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Asignatura: Anàlisi vectorial, Profesor: Anibal Molto, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
Tipo: Ejercicios
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Pr´actica 1 Integral de l´ınea. Superficies y ´areas de superficie............ 1 Pr´actica 2 Integraci´on en variedades. Teoremas de Stokes y de la divergencia. 9
Curso 2006/2007 1
Un camino en Rn^ es una funci´on γ : [a, b] −→ Rn^ continua. Si γ es C^1 , diremos que el camino es C^1. Los puntos γ(a) y γ(b) se llaman extremos del camino. La imagen de γ, γ∗, se llama arco. Si llamamos t a la variable, podemos imaginar t como el tiempo y γ(t) como la posici´on de una part´ıcula en movimiento en el tiempo t. ————— • —————
Ejemplo 1. (1) La recta de R^3 que pasa por un punto P en la direcci´on del vector v es la imagen del camino
γ(t) = P + tv para t ∈ R
(2) La circunferencia unidad es la imagen del camino γ : [0, 2 π] −→ R^2 , γ(t) = (cos t, sen t).
————— • ————— Si γ : [a, b] −→ Rn^ es un camino C^1 entonces γ∗^ es una curva rectificable y la longitud de γ∗ coincide con la integral (^) ∫ b
a
‖γ′(t)‖dt. ————— • —————
Ejercicio 1. Describir y calcular, si es posible, la longitud de los siguientes caminos : (i) γ : [0, 1] −→ R^3 , siendo γ(t) := (1 + 5t, 2 − t, 3 + t). (ii) γ : [0, 2 π] −→ R^2 , siendo la cicloide γ(t) := (t − sen t, 1 − cos t). (iii) γ : [0, 2 π] −→ R^2 , siendo la astroide γ(t) := (cos^3 t, sen^3 t). (iv) γ : [0, 5] −→ R^2 , siendo γ(t) := (t, t^2 ). (v) γ : [− 1 , 1] −→ R^2 , siendo γ(t) := (|t|, |t − 12 |)
Ejercicio 1. Parametrizar la circunferencia de centro (x 0 , y 0 ) y radio r usando los intervalos [0, 1] y [0, 2 π] de forma que se recorra la curva, bien en el sentido de las agujas del reloj, bien en sentido contrario a las mismas. Parametrizar la elipse de centro (x 0 , y 0 ) y semiejes a y b.
Ejercicio 1. Parametrizar la curva intersecci´on de las superficies en R^3 , y = x^2 , 3 z = 2xy, desde el origen al punto (1, 1 , 2 /3).
Ejercicio 1. Calcular, si es posible, la longitud de los caminos descritos en los dos ejercicios anteriores.
Ejercicio 1. Sea γ : [a, b] −→ Rn^ un camino C^2. Suponer que γ′(t) 6 = 0 para todo t ∈ [a, b]. El vector
T (t) :=
γ′(t) ‖ γ′(t) ‖
Pr´actica 1: Integral de l´ınea. Superficies y ´areas de superficie. 3
Ejercicio 1. Calcular (^) ∫
T
y^2 dx + x^2 dy 1 + x^2 + y^2
siendo T el tri´angulo determinado por los puntos (1, 0) , (1, 1) y (0, 0) recorrido de forma positiva.
Ejercicio 1. Calcular
γ xdx^ +^ ydy^ siendo^ γ(t) = (cos
(^3) t, sen (^3) t), t ∈ [0, 2 π].
Ejercicio 1. Considerar el campo de fuerza gravitacional definido por
F (x, y, z) =
(x^2 + y^2 + z^2 )
(x, y, z) ∀ (x, y, z) 6 = 0.
Mostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional conforme una part´ıcula se mueve de (x 1 , y 1 , z 1 ) a (x 2 , y 2 , z 2 ) a lo largo de cualquier camino, depende s´olo de los radios
R 1 =
x 12 + y 12 + z 12 y R 2 =
x 22 + y 22 + z 22.
Teorema 1.1 (Teorema de Green) Sea D una buena regi´on del plano con ∂D positivamente orientada y F = (P, Q) : R^2 −→ R^2 un campo vectorial C^1 ,entonces
(1)
D
∂x
∂y
)dxdy =
∂D
P dx + Qdy.
