ETSII Grado en Tecnolog´ıas Industriales Departamento de Matem´atica Aplicada
TEMA 1: ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES
1. (ABRIL 2008) Consideremos el espacio vectorial V= (Rn,+,·). ¿En qu´e caso Ues un
subespacio vectorial de V? (seleccione la respuesta correcta):
(a) U={(x1, x2, . . . , xn)∈Rn:∑n
i=1 ixi= 0}.
(b) U={(x1, x2, . . . , xn)∈Rn:xi>0,∀i}.
(c) U={(x1, x2, . . . , xn)∈Rn:max(xi)≤1,∀i}.
(d) U={(x1, x2, . . . , xn)∈Rn:∑n
i=1 ixi= 1}.
2. (ABRIL 2008) En R3se definen los subespacios vectoriales U=⟨(1,1,1)⟩yW={(x, y, z)∈
R3:x+y+z= 0}.
(a) Calcule la matriz de una aplicaci´on lineal f:R3→R3, tal que Ker(f) = UeIm(f) =
W.
(b) Halle una base de R3/ker(f).
(c) Determine la matriz de la aplicaci´on g:R3/ker(f)→R3tal que g(x+ker(f)) := f(x),
con respecto a la base anterior y la can´onica de R3.
3. (SEPTIEMBRE 2008) Sea fun endomorfismo de un espacio vectorial Vsobre un cuerpo de
caracter´ıstica distinta de dos que verifica f◦f=IV, donde IVes la identidad en V.
(a) Pruebe que fes un automorfismo.
(b) Se definen los conjuntos:
U:= {x∈V:f(x) = x}yW:= {x∈V:f(x) = −x}
Pruebe que son subespacios vectoriales de V.
(c) Demuestre que V=U⊕W
4. (SEPTIEMBRE 2009) Sea V=R4[t] el espacio vectorial de los polinomios reales de grado
menor o igual que 4 en la indeterminada t. Considere el conjunto C={t4,(t−1)2t(t+ 1),(t−
1)t2(t+ 1),(t−1)t(t+ 1)2}.
(a) Encuentre un subconjunto B⊂Cque sea una base de ⟨C⟩.
(b) Determine las coordenadas de los polinomios de Ccon respecto a la base obtenida.
(c) Extienda Ba una base de V.
5. (SEPTIEMBRE 2010) Considere el espacio vectorial R2[t] con la base usual B={1, t, t2}.
(a) Demuestre que el conjunto C={t+ 1,t −1, t2+ 2t}es una base de R2[t].
(b) Determine Qinversible de modo que ξB[u] = ξC[u]Q.
(c) Demuestre que es lineal la aplicaci´on T:R2[t]→R2[t] dada por T(p(t)) := tp′(t) + p(t).
Calcule la matriz de Ten la base B. ¿Es inyectiva? ¿y sobreyectiva?
6. (ENERO 2011) Se considera el endomorfismo f en R3dado por f(x, y, z) = (x+z , −x+y+
αz, y −z).
(a) Determine la matriz de fen la base B={(1,0,1),(0,1,0),(0,0,−1)}.
(b) Calcule el valor de αpara el cu´al, dim(Ker(f)) = 1.
(c) Para dicho valor de α, calcule una base del n´uucleo y otra de la imagen de f.
(d) ¿Para qu´e valores de αes fun isomorfismo?
7. (SEPTIEMBRE 2011) Sea {u, v , w}un conjunto linealmente independiente en un espacio
vectorial V(K), con K=R´o C. Se definen los vectores x=αu + (1−α)v,y=αv +(1−α)w,
z=αw + (1 −α)u. Analice la independencia lineal del conjunto {x, y, z}.
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