M`aster en Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa
Matem`atiqus
`
Algebra lineal
Vera Sacrist´an
Departament de Matem`atica Aplicada II
Facultat de Matem`atiques i Estad´ıstica
Universitat Polit`ecnica de Catalunya
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Apuntes básicos Algebra lineal, Apuntes de Álgebra Lineal
Apuntes de un curso de master de Estadística pero válidos para un curso general de algebra lineal
Tipo: Apuntes
2018/2019
1 / 47
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Apuntes básicos Algebra lineal y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
M`aster en Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa
Matem`atiqus
`
Algebra lineal
Vera Sacrist´an
Departament de Matem`atica Aplicada II
Facultat de Matem`atiques i Estad´ıstica
Universitat Polit`ecnica de Catalunya
4 Espais vectorials
4.1 Espai vectorial
Un espai vectorial real ´es qualsevol conjunt dotat de dues operacions (E, +, ·), anom-
enades respectivament suma i producte per escalars, tals que:
La suma, E × E
−→ E, t´e les propietats seg¨uents:
a) Associativa: ∀x, y, z ∈ E x + (y + z) = (x + y) + z.
b) Element neutre: ∃e ∈ E ∀x ∈ E x + e = e + x = x.
c) Element oposat: ∀x ∈ E ∃y ∈ E x + y = y + x = e.
d) Commutativa: ∀x, y ∈ E x + y = y + x.
El producte per escalars, R × E
·
−→ E, t´e les propietats seg¨uents:
a) Distributiva: ∀λ ∈ R ∀x, y ∈ E λ(x + y) = λx + λy.
b) Compatibilitat amb la suma: ∀λ, μ ∈ R ∀x ∈ E (λ + μ)x = λx + μx.
c) Compatibilitat amb el producte: ∀λ, μ ∈ R ∀x ∈ E (λμ)x = λ(μx).
d) Unitat: ∀x ∈ E 1 x = x.
Els elements del conjunt E s’anomenen vectors i es solen escriure
x ,
y ,
z ,
u ,
v ,
w ,... Els elements de R s’anomenen escalars i es solen escriure λ, μ, ν, a, b, c,x, y,
z, ...
Exemples:
a) El conjunt R
n ´es un espai vectorial real, amb les operacions de suma i de
producte per escalars component a component. Els elements de R
n es po-
den interpretar com a vectors (espai de vectors) i tamb´e com a punts (espai
euclidi`a).
b) El conjunt R[x] de tots els polinomis d’una variable amb coeficients reals ´es
un espai vectorial real amb les operacions de suma i de producte per escalars
habituals.
c) El conjunt de tots els punts (x, y) que es troben sobre la recta d’equaci´o 2x −
y = 0 ´es un espai vectorial amb les operacions de suma i de producte per
escalars component a component. En canvi, el conjunt de tots els punts (x, y)
que es troben sobre la recta d’equaci´o 2x − y + 1 = 0 no ho ´es.
d) El conjunt de totes les imatges digitalitzades d’una mida determinada ´es un
espai vectorial amb les operacions de suma i de producte per escalars p´ıxel a
p´ıxel.
4.2 Combinacions lineals
Combinant les dues operacions definides en un espai vectorial, es formen vectors que
s´on combinacions lineals d’altres vectors:
v = λ 1
v 1
- λ 2
v 2 +... + λ k
v k
En el cas anterior, es diu que
v ´es combinaci´o lineal dels vectors
v 1
v 2
v k , o
tamb´e que est`a generat pels vectors
v 1
v 2
v k
4.3 Independ`encia lineal
Es diu que k vectors
v 1
v 2
v k s´on linealment independents quan ´es impossible
expressar-ne un com a combinaci´o lineal dels altres. Formalment,
v 1
v 2
v k s´on
linealment independents si, i nom´es si, es d´ona la propietat seg¨uent:
∀λ 1 , λ 2 ,... , λk λ 1
v 1 + λ 2
v 2 +... + λk
vk =
0 =⇒ λ 1 = λ 2 =... = λk = 0.