————— • ————— Como consecuencia de (1) se obtiene que
m(D) =
∂D
−ydx =
∂D
xdy =
∂D
−ydx + xdy.
————— • —————
Ejemplo 1. Sea D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ r^2 }. Entonces
m(D) =
∂D
−ydx + xdy.
Una parametrizaci´on positiva de ∂D es
γ(t) = (r cos t, r sen t), t ∈ [0, 2 π].
Luego
m(D) =
∂D
−ydx + xdy =
∫ (^2) π
0
r^2 dt = πr^2.
Teorema 1.2 (Teorema de la divergencia en el plano) Sea D una buena regi´on del plano con ∂D positivamente orientada.Denotamos por n la normal unitaria exterior a ∂D .Si γ : [a, b] −→ R^2 es una parametrizaci´on de ∂D que conserva la orientaci´on ,
n =
(γ 2 ′(t), −γ′ 1 (t)) ‖γ′(t)‖
Pr´actica 1: Integral de l´ınea. Superficies y ´areas de superficie. 4
Sea F = (P, Q) un campo vectorial C^1 en D.Entonces, ∫
∂D
F · nds =
D
div(F ).
Ejemplo 1. Sea F = (y^3 , x^5 ).La integral de la componente normal de F alrededor del cuadrado unitario I = [0, 1]^2 viene dada por
∂D F^ ·^ nds^ =^
D div(F^ ) = 0^ , pues^ div(F^ ) = 0.. ————— • —————
Ejercicio 1. Sea F = (− (^) x 2 y+y 2 , (^) x (^2) +xy 2 ) = (P, Q).
(i) Probar que salvo en (0, 0) , ∂P∂y = ∂Q∂x. (ii) Calcular
γ F ds^ , siendo^ γ(t) = (cos
(^9) t, sen (^9) t), t ∈ [0, 2 π].
Ejercicio 1. Calcular el ´area encerrada por una elipse utilizando el Teorema de Green.
Ejercicio 1. Aplicando el Teorema de Green calcular ∫
C
(y + 3x)dx + (9y − x)dy
siendo C la elipse 4 x^2 + y^2 = 4 ,orientada positivamente.
Ejercicio 1. Aplicando el teorema de Green calcular ∫
D
2 ay − x^2 − y^2 y dxdy
siendo D el recinto encerrado por la curva x^2 + y^2 = 2ay e y ≥ a (a > 0).
Ejercicio 1. Calcular el ´area encerrada por el folium de Descartes, x^3 + y^3 = 3xy (x ≥ 0 , y ≥ 0 ). (Indicaci´on: Parametrizar haciendo y = tx y aplicar el teorema de Green.)
Ejercicio 1. Calcular el ´area interior a las curvas y = x^2 , x^2 + y^2 = 2.
Ejercicio 1. Calcular utilizando integrales curvil´ıneas el ´area limitada por la curva
(x + y)^2 = ax, (a > 0)
y el eje OX.
Ejercicio 1. Calcular utilizando integrales curvil´ıneas el ´area limitada por la curvas
( x 2
) 23 + ( y 4
) 23 = 1, x^2 + y
2 4
por encima del eje de abcisas.
Ejercicio 1. Verificar el teorema de la divergencia para F = (x, y) y D = {(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1 }. Evaluar la integral
de la componente normal de F = (2xy, −y^2 ) alrededor de la elipse x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1.
Pr´actica 1: Integral de l´ınea. Superficies y ´areas de superficie. 6
al plano tangente en el punto (x 0 , y 0 , z 0 ) = ϕ(s 0 , t 0 ), y por consiguiente a la superficie en dicho punto. Se define el vector normal unitario a la superficie regular en el punto (x 0 , y 0 , z 0 ) = ϕ(s 0 , t 0 ) como
N (x 0 , y 0 , z 0 ) =
Ts(s 0 , t 0 ) × Tt(s 0 , t 0 ) ‖Ts(s 0 , t 0 ) × Tt(s 0 , t 0 )‖
As´ı una ecuaci´on del plano tangente a la superficie en (x 0 , y 0 , z 0 ) = ϕ(s 0 , t 0 ) viene dada por
(x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) · N (x 0 , y 0 , z 0 ) = 0.
