¡Descarga Álgebra Lineal 01 2004 y más Exámenes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Continguts
- 27-01-95
- 18-09-95
- 29-01-96
- 05-06-96
- 18-09-96
- 20-01-97
- 26-05-97
- 12-09-97
- 26-01-98
- 02-06-98
- 04-09-98
- 19-01-99
- 21-04-99
- 15-06-99
- 03-11-99
- 20-01-00
- 12-04-00
- 27-06-00
- 31-10-00
- 13-01-01
- 05-04-01
- 07-06-01
- 02-11-01
- 18-01-02
- 10-04-02
- 12-06-02
- 31-10-02
- 08-01-03
- 09-04-03
- 20-06-03
- 30-10-03
- 26-01-04
- 02-04-04
- 17-06-04
- 27-10-04
8. Sigui f : R^2 −→ R^3 definida per f (x, y) = (x − y, 2 x, −y). Aleshores la matriu de f en les bases
((1, 0), (1, 1)), ((1, 1 , 0), (0, 1 , 0), (0, 1 , 1)), ´es:
a)
. b)
. c)
d)
. e)
- La soluci´o general de l’equaci´o diferencial x(iv)^ − 2 x′′^ + x = 0, ´es:
a) x(t) = et(at + bt^2 ) + e−t(ct + dt^2 ). b) x(t) = aet^ + bt + ce−t^ + dt. c) x(t) = et(a + at) + e−t(b + bt). d) x(t) = et(a + bt) + e−t(c + dt). e) x(t) = et(a + bt^2 ) + e−t(c + dt^2 ).
- Siguin E, F espais vectorials de dimensi´o finita, f una aplicaci´o lineal de E en F , (u 1 , u 2 ) una base de Nuc f , (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) una base de E. Aleshores:
a) {f (u 3 ), f (u 4 )} engendren Im f , pero no s´on linealment independents. b) (f (u 3 ), f (u 4 )) ´es una base de F si f ´es exhaustiva. c) dim Im f > 2. d) {f (u 3 ), f (u 4 )} s´on linealment independents, pero no engendren Im f. e) Cap de les anteriors.
Problemes
II (7 punts)
Diagonalitzaci´o d’endomorfismes d’un espai vectorial de dimensi´o finita d’acord amb el gui´o seg¨uent:
a) Presentaci´o i motivaci´o. b) Vectors i valors propis. c) Caracteritzaci´o dels valors propis λ de f a trav´es de
Nuc(f − λI).
d) Polinomi caracter´ıstic. e) Calcul efectiu dels valors i vectors propis. f) Condicions necessaries i suficients de diagonalitzaci´o. (Es valorar`a la concisi´o, l’ordre i la claredat dels enunciats, aix´ı com la inclusi´o d’alguna demostraci´o.)
III (20 punts)
A. (10) Siguin A =
i^ B^ =
0 − 1 0 a 2 3 0 0 2 2 b 0 0 0 0 1
,^ a, b^ ∈^ R.
a) Per a quins valors de a, b ∈ R, les matrius A i B s´on equivalents? Trobeu, per aquests valors, una
matriu S, tal que B = S−^1 AS.
b) Trobeu una matriu C ∈ M 4 (R), tal que C = ln A.
B. (10) Sigui f : R^3 −→ R^4 l’aplicaci´o lineal donada per:
f (x, y, z) = (x + y + z, x − y, x + y, x − y).
a) Proveu que f ´es injectiva i calculeu una base de F = Im f.
b) Sigui A la matriu de f en bases naturals i considereu el subespai vectorial G de R^4 donat per
G = {v ∈ R^4 /Atv = 0}. Calculeu una base de G.
c) Demostreu que R^4 = F ⊕ G. Dedu¨ıu que per a tot u ∈ R^4 , existeix un ´unic v ∈ G i un ´unic w ∈ R^3
tal que u = f (w) + v.
d) Sigui L : R^4 −→ R^3 l’aplicaci´o definida per L(u) = w, on si u ∈ R^4 , w ´es el vector de R^3 associat a
u per l’apartat anterior. Demostreu que L ´es lineal. Qui ´es el Nuc L?. Qui ´es Im L?
e) Demostreu que donat un vector u ∈ R^4 , el vector w de la descomposici´o de l’apartat c) es pot obtenir
com a soluci´o del sistema Atu = AtAw.
