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Si f(x,y) es una función de dos variables con condominio en los reales, ¿Qué condiciones debe
satisfacer la función para ser integrada sobre una región de su dominio?
Una función real
f
de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de numeros reales
(x, y), un único número real
f
(x, y). El dominio de
f
, Dom
f
es el subconjunto de
R2
en el cual está
definida la función; es decir que el dominio de una función de dos variables se representa como una
región del plano. El dominio natural de una función
f
de dos variables es el conjunto de todos los
puntos del plano para los cuales
f
(x, y) es un número real bien definido. La imagen de
f
es el
subconjunto de R formado por los valores que toma la función
f
.
En general, para (x, y) ∈ Dom
f
se escribirá z =
f
(x, y), donde queda explícitamente definido que z
es el valor que toma
f
para el par ordenado (x, y). Las variables x e y son llamadas variables
independientes y z es la variable dependiente.
EJEMPLO : Describir el dominio y la imagen de
f
(
x , y
)
=x
x2+y❑2
Si es posible, evaluar
f
(−1/2, 0),
f
1, 0) y
f
(1, 1). Observamos que la expresión
x
x2+y❑2
esta bien definida siempre que el denominador
x2+y2≠0
, lo que implica que no pueden anularse simultáneamente ambas variables. Por lo tanto el
dominio natural es el conjunto Dom (f) = {(x, y) : (x, y) 6= (0, 0)} = R 2 − {(0, 0)}. Por otro lado, la
imagen de f está formada por los valores z =
x
x2+y❑2
para todo (x, y) 6= (0, 0). Observamos entonces
que z puede adoptar cualquier valor real, por lo cual Im (f) = R. Como (−1/2, 0), (1, 0) y (1, 1)
pertenecen al dominio de f, podemos evaluar f en estos puntos:
Podemos concluir que hay continuidad dentro la función no hay saldos o datos errados donde
muestre un saldo entre los puntos datos.
No existe un acotamiento ya que las expresiones dadas nunca se dirigen a un resultado infinito.
Tiene una derivada por lo cual se puede ejecutar de manera directa, lo que indica que tiene un
sentido lógico y por lo tanto bien definido la región y el dominio.
Cuando se tiene una función de varias variables y se quiere hacer una integración múltiple sobre una
región del dominio de la función ¿importa el orden de las variables en que la función se esté
integrando?
Para resolver esta pregunta es necesario hablar sobre el teorema de fubini