————— • —————
Ejemplo 1. Sean u y v dos vectores de R^3 linealmente independientes. El plano P que pasa por (x 0 , y 0 , z 0 ) y es paralelo a los vectores u y v es la imagen de la representaci´on param´etrica ϕ : R^2 → R^3 definida por ϕ(s, t) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + su + tv. Obviamente, Ts = u y Tt = v, y por ser Ts y Tt linealmente independientes, P es regular. Adem´as, P coincide con su plano tangente en cada uno de sus puntos. Un vector normal unitario es N (x, y, z) = (^) ‖uu××vv‖.
Ejemplo 1. Vamos a describir la superficie cuya representaci´on param´etrica es
ϕ(s, t) = (sen s cos t, sen s sen t, cos s), (s, t) ∈ [0, π] × [0, 2 π]
Para identificar la superficie, eliminaremos los par´ametros usando las identidades trigonom´etricas.
x^2 + y^2 + z^2 = (sen s cos t)^2 + (sen s sen t)^2 + cos^2 s = sen^2 s(cos^2 t + sen^2 t) + cos^2 s = 1.
Luego cada punto se encuentra en la esfera de radio 1 centrada en el origen. Rec´ıprocamente, cada punto de la esfera tiene una longitud t y una latitud s medida desde el punto (0, 0 , 1), que es el polo norte. Por tanto, cada punto de la esfera se puede poner como ϕ(s, t), con lo cual la superficie coincide con la esfera de radio 1 centrada en el origen. En este caso, Ts(s, t) = (cos s cos t, cos s sen t, −sen s) y Tt(s, t) = (−sen s sen t, sen s cos t, 0) de donde se sigue que
Ts(s, t) × Tt(s, t) = (sen^2 s cos t, sen^2 s sen t, sen s cos s) = sen s ϕ(s, t) 6 = 0
para todo (s, t) ∈]0, π[×]0, 2 π[. La superficie es regular y el vector normal unitario es N (x, y, z) = ϕ(x, y, z) para todo (s, t) ∈]0, π[×]0, 2 π[. Evidentemente, esa funci´on continua se puede extender a toda la esfera. (Para hacerlo rigurosamente habr´ıa que considerar otras parametrizaciones de la esfera que incluyeran los puntos ϕ(∂([0, π] × [0, 2 π])). ) Por otro lado, como el vector ϕ(s, t) es perpendicular a la superficie en el punto ϕ(s, t), el plano tangente en (x 0 , y 0 , z 0 ) tiene como ecuaci´on (x − x 0 )x + (y − y 0 )y + (z − z 0 )z = 0.
————— • ————— Sea ϕ : D → R^3 , donde ϕ(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)), la representaci´on param´etrica de una superficie S, suave excepto en un n´umero finito de puntos. Si D es un abierto acotado, entonces el ´area de la superficie S viene dada por la integral
∫ ∫
D
‖Ts(s, t) × Tt(s, t)‖d(s, t) =
D
( (^) ∂(x, y) ∂(s, t)
( (^) ∂(x, z) ∂(s, t)
( (^) ∂(y, z) ∂(s, t)
d(s, t)
siendo ∂(x, y) ∂(s, t)
∂x ∂s
∂y ∂t
∂x ∂t
∂y ∂s ————— • —————
Pr´actica 1: Integral de l´ınea. Superficies y ´areas de superficie. 7
Ejemplo 1. Vamos a calcular el ´area de la esfera de centro el origen y radio 1. Hemos visto que una representaci´on param´etrica es ϕ(s, t) = (sen s cos t, sen s sen t, cos s), (s, t) ∈ [0, π] × [0, 2 π]
y que Ts(s, t) × Tt(s, t) = sen s ϕ(s, t)
con lo cual ‖Ts(s, t) × Tt(s, t)‖ = sen s. Por tanto, el ´area de la esfera es
∫ (^) π
0
∫ (^2) π
0
sen s dt ds = 2π(− cos s)π 0 = 4π.
Ejemplo 1. Vamos a calcular el ´area de la superficie x^2 + y^2 − z^2 = 0, con 0 ≤ z ≤ 1. Sabemos que se trata de un cono que se puede parametrizar por la funci´on
ϕ(s, t) = (s cos t, s sen t, s) (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 2 π]
Ts(s, t) × Tt(s, t) = (−s cos t, −s sen t, s)
con lo cual ‖Ts(s, t) × Tt(s, t)‖ =
2 |s|. Por tanto, el ´area del cono es ∫ (^1)
0
∫ (^2) π
0
2 s dt ds =
2 π
s^2 2
2 π.