Resoluci´o.
A. a) JA = JB si, i nom´es si a = 0, b = 2.
S = SAS− B 1 =
b)
C = SA ln JAS A− 1 =
3 ln 2 −2 ln 2 3 / 2 − 2 ln 2 2 ln 2 3 ln 2 −2 ln 2 3 / 2 − 2 ln 2 2 ln 2 0 0 ln 2 0 0 0 ln 2 0
B. a) Im f = [(1, 1 , 1 , 1), (1, − 1 , 1 , −1), (1, 0 , 0 , 0)]. dim Nuc f = 0 =⇒ f injectiva. b)
A =
G = {(x, y, z, t) ∈ R^4 ; x = z = y + t = 0} = [(0, 1 , 0 , −1)]
c)
rang
= 4 =⇒^ R
4 = F ⊕ G.
Si u ∈ R^4 , u = x + v, x ∈ F , v ∈ G unics.´ x ∈ F = Im f i f injectiva, aleshores existeix un ´unic
w ∈ R^3 tal que x = f (w).
d) Nuc L = {u ∈ R^4 ; w = 0} = G; Im L = R^3 (L ´es exhaustiva).
e) Atu = At(f (w) + v) = AtAw + Atv = AtAw.
8. Sigui f l’endomorfisme de R^3 , la matriu del qual en la base ordin`aria ´es
, i
F = [(1, − 1 , 0), (λ, 0 , 1)] (subespai engendrat). Aleshores F ´es invariant per f ,
a) Per a cap λ. b) Per a λ = 1. c) Per a tot λ. d) Per a λ = −1. e) Per a λ = 0.
9. Siguin F i G dos subespai vectorials de R 3 [t] donats per
F = [1 + t + λt^2 , 1 − t^3 ] G = {p(t) ∈ R 3 [t] / p(0) = 0 , p′′(0) = 0}
Volem veure si hi ha algun valor de λ ∈ R pel qual dim(F ∩ G) = 1. Tenim soluci´o per:
a) Per a tot λ ∈ R. b) λ = 0. c) λ = −3.
d) λ = −1. e) No hi ha soluci´o per a cap λ ∈ R.
10. Sigui f l’endomorfisme de R^3 , la matriu del qual en la base ((1, 0 , 0), (1, 1 , 0), (0, 0 , 2)) ´es
Aleshores f (0, − 1 , 4) val:
a) (1, − 2 , 3). b) (− 1 , − 2 , 6). c) (0, − 1 , 8). d) (− 1 , − 1 , 16). (e) Cap de les anteriors.
Problemes
II (7)
- Sigui f un endomorfisme de R^4 tal que
1. Nuc f = {x ∈ R^4 ; x 1 + x 2 − x 3 = 0, x 3 + x 4 = 0}.
2. Si F = [(1, 0 , 0 , 0), (0, 1 , 1 , 0)] i G = {x ∈ R^4 ; 2x 1 − x 2 − x 3 = 0, x 1 − x 2 = 0}, F ∩ G ´es invariant
per f.
- (0, 1 , 0 , 0) ´es un vector propi de f de valor propi −1.
- Tra¸ca f = 0.
Aleshores:
a) Es´ f diagonalitzable? Raoneu la resposta i en cas afirmatiu, trobeu la seva forma diagoanl.
b) Trobeu la matriu de f en la base ordin`aria de R^4.
c) Existeixen bases u = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) i v = (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) de R^4 tals que
Mu,v (f ) =
Raoneu la resposta, sense trobar expl´ıcitament les bases. d) En cas afirmatiu, trobeu les bases u i v. S´on ´uniques?
Resoluci´o.