4.4 Base d’un espai vectorial
Es diu que n vectors
v 1 ,
v 2 ,... ,
vn formen una base de l’espai E quan s´on linealment
independents i generen tots els vectors de l’espai. Aleshores, tot vector
x ∈ E
s’expressa, de manera ´unica, com a combinaci´o lineal dels vectors de la base.
4.5 Coordenades
Sigui
v 1
v 2
v n una base de l’espai E, i sigui
x un vector qualsevol d’E. Con-
siderem la seva ´unica expressi´o com a combinaci´o dels vectors de la base:
x = x 1
v 1 + x 2
v 2 +... + xn
vn.
Els escalars x 1 , x 2 ,... , x n s’anomenen coordenades del vector
x en la base donada,
i s’escriu
x = (x 1 , x 2 ,... , x n
4.6 Dimensi´o
Un espai vectorial pot tenir moltes bases diferents, per`o totes les bases d’un mateix
espai vectorial tenen el mateix nombre de vectors. Aquest nombre s’anomena di-
mensi´o de l’espai vectorial.
Una base d’un espai vectorial es pot pensar tamb´e com un conjunt maximal de
vectors linealment independents, o tamb´e com un conjunt minimal de vectors gen-
eradors.
Exemples:
4.8 Aplicaci´o lineal
Una aplicaci´o lineal entre dos espais vectorials E i F ´es una aplicaci´o E
f
−→ F que
respecta les operacions suma i producte per escalars dels dos espais.
Es a dir, f ´es
una aplicaci´o lineal si, i nom´es si, es satisfan les dues condicions seg¨uents:
a) ∀x, y ∈ E f (x + y) = f (x) + f (y).
b) ∀λ ∈ R ∀x ∈ E f (λx) = λf (x).
Aix`o tamb´e es pot expressar amb l’´unica condici´o seg¨uent:
∀λ, μ ∈ R ∀x, y ∈ E f (λx + μy) = λf (x) + μf (y).
En conseq¨u`encia, les aplicacions lineals transformen vectors linealment dependents
en vectors linealment dependents.
Una aplicaci´o lineal queda totalment determinada si es coneixen les imatges dels
vectors d’una base de l’espai de sortida. Concretament, si
e 1
e 2
e n ´es una base
d’un espai vectorial E, i f : E −→ F ´es una aplicaci´o lineal de la qual es coneixen
les imatges f (
e 1 ), f (
e 2 ),... , f (
en ) dels vectors de la base, aleshores la imatge f (
x )
de qualsevol altre vector
x ∈ E ´es immediata d’obtenir a partir de l’expressi´o del
vector
x com a combinaci´o dels vectors de la base,
x = x 1
e 1 + x 2
e 2 +... + xn
en
ja que, per la linealitat de f , es t´e f (
x ) = f (x 1
e 1
- x 2
e 2 +... + x n
e n ) = x 1 f (
e 1
x 2 f (
e 2 ) +... + x n f (
e n
Cal observar que res no garanteix que els vectors f (
e 1 ), f (
e 2 ),... , f (
e n ) siguin li-
nealment independents. De fet, ´es una q¨uesti´o molt freq¨uentment estudiada la de la
dimensi´o de l’espai f (E), ´es a dir, la del nombre m`axim de vectors linealment inde-
pendents d’entre els f (
e i ). Aquesta dimensi´o tamb´e s’anomena rang de l’aplicaci´o
lineal f.
Una mica de terminologia sobre aplicacions lineals:
a) Les aplicacions lineals injectives tamb´e s’anomenen monomorfismes.
b) Les aplicacions lineals exhaustives tamb´e s’anomenen epimorfismes.
c) Les aplicacions lineals bijectives tamb´e s’anomenen isomorfismes.
d) Quan existeix un isomorfisme entre dos espais vectorials, es diu que aquests
s´on isomorfs.
e) Quan E = F , l’aplicaci´o lineal tamb´e s’anomena endomorfisme.
f) Els endomorfismes bijectius tamb´e s’anomenen automorfismes.