————— • —————
Ejercicio 1. Sea γ = (γ 1 , γ 2 ) : [a, b] → R^2 un camino C^1 , γ inyectiva, con γ 2 > 0 en [a, b]. Comprobar que el ´area lateral de la superficie engendrada por el giro alrededor de OX de γ∗^ es
2 π
∫ (^) b
a
γ 2 (t)‖γ′(t)‖dt.
Ejercicio 1. Usar el ejercicio anterior para calcular el ´area del toro engendrado por la rotaci´on de la circunferencia z^2 + (y − a)^2 = b^2 ( 0 < b < a) alrededor del eje OZ.
Ejercicio 1. Describir las siguientes superficies param´etricas, viendo en cada caso si son regulares. Hallar el ´area de las dos primeras. (i) El cilindro ϕ(s, t) = (2 cos s, 2 sen s, t), donde (s, t) ∈ [0, 2 π] × [0, 2]. (ii) El paraboloide ϕ(s, t) = (s cos t, s sen t, s^2 ), donde (s, t) ∈ [0, 1] × [0, 2 π]. (iii) El paraboloide hiperb´olico ϕ(s, t) = (s ch t, s sh t, s^2 ), donde (s, t) ∈ [− 1 , 1] × [− 1 , 1]. (iv) El cilindro parab´olico ϕ(s, t) = (ch t, sh t, s), donde (s, t) ∈ [− 1 , 1] × [0, 1]. (v) El toro ϕ(s, t) =
(2 + cos s) cos t, (2 + cos s) sen t, sen s
, donde (s, t) ∈ [0, 2 π] × [0, 2 π].
Ejercicio 1. Utilizando las funciones hiperb´olicas, hallar una parametrizaci´on del hiperboloide x^2 + y^2 − z^2 = 1. ¿Es una superficie regular?
Ejercicio 1. Sea f : [a, b] → R una funci´on de clase C^1. Representar param´etricamente la superficie que se obtiene al girar la gr´afica de f alrededor del eje OX. Calcular su ´area.
Curso 2006/2007 9
Sea M ⊂ Rn^ una variedad k−dimensional de clase r en Rn. Recordemos que para cada x ∈ M, existen W ⊆ Rk^ abierto y una funci´on inyectiva ϕ : W −→ Rn^ de clase Cr^ , con x ∈ ϕ(W ) tales que:
ϕ(W ′) es abierto en M para todo W ′^ abierto en W.
dim dϕ(y)(Rk) = k, ∀y ∈ W.
Ejemplo 2. La frontera M de la semiesfera unidad {(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1 , y ≥ 0 } no es una 1 −variedad de clase 1. (Ver Problemas complementarios.)
Ejemplo 2. Un subespacio vectorial k−dimensional de Rn^ es una variedad k-dimensional.
1.1 Problemas
Ejercicio 2. Prueba que si A 1 , A 2 , · · · , An son constantes no nulas, entonces { (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Rn^ : A 1 x^21 +A 2 x^22 + · · · + Anx^2 n = 1} es una variedad (n − 1)−dimensional.
Ejercicio 2. Si f : U ⊂ Rn^ −→ Rm^ es de clase Ck, entonces su gr´afica es una variedad n−dimensional de clase k.
Recordemos que en el caso de 2-variedades M en R^3 , el elemento de 2-´area en M dado por el sistema de coordenadas ϕ es ‖D 1 ϕ(a) × D 2 ϕ(a)‖.
Ejemplo 2. La superficie S definida por z = g(x, y) = x^2 + y, siendo D = {(x, y) : 0 < x < 1 , − 1 < y < 1 } es una 2-variedad pues es la gr´afica de g y la funci´on ϕ(x, y) = (x, y, x^2 +y) es un sistema de coordenadas. Calculemos
S x dV^2 ≡^
S xdS. ∫
S
x dS =
D
x
∂g ∂x )
(^2) + ( ∂g ∂y )
(^2) d(x, y) =
− 1
0
x
2 + 4x^2 dx
dy =
− 1
(2 + 4x^2 )^3 /^2 )^10 dy =
Pr´actica 2: Integraci´on en variedades. Teoremas de Stokes y de la divergencia. 10
Ejemplo 2. Sea S la parte del cilindro x^2 + y^2 = 2x con 0 < z <
x^2 + y^2. Se trata de una 2 -variedad, que puede parametrizarse usando coordenadas cil´ındricas
φ(θ, z) = (2 cos^2 θ, 2 cos θ sin θ, z).