- a) base de Nuc f : ((− 1 , 1 , 0 , 0), (1, 0 , 1 , −1)) base de F ∩ G: (1, 1 , 1 , 0). Per tant ((− 1 , 1 , 0 , 0) w 1
w 2
w 3
w 4
) ´es base de R^4. Essent f (w 1 ) = f (w 2 ) = 0,
f (w 3 ) = λw 3 , f (w 4 ) = −w 4 resulta que (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ) ´es una base de vectors propis de f i per tant f diagonalitza. Mw(f ) = diag (0, 0 , λ, −1), tra¸ca f = 0 =⇒ λ = 1. Es a dir,´ Mw(f ) = diag (0, 0 , 1 , −1).
b) S =
matriu de la base^ w^ en la base^ e^ (ordin`aria)
Mw(f ) = S−^1 Me(f )S =⇒ Me(f ) =
c) Si prenem u 1 = w 1 , u 2 = w 2 , u 3 , u 4 tals que (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) siguin linealment independents, sabem que f (u 3 ), f (u 4 ) s´on base de Im f. Si prenem v 3 = f (u 3 ), v 4 = f (u 4 ) i v 1 , v 2 tals que (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) siguin linealment indendents, tindrem que Mu,v (f ) ser`a de la forma demanada. d) Per exemple, u 3 = (1, 0 , 0 , 0), u 4 = (0, 0 , 1 , 0) i essent f (u 3 ) = (0, − 1 , 0 , 0), f (u 4 ) = (1, 3 , 1 , 0) podem prendre v 1 = (1, 0 , 0 , 0), v 2 (0, 0 , 0 , 1). III (7)
- Sigui f un endomorfisme de R^4 , la matriu del qual en la base ordin`aria de R^4 ´es
A =
a) Trobeu la forma de Jordan de f.
b) Trobeu una base de Jordan de R^4 relativa a f i raoneu quins dels seus vectors s´on vectors propis de
f. c) Calculeu 3
A.
d) Proveu que per a tot n ≥ 2, existeixen constants an, bn, depenents nom´es de n, tals que An^ = anA + bnI 4.
Resoluci´o.
- a) Q(t) = (t − 2)^4 , J =
b) Base de Jordan (per exemple) ((1, 0 , 0 , 0) v 1
v 2
v 3
v 4
f (v 2 = 2v 2 ), f (v 4 ) = 2v 4 , per tant v 2 i v 4 s´on vectors propis de valor propi 2.
c) 3
A = S 3
JS−^1 =
− 23 1 3 2
− (^23) 0 3
2 0 13 2 −^
(^23) 1 3 2
− 23 1 3 2
− 23 √^32 − 1
− 23 1 3 2
− (^23) 0 0 0 3
d) Per Cayley-Hamilton A^2 − 4 A + 4I 4 = 0, per tant A^2 = 4A − 4 I 4 d’on per inducci´o sobre n: An^ = n 2 n−^1 A + 2n(1 − n)I 4. IV (7)
- Siguin E, F espais vectorials de dimensi´o finita, f una aplicaci´o lineal de E en F , (u 1 ,... , un), (u 1 ,... , un) bases de E i (v 1 ,... , vm), (v 1 ,... , vm) bases de F. Si A = Muv (f ) i B = Mu,v (f ) indiqueu i proveu quina relaci´o hi ha entre A i B.
- Siguin E i F espais vectorials de dimensi´o finita, tals que dim E = dim F i f una aplicaci´o lineal de E en F. Proveu que les afirmacions seg¨uents s´on equivalents: a) f ´es bijectiva. b) f ´es injectiva. c) f ´es exhaustiva.
d) ((1, 0 , 0) + F, (0, 1 , 0) + F ) ´es base de R^3 /F i les components de v en aquesta base s´on 1 i 1, respec-
tivament. e) Cap de les afirmacions anteriors no ´es certa.
8. Siguin α, β elements de (R^2 )∗^ tals que α(1, 0) = 1, α(1, 1) = 0 i β(1, 0) = −1, β(1, 1) = 1. Aleshores, si
γ ∈ (R^2 )∗^ ´es tal que γ(1, 0) = 0, γ(0, 1) = 1, ´es:
a) γ = α − β. b) γ = α + β. c) No hi ha cap relaci´o entre α, β i γ. d) γ = 2α + β. e) γ = α + 2β.
9. Sigui f un endomorfisme de R^5 , la forma redu¨ıda de Jordan del qual ´es
. Aleshores:
a) f −^1 = −f 2 + f − I. b) f −^1 = f 2 + f + I. c) f −^1 = −f 2 + f + I. d) f −^1 = f 2 − f − I. e) f no ´es invertible.