Exemples:
a) L’aplicaci´o f : R
3 −→ R
2 tal que f (x, y, z) = (x, y), ∀(x, y, z) ∈ R
3 ´es lineal i
s’anomena projecci´o. Es tracta d’un epimorfisme.
b) L’aplicaci´o f : R
2 −→ R
2 tal que f (x, y) = (2x, 2 y), ∀(x, y) ∈ R
2 ´es lineal i
s’anomena homot`ecia de ra´o 2. Es tracta d’un automorfisme.
4.9 Exercicis
Exercici 4.1. Expresseu en cada cas, si ´es possible, el vector
v com combinaci´o
lineal dels vectors
v i
a)
v = (
v 1
v 2
6 , 2) a R
2 .
b)
v = (2, 4),
v 1
v 2 = (2, −6) a R
2 .
c)
v = (2, − 1 , 3),
v 1
v 2
v 3 = (0, 1 , 1) a R
3 .
Exercici 4.2. Comproveu que els vectors (− 1 , 3 , −1), (3, − 1 , 1) i (4, − 4 , 2) s´on
linealment dependents a R
3 i expresseu el tercer en funci´o dels dos primers.
Exercici 4.3. Donats els vectors (1, − 4 , 6), (1, 4 , 4) i (0, − 4 , x) de l’espai R
3 ,
determineu x per tal que siguin independents.
Exercici 4.4. Demostreu que A i B s´on el mateix subespai de R
3 :
A =< (1, 0 , −1), (0, − 2 , 1) >
B =< (1, − 2 , 0), (2, − 2 , −1) >
Exercici 4.5. Trobeu el valor de k per tal que els vectors (1, 2 , k), (4, 1 , k) i (0, 2 , 2)
generin tot l’espai R
3 .
Exercici 4.6. Es considera un espai vectorial E amb base {
e 1 ,
e 2 ,
e 3 }. Demostreu
que els vectors
e 1
e 2
e 2
e 3 i
e 3
e 1 tamb´e formen una base d’E.
Exercici 4.7. Determineu quines d’aquestes aplicacions de R
3 a R
3 s´on lineals:
a) f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 2 , x 1 , x 3
b) g(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + 1, x 2 + 2, 0)
c) h(x, y, z) = (0, x + y, 0)
d) k(x, y, z) = (xy, z, x)
Exercici 4.8. Siguin f : R
2 −→ R
3 , tal que f (a, b) = (a, a + b, b), i g : R
3 −→ R
2 ,
tal que g(a, b, c) = (a + b, c).
a) Demostreu que f i g s´on lineals.
b) Estudieu f i g.
c) Com s´on f ◦ g i g ◦ f?
DIUMENGE Carn Peix Vegetari`a
Residents 55 19 44
No residents 43 12 38
Si la persona responsable del menjador vol estudiar els men´us que serveix el cap de
setmana, sols ha de representar les dades de dissabte i de diumenge matricialment,
i sumar les dues matrius:
Ds + Dm =
Propietats de la suma de matrius:
a) La suma ´es una operaci´o interna a M m×n
(R).
b)
Es associativa: (A + B) + C = A + (B + C).
c)
Es commutativa: A + B = B + A.
d) T´e element neutre: 0 = (0), la matriu que t´e tots els seus coeficients iguals a
zero.
e) Cada matriu t´e una matriu oposada: Si A = (a
j
i
), aleshores −A = (−a
j
i
En resum, (M m×n (R), +) ´es un grup abeli`a.
5.3 Producte d’una matriu per un escalar
Si A = (a
j
i
) ´es una matriu de M m×n (R) i λ ´es un nombre real, aleshores
λA = (c
j
i
) ∈ Mm×n(R), amb c
j
i
= λa
j
i
∀i, j.