Se obtiene: Dθ φ × Dz φ = (2 cos(2θ), −2 sen(2θ), 0),
y por lo tanto: ∫
S
xdV 2 =
{θ∈( π 2 , π 2 ), 0 <z<2 cos θ}
2(x ◦ φ) = 4
∫ π 2
− π 2
cos^2 θ
∫ (^) 2 cos θ
0
dz) =
En cada punto x de una superficie/variedad S ⊂ R^3 hay dos vectores normales unitarios n 1 (x) y n 2 (x), siendo n 1 (x) = −n 2 (x). Cada una de estas normales se puede asociar con un lado de la superficie. Intuitivamente, una superficie es orientable si tiene dos caras o lados. Para especificar una orientaci´on, se escoge uno de los vectores normales unitarios. As´ı, resulta que S es orientable si puede definirse una aplicaci´on continua de S en R^3 que asigna a cada punto uno de los vectores normales. Una de tales aplicaciones se denomina orientaci´on de la superficie/variedad. Cuando la variedad est´a orientada, una de las normales n(x) antepuesta a una base positivamente orientada {e 1 (x), e 2 (x)} del espacio tangente a S en x forma una base {n(x), e 1 (x), e 2 (x)} positivamente orientada de R^3. Tal normal se llama normal exterior. Sea S una 2-variedad orientada con vector normal unitario exterior n y ϕ : D → R^3 un sistema de coordenadas de S que preserva la orientaci´on, entonces en todo punto ϕ(s, t) se cumple que
n(ϕ(s, t)) = Dsϕ(s, t)^ ×^ Dtϕ(s, t) ‖Dsϕ(s, t) × Dtϕ(s, t)‖
Ejercicio 2. Comprueba que una 2-variedad M ⊂ R^3 es orientable si , y s´olo si, existe una aplicaci´on continua de M en R^3 que asigna a cada punto uno de los vectores normales unitarios. En consecuencia, las variedades {(x, y, z) : ax^2 + by^2 + cz^2 = 1 a, b, ´o c 6 = 0} son orientables.
Un ejemplo de una superficie/variedad no orientable (con un s´olo lado) es la cinta de M¨obius.
Ejemplo 2. La cinta de M¨obius es la superficie que se obtiene al unir los dos extremos de una cinta rectangular estrecha y larga, dando previamente media vuelta a uno de los extremos. Una representaci´on param´etrica de la cinta de M¨obius viene dada por la siguiente funci´on.
ϕ(s, t) =
(2 + t sen
s 2
) cos s, (2 + t sen
s 2
) sen s, t cos
s 2
(s, t) ∈ [0, 2 π] × [− 1 , 1]
La cinta de M¨obius es un ejemplo de superficie no orientable porque
Dsϕ(s, t) =
( t 2
cos s 2
) cos s − (2 + t sen s 2
) sen s, ( t 2
cos s 2
) sen s + (2 + t sen s 2
) cos s, − t 2
sen s 2
y Dsϕ(s, t) = (sen s 2 cos s, sen s 2 sen s, cos s 2 ), con lo cual
Dsϕ(s, t)×Dtϕ(s, t) =
( (^) t 2
sen s+(2+t sen
s 2
) cos
s 2
cos s, (2+t sen
s 2
) cos
s 2
sen s−
t 2
cos s, −(2+t sen
s 2
) sen
s 2
Pr´actica 2: Integraci´on en variedades. Teoremas de Stokes y de la divergencia. 12
3.1 Problemas Ejercicio 2. Calcula la integral de f (x, y, z) = xyz sobre el rect´angulo R de v´ertices (1, 0 , 1), (2, 0 , 0), (1, 1 , 1) y (2, 1 , 0).
Ejercicio 2. Calcula
S x
(^2) dV 2 , donde S es la parte del plano x = z dentro del cilindro x (^2) + y (^2) = 1.
Ejercicio 2. Supongamos que la temperatura de un punto de R^3 viene dada por ϕ(x, y, z) = 3x^2 + 3z^2. Si el calor ”fluye” seg´un el campo vectorial F = −∇T, calcular el flujo de calor a trav´es de la superficie {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + z^2 = 2, 0 < y < 2 }.
