Universidad de Salamanca Departamento de MATEM ´
ATICAS
Plaza de la Merced 1–4
37008–SALAMANCA
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ALGEBRA LINEAL II. 10GRADO EN MATEM´
ATICAS MODELO A 03/04/2011
Nombre y apellidos:
1. Sea Eun espacio vectorial y Tun endomorfismo que no diagonaliza con polinomio caracter´ıstico CT(x) =
x(x−2)2(x+ 1). S´olo una de las siguientes afirmaciones es falsa:
a) dim Im T= 3.
b)dim Im(T+Id)≤3.
c) Tno es isomorfismo.
d)Existen dos vectores linealmente independientes e, e0∈Etales que T(e) = 2e,T(e0) = 2e0.
2. Sea T2un producto escalar eucl´ıdeo en R3. Respecto distintas bases la matriz de T2puede ser cualquiera
de las siguientes, excepto una:
a)
1 0 0
0 2 1
0 1 1
b)
1 0 0
0 7 0
0 0 14
c)
7 0 0
0 7 0
0 0 7
d)
6 7 0
7 8 0
0 0 14
3. Sea Tun endomorfismo con matriz asociada respecto una base
1 3 −1
3 3 −3
−1 3 1
decidir qu´e afirmaci´on
es falsa
a) (4,3,5) es un vector propio de T.
b) Uno de los valores propios es 0.
c) Hay un ´unico vector propio de valor propio 3.
d) Los tres valores propios son distintos.
4. Sean TyT0dos endomorfismos distintos de un espacio vectorial. S´olo una de las siguientes afirmaciones
es falsa:
a) Si ees un vector propio para TyT0, entonces ees un vector propio para T◦T0.
b) Si ees un vector propio con valor propio λpara TyT0, entonces ees un vector propio para T+T0.
c) Si λes un valor propio para TyT0, entonces λ2es un valor propio para T◦T0.
d) Si λes un valor propio con vector propio epara TyT0, entonces 2λes valor propio para T+T0.
5. Sea (E3, T2) un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on 3 y ¯
Eun subespacio definido por 2x−2y+z= 0 respecto
una base ortonormal. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?
a) ¯
E⊥=<(1,2,2) >.
b) ¯
E◦=<(1,2,2) >.
c) ¯
E⊥⊇<(2,1,2) >.
d) ¯
E◦⊇<(2,−2,1) >.
6. Sea E0un subespacio vectorial que respecto de cierta base est´a generado por los vectores (2,1,−1,0),(1,1,1,1).
S´olo una de las respuestas es falsa.
a) Las ecuaciones impl´ıcitas de E0son 3x−5y+z+t= 0, x−y+z−t= 0.
b) Las ecuaciones param´etricas de E0son x= 3α−β,y= 2α−β,z=−β,t=α−β.
c) La subvariedad af´ın de ecuaci´on x−2y+t=−1 es paralela a E0.
d) Las ecuaciones impl´ıcitas de E0son 2x+y−z= 0, x +y+z+t= 0.
7. Sea {e1, e2, e3}una base de Ey{ω1, ω2, ω3}su base dual. Sea Tun endomorfismo sobre EeIm T
el subespacio determinado por 2x−2z= 0. Si T∗es el morfismo traspuesto a T, una base de K er T ∗
est´a formada por:
a) ω1−ω3.
b) ω1−ω3y otra forma lineal linealmente independiente.
c) Una o m´as formas lineales entre las que est´a ω2.
d) 2ω1−2ω3yω1−ω2.
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