Exemple: Continuant amb el cas del menjador, si es vol tenir una aproximaci´o al
nombre de dinars servits els quatre dissabtes d’un mes determinat, no hi ha m´es que
multiplicar la matriu Ds per 4:
4 Ds = 4
Propietats del producte de matrius per escalars:
a) El resultat de multiplicar una matriu per un escalar ´es una matriu de les
mateixes dimensions que la inicial.
b) λ(A + B) = λA + λB.
c) (λ + μ)A = λA + μA.
d) (λμ)A = λ(μA).
e) 1A = A.
En resum, (M m×n (R), +, ·) ´es un espai vectorial real.
5.4 Producte d’una matriu per un vector
Si A = (a
j
i
) ∈ Mm×n(R) i b = (bj ) ∈ Mn× 1 (R), aleshores la matriu A i el vector b es
poden multiplicar, i el resultat ´es el vector
Ab = (c i
) ∈ M
m× 1 (R), amb c i
n ∑
j=
a
j
i
b j ∀i = 1,... , m.
Exemple: Un taxista del Vall`es Occidental es dedica a fer recorreguts entre Terrassa
i Sabadell i tamb´e dins cadascuna de les dues ciutats. Ha comprovat que, quan es
troba a Terrassa, la probabilitat que el servei seg¨uent sigui dins la mateixa ciutat
´es 0.2, mentre que la probabilitat que sigui a Sabadell ´es 0.8. Aix´ı mateix, ha
comprovat que quan es troba a Sabadell, la probabilitat que el servei seg¨uent sigui
dins Sabadell ´es 0.6, mentre que la probabilitat que el dugui a Terrassa ´es 0.4.
Representem aquestes probabilitats mitjan¸cant una matriu:
M =
D’aquesta manera, les columnes recullen les dades segons les ciutats de sortida, i les
files les recullen segons les ciutats d’arribada.
Si coneixem les probabilitats p t i p s que en un determinat moment el taxi es trobi a
Terrassa o a Sabadell respectivament (en el nostre senzill model, p s = 1−p t ), podem
coneixer amb quina probabilitat es trobara a cadascuna de les dues ciutats al cap
d’un servei: la probabilitat que sigui a Terrassa ´es 0. 2 p t
- 4 p s i la probabilitat que
sigui a Sabadell ´es 0. 8 p t
- 6 p s
. Observeu que l’operaci´o que hem dut a terme ´es,
en realitat, el producte de la matriu M pel vector columna (p t , p s ). Per exemple, si
la probabilitat de ser a cadascuna de les dues ciutats, en un determinat moment, ´es
0 .5, al cap d’un servei ´es
5.5 Producte de matrius
Si A = (a
j
i
) ∈ M
m×n (R) i B = (b
j
i
) ∈ M
n×p (R), aleshores les matrius A i B es poden
multiplicar, i
AB = (c
j
i
) ∈ M
m×p (R), amb c
j
i
n ∑
k=
a
k
i
b
j
k
∀i = 1... m, j = 1... p.
- El producte de matrius no ´es commutatiu: en general, AB 6 = BA, tot i que,
en certs casos, es pot donar la igualtat.
- No tota matriu ´es invertible: Si A = (a
j
i
), aleshores no sempre existeix A
− 1
tal que AA
− 1 = A
− 1 A = I.
A m´es,
e) El producte de matrius ´es compatible amb el producte per escalars: (λA)B =
λ(AB) = A(λB).
Matriu inversa. Sabem que no tota matriu ´es invertible. Tanmateix, podem
preguntar-nos en quins casos una matriu quadrada A ∈ Mn(R) t´e inversa, ´es a dir,
en quins casos existeix una matriu A
− 1 ∈ M n (R) tal que AA
− 1 = A
− 1 A = I n
En general, si A ∈ Mm×n(R), ens podem preguntar en quins casos existeixen matrius
B ∈ M
n×m (R) i C ∈ M m×n (R) tals que BA = I n i AC = I m
Per respondre a aquestes preguntes cal esperar una mica, fins que h`agim estudiat
com calcular el rang i el determinant d’una matriu.
5.6 Transposici´o de matrius
Si A = (a
j
i
) ∈ M
m×n (R), aleshores la seva transposada ´es la matriu
A
T = (c
j
i
) ∈ M
n×m (R), amb c
j
i
= a
i
j
∀i, j.