Ejercicio 2. Con el mismo campo vectorial que en el problema anterior, calcular el flujo de calor a trav´es de la esfera unidad si la temperatura es T (x, y, z) = x.
Ejercicio 2. Calcular
M xdy^ ∧^ dz^ +^ ydz^ ∧^ dx^ −^ zdx^ ∧^ dy^ para^ M^ =^ {(x, y, z) :^ x
(^2) + y (^2) − z (^2) = 0, 1 < z < 3 }.
Ejercicio 2. (a) La lluvia fuerte puede considerarse un flu´ıdo uniforme que fluye verticalmente hacia abajo seg´un el campo vectorial F (x, y, z) = (0, 0 , −1). Hallar el flujo total a trav´es del cono z =
x^2 + y^2 , x^2 + y^2 <
(b) Debido al fuerte viento, la lluvia cae de lado, de manera que forma un ´angulo de 45 o^ con la vertical, y se describe por el campo vectorial F (x, y, z) = −(
√ 2 2 ,^0 ,^
√ 2 2 ).^ ¿Cu´al es ahora el flujo a trav´es del cono?
Ejercicio 2. Sean a, b, c n´umeros positivos y S = {(x, y, z) : x
2 a^2 +^
y^2 b^2 +^
z^2 c^2 = 1, z >^0 }.^ Calcular el flujo de F (x, y, z) = (x^3 , 0 , 0) a trav´es de S.
El siguente es un criterio ´util de dominio regular: Sea M una m-variedad (m > 1) en Rn^ y sea D ⊂ Rn^ un cerrado tal que para cada x 0 ∈ F r(D) ∩ M se tiene que: i) existen un entorno U de x 0 y φ : U → R de clase C^1 tales que ∇φ(x) 6 = 0 ∀x ∈ U y
F r(D) ∩ U ∩ M = {x ∈ U ∩ M : φ(x) = 0} y
◦ D ∩U^ ∩^ M^ =^ {x^ ∈^ U^ ∩^ M^ :^ φ(x)^ >^0 },
y ii) existe ϕ, cumpliendo (1) en x 0 ∈ M tal que ∇(φ ◦ ϕ)(ϕ−^1 (x 0 )) 6 = 0. Entonces D ∩ M es un dominio regular en M cuyo borde es F r(D) ∩ M.
Ejercicio 2. Si D := {(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1 z ≥ 0 }, D no es dominio regular en R^3 y s´ı lo es en la esfera unidad.
Pr´actica 2: Integraci´on en variedades. Teoremas de Stokes y de la divergencia. 13
Ejemplo 2. Vamos a calcular
C −y
(^3) dx + x (^3) dy − z (^3) dz, donde C es la intersecci´on del cilindro x (^2) + y (^2) = 1
con el plano x + y + z = 1, y la orientaci´on de C es en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano XY. Se cumple que {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x + y + z = 1} es un dominio regular cuyo borde es C : Efectivamente, basta aplicar el criterio anterior con M el plano x + y + z = 1, D := {(x, y, z) : x^2 + y^2 ≤ 1 } y la funci´on φ(x, y, z) = x^2 + y^2 − 1. Si F (x, y, z) = (−y^3 , x^3 , −z^3 ), entonces por el teorema cl´asico de Stokes, ∫
C
−y^3 dx + x^3 dy − z^3 dz =
D^ ◦∩M^ rotF^ ·^ n^ dV^2. Por ser rotF = ∇ × F = (0, 0 , 3 x^2 + 3y^2 ) y n(x, y, z) = (1, 1 , 1), se deduce que ∫
C
−y^3 dx + x^3 dy − z^3 dz =
◦ D∩M
(3x^2 + 3y^2 ) dV 2 (x, y) =
0 ,
∫ (^2) π
0
r (3r^2 ) dr dθ =
π,
teniendo en cuenta que las coordenadas polares son un sistema de coordenadas en
◦ D ∩M.
4.1 Problemas
Ejercicio 2. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z =
1 − x^2 − y^2 , z ≥ 0 y el campo vectorial F (x, y, z) = (x, y, z).