10. Sigui f : R^4 −→ R^3 lineal tal que dim Nuc f = 1 i g : R^3 −→ R^3 lineal tal que dim Nuc (g ◦ f ) = 1.
Aleshores:
a) g = 0. b) g no ´es injectiva. c) g no ´es exhaustiva. d) g ´es bijectiva. e) Cap de les afirmacions anteriors no ´es certa.
Problemes
II
(A) (5 punts) Considerem les matrius A =
i B =
i l’endomorfisme f : M 2 (R) −→
M 2 (R) definit per:
f (M ) = AM − M B per a tot M ∈ M 2 (R).
- Trobeu la matriu de f en la base (( 1 0 0 0
de M 2 (R).
2) Demostreu que f ´es diagonalitzable i busqueu una base de M 2 (R) formada per vectors propis de f.
3) Siguin ara A i B dues matrius qualssevol de M 2 (R). Demostreu que f , definida com abans, admet
un vector propi M de valor propi zero i det M 6 = 0 si i nom´es si, A i B s´on dues matrius equivalents.
(B) (5 punts) Sigui f un endomorfisme de R^4 tal que els subespais vectorials
F = [(1, 0 , 1 , 0), (0, 1 , 0 , 1)]
G = [(1, 0 , − 1 , 0), (0, 1 , 0 , −1)]
s´on invariants per f.
Sabent que
a) Nuc f = [(1, 1 , 1 , 1), (1, 1 , − 1 , −1)], b) la matriu Mv (f|F ) de la restricci´o de f a F en la base v = ((1, 0 , 1 , 0), (0, 1 , 0 , 1)) ´es sim`etrica, i c) f (0, 1 , − 1 , 2) = (2, − 2 , 6 , −6),
Trobeu la matriu de f en la base natural de R^4.
(Es recorda que A ´es sim`etrica si A = At.)
Resoluci´o.
(A) 1) A =
- QA(t) = t^2 (t − 1)(t + 1); λ 1 = 0, λ 2 = 1, λ 3 = −1. dim Nuc f = 2 (=multiplicitat de 0) =⇒ f diagonalitzable.
Nuc f =
[(
)]
Nuc (f − I) =
[(
)]
Nuc (f + I) =
[(
)]
B =
- AM − M B = 0 si, i nom´es si, AM = M B si, i nom´es si, (det M 6 = 0) B = M −^1 AM.
(B) ((1, 0 , 1 , 0) u 1
u 2
u 3
u 4
) ´es base de R^4.
a) Nuc f = [u 1 + u 2 , u 3 + u 4 ].
b) Mv (f|F ) =
a −a −a a
, Mu(f ) =
a −a 0 0 −a a 0 0 0 0 b −b 0 0 −c c
(f^ (u^3 +^ u^4 ) = 0). (sim`etrica i^ f^ (u^1 +
u 2 ) = 0). c)
u 1 +
u 2 +
u 3 −
u 4
f (0, 1 , − 1 , 2) = (− 2 a + b, 2 a − c, − 2 a − b, 2 a + c) = (2, − 2 , 6 , −6), a = b = c = − 2
Aleshores, si e ´es la base ordin`aria:
Me(f ) = SMu(f )S−^1 =
III
- (5 punts) Considereu la matriu A ∈ M 4 (R), A =
- Trobeu la seva forma redu¨ıda de Jordan, J.
- Trobeu una base de Jordan i digueu quina relaci´o hi ha entre A i J.
Examen 5-6-
Test
1. Si z 1 , z 2 ∈ C s´on tals que el seu quocient ´es 2, la suma dels seus arguments ´es π/2 i la suma dels seus
m`oduls ´es 3; aleshores:
a) z 1 =
2 i, z 2 = 1/
2 + i/
- b) z 1 = 1 + i, z 2 = 2(1 + i). c) z 1 = 1 − i, z 2 = 2(1 − i). d) z 1 = − 1 − i, z 3 = 2(− 1 − i). e) Cap de les anteriors.
2. Sigui ((1, 1), (1, −1)) una base de R^2 i (α, β) la seva base dual. Aleshores si ω ∈ (R^2 )∗^ ´es tal que
ω(1, 0) = 0, ω(0, 1) = − 1
a) ω = α + β. b) ω = α − β. c) ω = −α + β. d) ω = −α − β. e) Cap de les anteriors.