Propietats de la transposici´o de matrius:
a) El resultat de transposar una matriu ´es una matriu amb les dimensions inter-
canviades respecte de la inicial.
b) (A + B)
T = A
T
- B
T .
c) (λA)
T = λA
T .
d) (A
T )
T = A.
e) (AB)
T = B
T A
T (atenci´o: s’inverteix l’ordre).
f) Si A ´es invertible, aleshores A
T tamb´e ho ´es i (A
T )
− 1 = (A
− 1 )
T .
5.7 Altres operacions amb matrius
Moltes altres operacions s´on possibles amb matrius, per`o la seva aplicabilitat ´es molt
m´es redu¨ıda i per aixo no ´es freq¨uent el seu estudi. Farem referencia aqu´ı de passada
al producte de Hadamard de dues matrius: Si A = (a
j
i
), B = (b
j
i
) ∈ M
m×n (R) el seu
producte de Hadamard ´es
A · B = (c
j
i
) ∈ Mm×n(R), amb c
j
i
= a
j
i
b
j
i
∀i, j = 1... n.
Exemple: Considereu de nou la matriu M de probabilitats del taxista del Vall`es.
Suposem que els preus mitjans dels serveis s´on els seg¨uents, expressats en EUR: dins
Terrassa 6, de Terrassa a Sabadell o viceversa 15, dins Sabadell 7. Es pot obtenir la
matriu dels cobraments esperats mitjan¸cant el producte de Hadamard seg¨uent:
5.8 Exercicis
Exercici 5.9. Escriviu les matrius seg¨uents:
a) A = (a
j
i
), on a
j
i
= i + j per i = 1, 2 , 3 i j = 1, 2.
b) B = (b
t
k
), on b
t
k
= k
t− 1 per k = 1,... , 4 i t = 1,... , 3.
c) C = (c
s
r
), on c
s
r
= 3r + 2(s − 1) per r = 1,... , 4 i s = 1,... , 5.
d) D = (d
j
i
), on d
j
i
= δij =
1 si i = j
0 si i 6 = j
per i, j = 1,... , n.
Exercici 5.10. Confirmeu les igualtats seg¨uents:
a)
b) Si A =
1
3
, aleshores A
2 = A.
c) Si B =
1 √
6
1 √
3
1 √
2
2 √
6
1 √
3
1 √
6
1 √
3
1 √
2
, aleshores BB
T = B
T B = Id.
d) Si C =
, aleshores C
2 ´es la matriu nul
la.
e)
1
9
´es la matriu identitat.
Exercici 5.20. Una xarxa de comunicacions t´e 5 nodes que es comuniquen de
forma directa de la manera seg¨uent: 1 pot enviar missatges a 2 i a 3, 2 pot enviar
missatges a 3 i a 4, 3 pot enviar missatges a 5, 4 pot enviar missatges a 5, 5 pot
enviar missatges a 3.
Representeu aquesta situaci´o amb una matriu C de bits, on 1 indica la possibilitat
de comunicaci´o i 0 la impossibilitat.
Calculeu i interpreteu els resultats dels productes C
2 , C
3 i C + C
2
- C
3 .
Exercici 5.21. Reprenent la matriu M del taxista del Vall`es, calculeu i interpreteu
el resultat del producte M
2 pel vector (0. 5 , 0 .5).
Exercici 5.22. Suposeu que les probabilitats que els votants de tres partits
pol´ıtics mantinguin o canvi¨ın la seva intenci´o de vot al llarg d’un any es representa
mitjan¸cant la seg¨uent matriu:
P =
Els 1000 votants d’un poble estan dividits en les seves opinions pol´ıtiques, de manera
que 600 recolzen el primer partit, 300 el segon i 100 el tercer.
a) Calculeu les tend`encies pol´ıtiques dels 1000 votants al cap d’un any.
b) El mateix, al cap de 2, 3 i 4 anys.
c) Observeu que els elements de cada columna de P sumen 1. Comproveu que
aquesta propietat d’una matriu A ∈ M n (R) es pot expressar dient que 1 n
A =
n , on 1 n ´es la matriu de M n (R) que t´e tots els coeficients iguals a 1.
d) Demostreu que tots els elements de cada columna de P
k tamb´e sumen 1, per
a qualsevol k ∈ N.
