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Elementos de Probabilidad y Estad´ıstica Bolet´ın de ejercicios^1
Estad´ıstica descriptiva de una variable
- Se registra la altura de un grupo de 68 personas. De ellas 45 son mujeres y se sabe que su altura media es de 165.2 cent´ımetros mientras que la altura media de los hombres es de 177.7. ¿Cu´al es la altura media del grupo? Soluci´on: 169.
- La altura media de diez personas reunidas en una habitaci´on es de 1 metro y 70 cent´ımetros. Una persona de 1 metro y 90 cent´ımetros entre en la habitaci´on. Calcula la altura media de las 11 personas. Soluci´on:
- La siguiente tabla contiene la informaci´on recogida sobre la altura en cent´ımetros, X, de los alumnos de primer curso del grado de matem´aticas
X ni (150,160] 7 (160,170] 18 (170,180] 11 (180,190] 5
a) Aproxima a partir de estos datos la media de X. Soluci´on: 168. b) Se dice que una persona es alta si es m´as alta que el 90 % de las personas. ¿A partir de que altura consideramos que una persona es alta? Soluci´on: 181. c) Aproxima el porcentaje de personas que est´an por debajo de 165 cent´ımetros. ¿Y por debajo de 167. cent´ımetros? Soluci´on: 39 % y 50 %, respectivamente.
- S´olo uno de los tres siguientes conjuntos de medidas descriptivas de unos datos puede ser cierto, razona cu´al
a) Mediana=5, Media= 3.5, Cuantil(0.25)= 3, Cuantil(0.75)= 5.5, M´ın= 2, M´ax= 6 b) Mediana=5, Media= 5, Cuantil(0.25)= 3, Cuantil(0.75)= 4.5, M´ın= 2, M´ax= 6 c) Mediana= 5, Media= 4, Cuantil(0.25)= 3, Cuantil(0.75)= 5.5, M´ın= 2, M´ax= 5.
Soluci´on: La a)
- Seg´un el INE, la edad de la madre en los nacimientos del 2008 se distribuye seg´un la siguiente tabla:
Edad % 10 − 20 2. 20 − 25 10. 25 − 30 22. 30 − 35 38. 35 − 40 22. 40 − 50 4.
a) Calcula con estos datos la edad media y la mediana. Soluci´on: 31. b) Al 10 % de las mujeres con m´as edad se les va a hacer un seguimiento especial. ¿A partir de qu´e edad se les har´a este seguimiento? Soluci´on: 38. (^1) Bolet´ın basado en un documento original del profesor Alberto Rodr´ıguez Casal
- Construye, si es posible, un conjunto de cinco datos donde la media sea mayor que la mediana. Soluci´on: Construir un ejemplo es f´acil, especialmente si recordamos que la media se ve afectada por la presencia de datos at´ıpicos mientras que la mediana no. Un ejemplo ser´ıa 1, 2 , 3 , 4 , 10000.
- Sea X una variable que toma los valores {x 1 ,... , xn}. Prueba que para cualquier a, b ∈ R se tiene que
y = b + ax,
donde Y es la variable b + aX, esto es, toma los valores {b + ax 1 ,... , b + axn}.
- Se realiza un estudio para valorar el efecto del alcohol sobre los niveles de colesterol en suero. Una variable de inter´es es la cantidad, X, (en onzas) de alcohol consumido por semana y sujeto. Los datos de 913 sujetos que participan en el estudio vienen dados por la siguiente tabla:
X Frecuencia absoluta (0, 0 .5] 201 (0. 5 , 3 .5] 372 (3. 5 , 9 .5] 260 (9. 5 , 19 .5] 80
Calcula:
a) Media, mediana y moda de X. Soluci´on: 3.99, 2.56 y el primer intervalo, respectivamente b) Porcentaje de personas que consume m´as de dos onzas de alcohol por semana. Soluci´on: 57 % c) Dibuja un histograma de estos datos. Soluci´on (Hecho en pr´acticas) d ) Consideramos que una persona abusa del alcohol si se encuentra en el grupo del 5 % que m´as consume. ¿A partir de que consumo semanal una persona abusa del alcohol? Soluci´on: 13.