- Sigui ABC un triangle tal que A = (0, 0), B = (2, 1), dist(A, C) =
2dist(A, B) i l’angle del vertex A ´es π/4 radians. Sabent que C esta en el primer quadrant:
a) C = (2, 4). b) C = (1, 1). c) C = (1, 2). d) C = (1, 3). e) Cap de les anteriors.
4. Siguin A i B dues matrius de Mn(R); digueu quina de les afirmacions seg¨uents ´es FALSA.
a) Si A ´es diagonalitzable, A − In tamb´e. b) Si 1 ´es valor propi de A, A − In no ´es invertible.
c) Si v ∈ Rn^ ´es vector propi de BA de valor propi λ i det B 6 = 0, aleshores B−^1 v ´es vector propi de AB
de valor propi λ. d) Si A ´es diagonalitzable i B ´es diagonal, A + B ´es diagonalitzable. e) Si AB t´e un valor propi zero, BA tamb´e.
- Sigui p(x) un polinomi de grau 3 tal que 1 ´es arrel doble, p(0) = 0 i p(2) = 1. Aleshores:
a) p′′′(1) = p′′(1) = 3. b) p′′′(1) = 3, p′′(1) = 1. c) p′′′(1) = p′′(1) = 1. d) p′′′(1) = 3, p′′(1) = 1. e) Cap de les anteriors.
6. Sigui p(x) = (x − 1)q(x) + 2 de grau ≥ 2 amb p(x), q(x) ∈ R[x]; si p(−1) = 1, el reste de dividir p(x) per
x^2 − 1 ´es:
a) 0. b) 1/2. c) x + 1. d) (1/2)x + 3/2. e) Dep`en de q(x).
- Sigui E un espai vectorial, u 1 i u 2 dos vectors de E i F un subespai de E. Aleshores, u 1 + F , u 2 + F s´on linealment independents en E/F si i nom´es si:
a) u 1 , u 2 s´on linealment independents. b) u 1 , u 2 s´on diferents i no pertanyen a F. c) u 1 , u 2 s´on linealment independents i no pertanyen a F. d) u 1 , u 2 s´on linealment independents i pertanyen a F. e) u 1 , u 2 s´on linealment independents i engendren un subespai incl`os en un complementari de F.
- Donat el sistema XA = B amb A =
0 λ μ
i B =
a) Si λ = −2 i μ = 3 el sistema ´es compatible indeterminat.
b) Si λ = 2 ∀ μ ∈ R el sistema ´es compatible determinat de soluci´o
c) Si λ = −2 i μ = −3 el sistema ´es compatible determinat de soluci´o
d) Si λ = −2 i μ = 3 el sistema ´es compatible determinat de soluci´o
e) Cap de les anteriors.
9. Considereu l’endomorfisme f ∈ End (R 2 [x]) definit per: f (p(x)) = (x^2 + 3x + 2)p′(x) − 2 xp(x). Els seus
valors propis s´on:
a) 1, 2, 5. b) 2, 3, 4. c) 1, 3, 5. d) 1, 3, 4. e) Cap de les anteriors.
10. Siguin f : R^5 −→ R^4 i g : R^4 −→ R^5 aplicaciones lineals no nul·les tals que g ◦ f = 0 i rang g = 3.
Aleshores:
a) f ´es exhaustiva. b) f ´es injectiva. c) dim Nuc f = 4. d) rang f = 3. e) Cap de les anteriors no ´es certa.
Problemes
II
A. (5) Sigui f : M 2 (R) −→ M 2 (R) l’aplicaci´o lineal definida per
f
a c b d
2 a + 2b + 2c − 2 d 2 a + b + c − d −a − b + d a + c
- Trobeu la matriu de f en la base
2) Sigui F el subespai vectorial de M 2 (R) format per les matrius
x z y t
tals que
− 2 x − y + z + t = 0 −y − z + t = 0 4 x + 3y − z − 3 t = 0
Proveu que
´es una base F.
- Proveu que F ´es un subespai vectorial invariant per f.
- Si g ´es la restricci´o de f a F , determineu la matriu de g en la base donada a 2).
B. (5) Sigui f : R^4 −→ R^4 definida per f (x, y, z, t) = (−x + y + z, y + 2z + 3t, x + z + 3t, 2 x − y + 3t)
1) Calculeu la matriu A de f en la base ordin`aria e de R^4.