Ejercicio 2. Hallar
S (∇×F^ )·n^ dV^2 ,^ donde^ S^ es el elipsoide^ x
(^2) +y (^2) +2z (^2) = 10 y F (x, y, z) = (sen xy, ey (^) , −yz).
Ejercicio 2. Supongamos que S = S 1 ∪ S 2 , siendo S 1 = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 } y siendo S 2 = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + (z − 1)^2 = 1, z ≥ 1 }. Comprueba que S es un dominio regular. Si F (x, y, z) = (zx + z^2 y + x, z^3 yx + y, z^4 x^2 ), calcula
S (∇ ×^ F^ )^ ·^ n^ dV^2.
Ejercicio 2. Sea M ⊂ R^3 una 2-variedad orientable y D ⊂ M un dominio regular compacto. Si f y g son funciones de clase C^2 , comprueba que
∂D f dg^ =^
Do df^ ∧^ dg^ =^
Do (∇f^ × ∇g)^ ·^ n^ dV^2.^ Deduce que la integral de l´ınea
∂D(f^ ∇g^ +^ g∇f^ )^ = 0.
Ejercicio 2. Sea un globo cuya superficie viene dada por la parte de la esfera x^2 + y^2 + (z −
√ 15 4 R)
(^2) = R (^2) que
se encuentra en z ≥ 0. Un gas caliente escapa por su superficie porosa seg´un un campo vectorial de velocidad: V (x, y, z) = ∇ × Φ(x, y, z) donde Φ(x, y, z) = (−y, x, 0).
Si R = 5, calcula el flujo del volumen de gases a trav´es de la superficie.
Ejemplo 2. Vamos a evaluar
S F^ ·^ n^ dS,^ donde^ F^ (x, y, z) = (xy
(^2) , x (^2) y, y) y S es la superficie del cilindro
x^2 + y^2 = 1 acotado por los planos z = − 1 y z = 1 junto con las porciones x^2 + y^2 ≤ 1 , z = 1 y x^2 + y^2 ≤ 1 , z = −1; en otras palabras, S = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 , donde S 1 = {(x, y, z) : x^2 + y^2 = 1, − 1 ≤ z ≤ 1 }, S 2 = {(x, y, z) : x^2 + y^2 ≤ 1 , z = 1} y S 3 = {(x, y, z) : x^2 + y^2 ≤ 1 , z = − 1 }.
Pr´actica 2: Integraci´on en variedades. Teoremas de Stokes y de la divergencia. 15
Ejemplo 2. Sea F el campo vectorial en R^3 dado por:
F (x, y, z) = (y, z cos yz + x, y cos yz).
Se tiene que ∇ × F = (cos yz − yz sin yz − cos yz + yz sin yz, 0 , 1 − 1) = 0
y por tanto F es el gradiente de alguna funci´on f. Del sistema de ecuaciones :
∂f ∂x
= y,
∂f ∂y
= x + z cos(yz),
∂f ∂z
= y cos(yz),
se obtiene f (x, y, z) = xy + sen yz + C.
6.1 Problemas Ejercicio 2. Una masa M en el origen de R^3 ejerce una fuerza sobre una masa m localizada en r = (x, y, z) de magnitud GmM/‖r‖^2 y direcci´on r. Prueba que este campo es conservativo y halla un potencial escalar.
Ejercicio 2. Sea F = (P, Q) un campo vectorial C^1 en R^2. Prueba que F es conservativo si y s´olo si ∂P∂y = ∂P∂x.
Ejercicio 2. Dado F (x, y, z) = (2xyz + sen x, x^2 z, x^2 y), halla f tal que F = ∇f.
Ejercicio 2. Si F es un campo vectorial C^1 en R^3 con divF = 0 , entonces existe un campo vectorial G de clase C^1 tal que F = rotG.
Ejercicio 2. Sean F (x, y, z) = (−y, x, 0) y G(x, y, z) = ( (^) x 2 −+yy 2 , (^) x (^2) +xy 2 , 0) dos campos vectoriales en R^3. a) Prueba que rot F 6 = 0, rot G = 0. b) Prueba que si F y G representan los campos de velocidad de dos fluidos y colocamos sendos corchos en los fluidos, ambos recorrer´an en el plano xy una trayectoria circular alrededor del eje z. c) Prueba que el primer corcho gira sobre s´ı mismo cuando recorre el c´ırculo. ¿qu´e ocurre con el segundo?
