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Algebra´
Grados Ingenier´ıa Industrial
Bolet´ın B´asico 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
- Determinar cu´ales de los siguientes sistemas son compatibles:
(a)
2 x + y + 3z + 5t = 1 4 x + 4z + 8t = 0 x + y + 2z + 3t = 0 y + z + t = 0
(b)
x − y + z = 1 x − y − z = 2 x + y − z = 3 x + y + z = 2
(c)
x + 2y − z + 2t = 4 2 x + 7y + z + t = 14 3 x + 8y − z + 4t = 17
(d)
x − y + z = 1 x − y − z = 2 x + y − z = 3 x + y + z = 4
- Consideremos un sistema de ecuaciones lineal y homog´eneo de la forma Ax = 0, donde A es una matriz con n filas y m columnas. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es siempre cierta? a) Si n = m el sistema no tiene soluci´on. b) Si n = m el sistema tiene una ´unica soluci´on. c) Si n > m el sistema tiene infinitas soluciones. d) Si n < m el sistema tiene infinitas soluciones.
- Determinar la soluci´on general de los sistemas homog´eneos siguientes:
(a)
2 x + y + z = 0 4 x + 2y + z = 0 6 x + 3y + z = 0 8 x + 4y + z = 0
(b)
2 x + y + z = 0 4 x + 2y + z = 0 6 x + 3y + z = 0 8 x + 5y + z = 0
(c)
x + 2y + z + 2t = 0 2 x + 4y + z + 3t = 0 3 x + 6y + z + 4t = 0
(d)
2 x + 2y + 2z = 0 2 x + 5y + 7z = 0 3 x + 6y + 6z = 0
- Resolver los siguientes sistemas mediante el m´etodo de Gauss:
(a)
2 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 − x 2 + x 3 = 0 3 x 1 − x 2 + 2x 3 = 2
(b)
2 x 1 − x 2 + 3x 3 = 9 3 x 1 − 5 x 2 + x 3 = − 4 4 x 1 − 7 x 2 + x 3 = 5
(c)
3 x 1 + x 2 − x 3 + 2x 4 − 7 = 0 2 x 1 − 2 x 2 + 5x 3 − 7 x 4 − 1 = 0 − 4 x 1 − 4 x 2 + 7x 3 − 11 x 4 + 13 = 0
(d)
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 − x 4 = 5 x 1 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 + 2x 2 = 0
- Estudiar seg´un los valores de a, b ∈ R la compatibilidad del siguiente sistema y re- solverlo cuando sea posible:
ax + y − z + t = 1 3 x + 4y + z + 2t = 2 x + y + z + t = 0 4 x + 3y + 2z + t = b
- Discutir y resolver en los casos en que sea posible el siguiente sistema de ecuaciones lineales homog´eneo seg´un los distintos valores de a ∈ R
(a + 1)x + (a + 2)z = 0 (a + 1)y + (a + 2)t = 0 ax + (a − 1)z = 0 ay + (a − 1)t = 0.
- Discutir y resolver el siguiente sistema seg´un los valores de los par´ametros a y b
ax + y = −b 2 x + y = 0 6 x + ay = 2 b
- Discutir el siguiente sistema seg´un los valores de a y b:
x + y + z = 3 3 x − 3 y + 4z = 7 2 x − ay + 3z = 4 5 x − (a + b)y + 7z = 8 + b