2) Trobeu una base v de R^4 /Nuc f i calculeu la matriu B de la projecci´o natural π : R^4 −→ R^4 /Nuc f
en les bases e i v.
3) Trobeu una base ω de Im f i calculeu la matriu C de l’aplicaci´o lineal f˜ : R^4 /Nuc f −→ Im f
definida per f˜ (u + Nuc f ) = f (u) en les bases v i ω.
4) Calculeu la matriu de la inclusi´o natural j : Im f −→ R^4 en les bases ω i e.
- Digueu quina relaci´o hi ha entre A, B, C i D i comproveu-la.
Resoluci´o.
A. 1) Mv (f ) =
- dim F = 2. Essent
i
linealment independents cal comprovar que pertanyen a F.
- x 1 (t) = e2(t−1), x 2 (t) = te2(t−1), x 3 (t) = e2(t−1), x 4 (t) = 4e2(t−1)^ − 3 e3(t−1), x 5 (t) = − 2 e2(t−1)^ +3e3(t−1).
IV (4)
- Sigui E un K-espai vectorial de dimensi´o finita i f un endomorfisme de E.
- Doneu la definici´o de subespai vectorial invariant per f i proveu que si F i G s´on subespais vectorials invariants per f , F + G i F ∩ G s´on tamb´e invariants per f.
- Enuncieu proposicions que estableixin condicions necess`aries i suficients per a que f sigui diagonal- itzable.
- Proveu que si f ´es diagonalitzable i F ´es un subespai vectorial invariant per f , existeix un subespai vectorial G de E invariant per f tal que E = F ⊕ G (Sugeriment: utilitzeu el teorema de St´einitz).
Examen 18-9-
Test
- Si a ´es una arrel de multiplicitat exactament 3 del polinomi p(x), quina de les seg¨uents afirmacions ´es falsa?
a) Es possible que´ a^3 no sigui arrel de p(x). b) a ´es una arrel de multiplicitat 1 de p′′(x). c) El desenvolupament de Taylor del polinomi p(x) en potencies de (x − a) no t´e termes en (x − a)i^ per a i = 0, 1 , 2. d) x^2 − 2 ax + a^2 divideix p(x), pero x^3 − 3 ax^2 + 3a^2 x − a^3 no divideix p(x). e) a ´es una arrel de multiplicitat 2 de p′(x).
2. Sigui f un endomorfisme de R^2 la matriu del qual en la base ordin`aria ´es
i g un endomorfisme
de R^2 la matriu del qual en la base (u 1 = (1, 0), u 2 = (1, 1)) ´es
. Aleshores (g ◦ f )(1, 1) val
a) 2u 1 + 3u 2. b) (2, 1). c) (− 1 , 4). d) 2u 1 + u 2. e) (1, 1).
3. En R^3 es consideren E 1 = {(x 1 , 0 , x 2 ) ∈ R^3 | x 1 ∈ R, x 2 ∈ R} i E 2 = [(3, 2 , 3), (1, 1 , 1)]. Es verifica:
a) dim E 1 = 1, dim E 2 = 2, dim(E 1 ∩ E 2 ) = 0, dim(E 1 + E 2 ) = 3. b) dim E 1 = 2, dim E 2 = 2, dim(E 1 ∩ E 2 ) = 2, dim(E 1 + E 2 ) = 2. c) dim E 1 = 2, dim E 2 = 2, dim(E 1 ∩ E 2 ) = 1, dim(E 1 + E 2 ) = 3. d) dim E 1 = 2, dim E 2 = 2, dim(E 1 ∩ E 2 ) = 0, dim(E 1 + E 2 ) = 4. e) Cap de les anteriors.
4. Sigui F el subespai vectorial de R^3 definit per x − y = 0. Aleshores:
a) ((1, 1 , 0) + F, (0, 0 , 1) + F ) ´es base de R^3 /F.
b) (2, 1 , 1) + F = (0, 0 , 1) + F. c) ((1, 2 , 0) + F ) + ((1, 3 , 1) + F ) = 3((0, 1 , 0) + F ). d) ((1, 2 , 1) + F ) + ((− 1 , 1 , 2) + F ) = 2((0, 1 , 0) + F ).
e) (1, 1 , 0) + F ´es base de R^3 /F.
