λ
k (R
n )
∗ si {ei}
n i=1 ´es la base can`onica en^ R
n podem es-
criure (Teorema 17) x =
[λ] αλdxλ,^ y^ =^
[λ] βλdxλ. Anomenarem^ producte interior
euclidi`a de x per y a
(2) x · y :=
[λ]
αλβλ.
Escriurem a m´es
|x|
2 := x · x.
Proposici´o 21. Siguen h 1 , h 2 ,... ,hr ∈ (R
n )
∗ i ω = h 1 ∧h 2 ∧.. .∧hr. Si h` =
∑n
i=1 h
i `dxi
i w =
[λ]
wλdxλ, llavors
wλ = det
h
ik `
, on λ = {ik}
r k=.
Proposici´o 22. Siguen v 1 , v 2 ,... ,vr ∈ (R
n )
∗ i h 1 , h 2 ,... , hr ∈ (R
n )
∗ , α = v 1 ∧ v 2 ∧
... ∧ vr, ω = h 1 ∧ h 2 ∧... ∧ hr. Llavors
α · ω = det (vi · hj ).
Teorema 23.
i) Els vectors h 1 , h 2 ,... ,hr ∈ (R
n )
∗ s´on linealment independents si, i nom´es si,
h 1 ∧ h 2 ∧... ∧ hr 6 = 0.
ii) Siguen h 1 , h 2 ,... ,hr ∈ (R
n )
∗ linealment independents i h
′ 1 ,^ h
′ 2 ,... ,h
′ r ∈^ (R
n )
∗
tamb´e linealment independents. Les seg¨uents afirmacions equivalen:
a) Existeix un λ ∈ R tal que h 1 ∧ h 2 ∧... ∧ hr = λh
′ 1 ∧^ h
′ 2 ∧^...^ ∧^ h
′ r.
b) LIN {h 1 , h 2 ,... , hr} = LIN {h
′ 1 , h
′ 2 ,... , h
′ r}.
2.3 La transformaci´o lineal L
∗ k
Siguen E i F espais vectorials reals, a cada aplicaci´o lineal L : E → F li podem associar
una aplicaci´o L
∗ k : Λ
k (F )
∗ → Λ
k (E)
∗ definida per la igualtat
L
∗ k(ω) (u^1 , u^2 ,... , uk) =^ ω^ (L^ (u^1 )^ , L^ (u^2 )^ ,... , L^ (uk))^ ,
on ω ∈ Λ
k (E)
∗ (3) , u 1 , u 2 ,... , ur ∈ E.
Es immediat que l’aplicaci´´ o L∗ r est`a ben definida i que ´es lineal.
Lema 24. Siguen E i F espais vectorials reals, donada L : E → E una aplicaci´o lineal
siguen L
∗ r : Λ
r (E)
∗ → Λ
r (F )
∗ , L
∗ s : Λ
s (E)
∗ → Λ
s (F )
∗ i L
∗ r+s : Λ
r+s (E)
∗ → Λ
r+s (F )
∗ ,
si ω ∈ Λ
r (E)
∗ i ξ ∈ Λ
s (E)
∗ tenim
L
∗ r+s(ω^ ∧^ ξ) =^ L
∗ r (ω)^ ∧^ L
∗ s (ξ).
Demostraci´o. Trivial.
3 PRODUCTE EXTERIOR EN R
N 5
3 Producte exterior en R
n
Nota 25 (Immersi´o de V enV
∗∗ ). Recordem que en tot espai vectorial V existeix una
immersi´o can`onica i : V −→ V
∗∗ definida per i(x)(y) = y(x), x ∈ V , y ∈ V
∗ .
Notaci´on 26 (Producte exterior en V ). Siga V un espai vectorial, donats u 1 , u 2 ,
... ,uk ∈ V tindrem i (u 1 ) , i (u 2 ),... ,i (uk) ∈ V
∗∗ = (V
∗ )
∗
. Fent E := V
∗ tindrem que
t´e sentit considerar i (u 1 ) ∧ i (u 2 ) ∧... ∧ i (uk) ∈ Λ
k (E)
∗ = Λ
k (V
∗ )
∗ .
Endavant, per ab´us de notaci´o, escriurem u en compte de i(u), i.e.
u 1 ∧ u 2 ∧... ∧ uk = i (u 1 ) ∧ i (u 2 ) ∧... ∧ i (uk) ∈ Λ
k (V
∗ )
∗ , u 1 , u 2 ,... , uk ∈ V ;
i Λ
k (V ) en compte de Λ
k (V
∗ )
∗ .
Si V = R
n i escrivim eλ := ei 1 ∧ ei 2 ∧... ∧ eik llavors {eλ}[λ] ´es una base de
k (V ).
Definici´o 27.
(i) Recordem que donats x, y ∈ Λ
k (R
n )
∗ , si {ei}
n i=
´es la base can`onica en R
n , i
x =
[λ] αλdxλ,^ y^ =^
[λ] βλdxλ, anomenem^ producte interior euclidi`a^ a
(4) x · y =
[λ]
αλβλ.
Escrivim
|x|
2 := x · x.
(ii) Donats x, y ∈ Λ
k (R
n ) si {ei}
n i=1 ´es la base can`onica en^ R
n podem escriure (Teo-
rema 17) x =
[λ]
αλeλ, y =
[λ]
βλeλ. Anomenarem producte interior euclidi`a
de x per y a
x · y =
[λ]
αλβλ.
(iii) Donats x ∈ Λ
k (R
n ), y ∈ Λ
k (R
n )
∗ si {ei}
n i=1 ´es la base can`onica en^ R
n podem
escriure (Teorema 17) x =
[λ]
αλdxλ, y =
[λ]
βλeλ. Anomenarem producte
euclidi`a de x per y a
x · y =
[λ]
αλβλ.
Proposici´o 28. Siguen x 1 , x 2 ,... ,xr ∈ R
n i u = x 1 ∧ x 2 ∧... ∧ xr. Si x` =
∑n
i=
x
i `ei
i u =
[λ] uλeλ, llavors
uλ = det
x
ik `
, on λ = {ik}
r k=.