6 Les aplicacions m´es cl`assiques
6.1 Expressi´o matricial d’una aplicaci´o lineal
Hem vist que tota aplicaci´o lineal est`a determinada per les imatges dels vectors
d’una base de l’espai de sortida. Vegem ara com aix`o permet expressar l’aplicaci´o
en termes matricials.
Donada una aplicaci´o lineal f : E −→ F , sigui {e 1 , e 2 ,... , e n } una base de l’espai
vectorial E, i {v 1 , v 2 ,... , v m } una base de l’espai vectorial F.
Suposem conegudes les imatges dels vectors de la base d’E: f (e 1 ), f (e 2 ),... , f (e n
´es a dir, suposem que es coneixen les seves coordenades en la base {v j
j=1...m de
l’espai F :
f (e 1 ) = (a
1
1
, a
1
2
,... , a
1
m
f (e 2 ) = (a
2
1
, a
2
2
,... , a
2
m
f (e n ) = (a
n
1
, a
n
2
,... , a
n
m
Aleshores la imatge f (x) de qualsevol altre vector x = (x 1 , x 2 ,... , x n ) ∈ E es calcula
com el producte de la matriu A = (a
j
i
) = (f (e 1 ), f (e 2 ),... , f (e n )) pel vector columna
x = (x 1 , x 2 ,... , xn):
f (x) = f (x 1 , x 2 ,... , x n ) = f
n ∑
i=
x i
e i
n ∑
i=
x i f (
e i
n ∑
i=
x i
m ∑
j=
a
i
j
v j
m ∑
j=
n ∑
i=
a
i
j
x i
v j
n ∑
i=
a
i
1
x i
n ∑
i=
a
i
m
x i
a
1
1
a
2
1
· · · a
n
1
a
1
2
a
2
2
· · · a
n
2
. . .
a
1
m
a
2
m
· · · a
n
m
x 1
x 2
x n
= Ax.
Exemples:
a) La projecci´o f : R
3 −→ R
2 tal que f (x, y, z) = (x, y) es pot expressar matri-
cialment aix´ı:
f
x
y
z
x
y
z
x
y
b) L’homot`ecia f : R
2 −→ R
2 tal que f (x, y) = (2x, 2 y) es pot expressar matri-
cialment aix´ı:
f
x
y
x
y
2 x
2 y
Observeu que la composici´o d’aplicacions correspon al producte de matrius. M´es
concretament, si E
f
−→ F i F
g
−→ G s´on dues aplicacions lineals que s’expressen
matricialment com f (x) = Ax i g(y) = By, aleshores l’aplicaci´o lineal E
g◦f
−→ G
s’expressa matricialment com (g ◦ f )(x) = BAx.
Sigui f una aplicaci´o lineal que s’expressa matricialment com f (x) = Ax. Si f ´es
un isomorfisme, aleshores A ´es invertible i f
− 1 (x) = A
− 1 x.
matrius:
f : R
2 → R
2
(x, y) 7 → (3x, 3 y)
g : R
4 → R
4
(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 7 → (x 1 , x 2
h : R
4 → R
2
(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 7 → (x 1 , x 2
Exercici 6.24. Sigui f un endomorfisme de R
4 que en la base can`onica t´e la
matriu (^)
a) Vegeu si f ´es isomorfisme.
b) Calculeu la matriu de f
− 1 en la base can`onica.
c) Calculeu la antiimatge per f del vector (1, 2 , − 1 , 0).
Exercici 6.25. Sigui f un endomorfisme d’un espai E que t´e una base formada
pels vectors e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , de manera que f (e 1 ) = e 1
- 2e 3 , f (e 2 ) = e 2
- e 3 , f (e 3
2 e 1 + e 2 + e 3 , f (e 4 ) = 2e 1 + 2e 2 + 4e 3. Escriviu la matriu de f en aquesta base.
Exercici 6.26. Un problema t´ıpic de transport ´es el de la distribuci´o de pro-
ductes des dels centres de producci´o fins als de distribuci´o o venda. Suposeu que
dues f`abriques amb 10 i 25 unitats d’un producte han de fer el subministrament a
tres centres comercials que en necessiten 15, 15 i 5 unitats, respectivament. Si xij
representa el nombre d’unitats que el centre de producci´o i subministra al centre de
venda j, les quantitats de producte disponible a cada fabrica satisfa les equacions
x 11
- x 12
- x 13 = 10 i x 21
- x 22
- x 23
i els requeriments dels centres comercials s’expressen amb les equacions
x 11
- x 21 = 15 i x 12
- x 22 = 15 i x 13
- x 23
Escriviu les equacions anteriors en la forma matricial Ax = b, tot determinant la
matriu A.
Exercici 6.27. Una fabrica utilitza tres maquines diferents, A, B i C, durant 8
hores al dia, per manufacturar 4 productes diferents, t, u, v i w. La taula seg¨uent
recull el nombre d’hores que requereix la fabricaci´o de cada producte a cada m`aquina:
t u v w
A 1 2 1 2
B 7 0 2 0
C 1 0 0 4
Trobeu les equacions que expressen la plena utilitzaci´o de les m`aquines, en termes
del nombre d’unitats de cada producte produ¨ıdes en les 8 hores di`aries de funciona-
ment.
7 Expressi´o matricial dels canvis de base
7.1 Expressi´o d’un vector en bases diferents
Siguin {
e 1
e n } i {
e 1
′ ,... ,
e n
′ } dues bases d’un mateix espai vectorial E. Qual-
sevol vector
v ∈ E t´e unes coordenades (x 1 ,... , xn) en la base {
ei }i=1...n i unes
coordenades (x
′
1
,... , x
′
n
) en la base {
e i
′ } i=1...n
. Volem con`eixer la relaci´o entre les
coordenades (x 1 ,... , xn) i les coordenades (x
′
1
,... , x
′
n
) de
v.
Comencem expressant els vectors de la base {
e i
′ } com a combinaci´o lineal de la
base {
ei }:
ej
′ = (a
j
1
, a
j
2
,... , a
j
n
), es a dir,
ej
′
n ∑
i=
a
j
i
ei j = 1, 2 ,... , n.
Aleshores, podem escriure el vector
x de les dues maneres seg¨uents:
n ∑
i=
x i
e i
x =
n ∑
j=
x
′
j
e j
′
n ∑
j=
x
′
j
n ∑
i=
a
j
i
e i
n ∑
i=
n ∑
j=
a
j
i
x
′
j
e i
d’on es dedueix que
x i
n ∑
j=
a
j
i
x
′
j
i = 1,... , n;
´es a dir que
x = A
x
′ , on A = (a
j
i
e 1
′ ,... ,
en
′ ).
Observeu que aquesta f´ormula es pot veure com l’expressi´o de l’aplicaci´o lineal iden-
titat de l’espai vectorial E en ell mateix, quan la base de sortida ´es {
e i
′ } i la base
d’arribada ´es {
e i
Aix´ı doncs, en particular, la matriu d’un canvi de base sempre ´es invertible, ja que
es tracta de la matriu de la funci´o identitat, que ´es bijectiva.
Exemples: Ja hem vist que a R
3 , els conjunts seg¨uents de vectors formen bases:
a) e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0), e 3 = (0, 0 , 1),
b) u 1 = (1, 0 , 0), u 2 = (1, 1 , 0), u 3
c) v 1 = (1, 1 , 1), v 2 = (1, − 1 , 0), v 3
i que les coordenades del vector w = (1, 2 , 3) en aquestes bases s´on, respectivament:
a) en la base e 1 , e 2 , e 3 , les coordenades de w s´on we = (1, 2 , 3),