- Sigui E un espai vectorial i f, g endomorfismes de E tals que g ◦ f = Id. Aleshores
a) f i g s´on bijectives. b) f ´es exhaustiva i g ´es injectiva. c) f i g s´on exhaustives. d) f ´es injectiva i g ´es exhaustiva. e) No es pot dir res de f i g, llevat que E sigui de dimensi´o finita.
6. Sigui A ∈ Mm×n(R), amb m > n, una matriu de rang n. Sigui f : Rn^ −→ Rm^ l’aplicaci´o que ve definida
per f (x) = (AX)t^ per a tot x ∈ Rn, on X ´es la matriu columna, els elements de la qual s´on les components
del vector x en la base ordin`aria de Rn. Aleshores:
a) f ´es isomorfisme. b) f ´es injectiva, pero no exhaustiva. c) f ´es exhaustiva, pero no injectiva. d) f ´es lineal, per`o no ´es ni injectiva ni exhaustiva. e) f no ´es lineal.
7. Sigui R 3 [x] el conjunt de polinomis d’una variable amb coeficients en R i de grau igual o menor que 3.
Considerem G = {p(x) ∈ R 3 [x] | 0 ´es arrel de p(x) i p(2) = p(0)}. Aleshores G:
a) No ´es subespai vectorial. b) Es subespai vectorial de dimensi´´ o 0. c) Es subespai vectorial de dimensi´´ o 1. d) Es subespai vectorial de dimensi´´ o 2. e) Es subespai vectorial de dimensi´´ o 3.
- Trobeu la seva forma redu¨ıda de Jordan J.
- Trobeu una base de Jordan i digueu quina relaci´o hi ha entre A i J.
- Trobeu 3 subespais vectorials de dimensi´o 1, 3 subespais vectorials de dimensi´o 2 i 3 subespais vectorials de dimensi´o 3, invariants per f.
- Raoneu si la restricci´o de f a cadascun dels subespais trobats a 3) ´es diagonalitzable.
Resoluci´o.
• 1) JA =
- (v 1 = (0, 0 , 1 , 0), v 2 = (3, 0 , 0 , 0), v 3 = (0, 0 , 0 , 1), v 4 = (2, 2 , 0 , 0)).
A =
− 1
- i 4) Per exemple,
F 1 = [v 2 ] s´ı, F 2 = [v 4 ] s´ı, F 3 = [v 2 + v 4 ] s´ı G 1 = [v 1 , v 2 ] no, G 2 = [v 3 , v 4 ] no, G 3 = [v 2 , v 4 ] s´ı H 1 = [v 1 , v 2 , v 4 ] no, H 2 = [v 3 , v 4 , v 2 ] no, H 3 = [v 1 + v 3 , v 2 , v 4 ] no
IV (5)
- Sigui E un K-espai vectorial de dimensi´o finita, f un endomorfisme de E i x ∈ E tal que x ∈ Nuc (f −λI)α, x 6 ∈ Nuc (f − λI)α−^1 , on λ ∈ K.
- Proveu que Nuc (f − λI)α^ ´es un subespai vectorial invariant per f.
- Proveu que (x, (f − λI)x,... , (f − λI)α−^1 x) ´es una base de Nuc (f − λI)α.
- Trobeu la matriu de la restricci´o de f a Nuc (f − λI)α^ en la base anterior.
V (5)
- Sigui v = (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 ) una base de R^5 i f ∈ End (R^5 ) tal que
i) tots els vectors de F = [v 1 + v 2 , v 1 + v 4 ] s´on vectors propis de f , amb el mateix valor propi. ii) f (v 1 ) = f (v 3 + v 5 ). iii) f (v 1 ) − 3 v 2 = 3v 1 − f (v 2 ). iv) Nuc (f − 4 I) = [v 4 ]. v) f (v 1 ) + f (v 2 ) + f (v 3 ) + f (v 4 ) = f (v 5 ).
1) Estudieu si f diagonalitza i, en cas afirmatiu trobeu una base de R^5 formada per vectors propis de
f i la matriu de f en aquesta base.
- Calculeu la matriu de f en la base v.
Resoluci´o.