- El siguiente histograma resume la informaci´on recogida sobre el peso en kilogramos de un grupo de estu- diantes de primer curso. Las barras verticales representan la densidad de frecuencia relativa, hi.
Histograma de Peso (kg)
Peso
Densidad de frecuencia
40.0 45.0 50.0 55.0 60.0 65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0 95.
a) Calcula a partir de estos datos la media y los tres cuartiles de la variable peso. Soluci´on: 64.9, 56.07, 62.93 y 73, respectivamente. b) Se dice que una persona es delgada si su peso es inferior al del 90 % de las personas. ¿Cu´al es el peso m´aximo de una persona considerada delgada? Soluci´on: 52.
f ) Si cambias el signo de cada dato de un conjunto, entonces cambia el signo de la media. g) Si cambias el signo de cada dato, entonces cambia el signo de la desviaci´on t´ıpica.
- ¿Cu´al de los siguientes datos tiene mayor desviaci´on t´ıpica? Comprueba tu razonamiento mediante el c´alculo de la desviaci´on t´ıpica de ambos conjuntos:
(i) 9, 9, 10, 10, 10,12, (ii) 7, 8, 10, 11, 11, 13
Soluci´on: La desviaci´on t´ıpica del primer conjunto es 1 mientras que la del segundo es 2.
- Un conjunto est´a formado por 10 n´umeros. Cada n´umero es el 1, el 2 o bien el 3.
a) La media es 2 y la desviaci´on t´ıpica es 2. ¿C´omo es el conjunto exactamente? Soluci´on: No es posible construir ese conjunto. b) La desviaci´on t´ıpica es 1. ¿C´omo es el conjunto exactamente? Soluci´on: 5 valores est´an en uno y los otros cinco en 3. c) ¿Puede ser la desviaci´on t´ıpica mayor que uno? Justifica la respuesta. Soluci´on: Tampoco es posible.
- A continuaci´on aparecen representados los histogramas y diagramas de cajas de tres conjuntos de datos distintos. Empareja cada histograma con el diagrama de cajas que le corresponde.
(a)
Frecuencia
−2 −1 0 1 2
0
40
80
120
(b)
Frecuencia
−2 −1 0 1 2
0
50
150
250
(c)
Frecuencia
−2 −1 0 1 2
0
100
200
300
400
−
0
1
2
(1)
lll
lll lllll
l l
l ll
lll llll
lll ll
−
−
0
1
(2)
−
−
0
1
2
(3)
Soluci´on: a-3, b-1, c-2.
- Supongamos que tenemos un conjunto de 10 observaciones y que cada observaci´on es un 1, un 2 o un 3. ¿Cu´al deber´ıa ser la composici´on del conjunto para que la media fuese 1? ¿Y para que fuese 3? ¿Podr´ıa ser 4 en alg´un caso? Justifica la respuesta.
- Una profesora est´a haciendo a sus alumnos un examen que tiene una calificaci´on m´axima de 20 puntos. Su sistema de puntuaci´on es tal que las notas deben ser necesariamente m´ultiplos de 5. Al final, una vez corregidos los ex´amenes, obtiene la siguiente distribuci´on de notas:
Nota fi 5 0. 1 10 0. 2 15 0. 3 20 0. 4
a) Sup´on que hay 10 alumnos en la clase. ¿Puedes calcular la media y la desviaci´on t´ıpica de la notas?
b) Sup´on que hay 20 alumnos en la clase. ¿Puedes calcular la media y la desviaci´on t´ıpica de las notas? c) Sup´on que no sabes cu´antos alumnos hay en la clase. ¿Puedes calcular la media y la desviaci´on t´ıpica de las notas? Soluci´on: La media vale 15.