- f (v 1 + v 2 ) = 3(v 1 + v 2 ), f (v 1 + v 4 ) = 3(v 1 + v 4 ), f (v 4 ) = 4(v 4 ), f (v 1 − v 3 − v 5 ) = 0, f (v 1 + v 2 + v 3 + v 4 − v 5 ) = 0. Com que (v 1 + v 2 , v 1 + v 4 , v 4 , v 1 − v 3 − v 5 , v 1 + v 2 + v 3 + v 4 − v 5 ) ´es base (comprovar-ho) resulta que f diagonalitza i la seva forma diagonal ´es diag (3 3 4 0).
- Mv (f ) =
Examen 20-1-
Test
1. Els zeros del polinomi z^3 − (2λ + 1)z^2 + (λ + 1)^2 z − λ^2 − 1, λ ∈ R, formen un triangle rectangle,
a) si λ = 2. b) si λ = 0, 1. c) si λ = 0, 2. d) per a cap λ. e) per a tot λ.
2. Sigui F = {(x, y, x, t) ∈ R^4 ; x − z = 0, y − t = 0}. Considerem els seg¨uents vectors de R^4 /F , v 1 =
(0, 1 , 0 , 0) + F , v 2 = (0, 1 , 1 , 0) + F , v 3 = (0, 0 , 0 , 1) + F. Aleshores,
a) {v 1 , v 2 } s´on linealment independents per`o no s´on base de R^4 /F.
b) {v 1 , v 2 } no s´on linealment independents.
c) (v 1 , v 2 ) ´es base de R^4 /F i (− 1 , 0) s´on les components de v 3 en aquesta base.
d) (v 1 , v 3 ) ´es base de R^4 /F i (0, −1) s´on les components de v 2 en aquesta base.
e) Cap de les anteriors no ´es certa.
3. Sigui A ∈ M 4 (R) una matriu de rang 2. La dimensi´o del subespai vectorial de M 4 × 3 (R), F = {X ∈
M 4 × 3 (R); AX = 0}, ´es:
a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.
4. Sigui G = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x − 2 y + z = 0} un subespai vectorial de R^3 i E = {f : G −→ G; f lineal amb
tra¸ca f = 0}. La dimensi´o de E ´es:
a) 2. b) 3. c) 4. d) 1. e) 0.
5. Sigui f un endomorfisme de R^4 tal que f (e 1 ) = e 2 , f (e 3 ) = e 4 i f 2 = f (f 2 = f ◦ f ) on (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) ´es
la base ordinaria. Aleshores quina de les afirmacions seg¨uents ´es FALSA: a) f no ´es invertible. b) dim Nuc f = 2. c) ((1, − 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , −1)) ´es base de Nuc f. d) f no esta determinat de forma ´unica. e) (e 2 , e 4 ) ´es base de Im f.
- En dividir el polinomi x^3 n^ + nxn+1^ + 4x − 2 per (x − 1)^2 la resta ´es: a) un polinomi de grau ≥ 2. b) (n^2 + 4n + 4)x − (n^2 + 3n + 1). c) (n + 4)x + n^2 − 5. d) x^3 n−^2 + 2xn+1^ − 4. e) Cap de les anteriors.
- Sigui M =
α γ 0 β
∈ M 2 (R) i considerem l’endomorfisme fM de M 2 (R) definit per fM (X) = M X −
XM , X ∈ M 2 (R). Aleshores:
a) La matriu de fM en la base
´es independent de α i β.
b) Si α 6 = β, Nuc fM = 0. c) fM diagonalitza sempre. d) El polinomi caracter´ıstic de fM ´es (t − α + β)^2 (t − β + α)^2. e) fM diagonalitza excepte si α = β, γ 6 = 0.
8. Siguin f, g ∈ L(Rn, Rm), m > n, i A, B les seves matrius en les bases ordin`aries. Aleshores, si B es pot
obtenir a partir de A fent transformacions elementals de files, a) si rang A = n, g ´es exhaustiva. b) si rang A = n, f + g ´es injectiva.
c) si rang A < n, dim(Rm/Im g) > m − n. d) si rang A = n, dim(Rn/Nuc g) = 1.
e) si rang A < n, g − f ´es bijectiva.
9. Sigui f un endomorfisme de R^3 i F 1 , F 2 subespais vectorials de R^3 de di mensi´o 2. Si F 1 i F 2 s´on
invariants per f i F 1 + F 2 = R^3 , aleshores:
