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Álgebra Lineal Escenario 4 - Reconociendo estructuras algebraicas fundamentales
Tipo: Resúmenes
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Espacios vectoriales,subespacios, dependencia lineal.
Hasta el momento se han presentado algunos conjuntos con objetos del ´algebra lineal y sobre ellos se han definido operaciones binarias como la adici´on, el producto punto y la multiplicaci´on por escalar, entre otras. Sin embargo, como se evidenci´o en el anterior escenario hay dos operaciones m´ınimas y b´asicas (la adici´on y la multiplicaci´on por escalar) que con sus propiedades constituyen una estructura algebraica, que posibilita la representaci´on de informaci´on en contextos de la vida real. Es por esto que en esta unidad se revisar´a con profundidad el tema y para ello se abordar´an interrogantes como:
Estos interrogantes se responder´an a lo largo de la lectura y para ello se deben tener presentes tres aspectos importantes en el proceso:
a) El lector debe volverse h´abil en los procedimientos que se expondr´an.
b) En la lectura se ver´a un cambio significativo en cuanto al lenguaje, puesto que ya no se trabajar´an casos concretos sino que se har´a una generalizaci´on de ellos a trav´es de un lenguaje puramente matem´atico.
c) El lector debe comenzar a apropiarse de los objetos presentados para buscar su aplicabilidad en la vida cotidiana de forma aut´onoma.
Antes de identificar si un conjunto de objetos posee o no la estructura algebraica b´asica y fundamental para ser aplicado en la representaci´on de informaci´on, es necesario reconocer muy bien al conjunto, la condici´on que deben cumplir sus elementos y la forma de expresarlo matem´aticamente. Observe el siguiente ejemplo.
Considere el caso de la empresa XM W, por la cual desea organizar los resultados de las pruebas que presentaron sus empleados en las sucursales que posee, en los pa´ıses donde tiene una sede, con la condici´on de que solo se considerar´ıan aquellas que tuvieran m´as de 50 empleados, si se sabe que la clasificaci´on de la prueba se hizo por
i Identificar los elementos: en este caso son parejas ordenadas en el plano cartesiano, dichas parejas son de la forma (x,y), recuerde este concepto.
Figura 1: Definici´on y representaci´on gr´afica de pareja ordenada. Fuente:Elaboraci´on propia
ii Comprender la condici´on del conjunto: para este caso se afirma que cada pareja debe cumplir que y = mx, por lo que las parejas se podr´ıan reescribir como (x,mx); se puede apoyar con una representaci´on gr´afica a partir de algunos ejemplos, obs´ervelos pero tenga presente que en el conjunto hay tantos como valores de m se puedan definir y como ´este es un valor real, seg´un lo que indica el conjunto, habr´a infinitas parejas que cumplan la condici´on.
Figura 2: Representaci´on de la condici´on y = mx para m = − 1 , m = 12 , m = 2. Fuente:Elaboraci´on propia
iii Extraer algunos ejemplos generales: esto consiste en no usar por ning´un motivo valores num´ericos, la idea es que siempre sea general y represente cualquier posibilidad dentro del conjunto. (x, m 1 x): esta pareja representa un elemento del conjunto para el cual se tiene un valor de m particular que se denota con el sub´ındice 1 e indica un primer caso. (x, m 2 x): esta pareja representa otro elemento del conjunto para el cual el valor de m es diferente a la pareja anterior y por ello se usa el sub´ındice 2.
(x, m 3 x): del mismo modo que en la pareja anterior, esta pareja es otro elemento diferente al expuesto con los sub´ındices 1 y 2, por lo que se usa el 3 para indicarlo.
Ejemplo 2. Sea V el conjunto de funciones continuas f de valores reales definidas en el intervalo [0, 1] con f (0) = 0 y f (1) = 0. Reconozca el conjunto.
i Identificar los elementos: son funciones continuas en el intervalo [0, 1].
ii Comprender la condici´on del conjunto: para este caso se afirma que cada funci´on debe cumplir la condici´on que la imagen de 0 y 1 deben ser iguales a cero (f (0) = 0 y f (1) = 0, respectivamente); esto significa que son todas las funciones en las que al reemplazar la variable independiente por 0 y 1 y operar, de como resultado cero. Por ejemplo, todas las funciones de la forma f (x) = ax(bx − b) con a, b reales pertenecen al conjunto V , lo que indica que habr´an infinitas funciones que cumplan la condici´on.
iii Extraer algunos ejemplos generales: dado que el prop´osito en este paso es no usar por ning´un motivo valores num´ericos, una manera de nombrar en general cualquier diferentes funciones es con letras min´uscualas haciendo referencia a la condici´on del conjunto, por ejemplo, g(0) = g(1) = 0, h(0) = h(1) = 1.
Para mejorar...
En la secci´on de refuerzo encontrar´a el recurso “Reconociendo conjuntos” el cual contiene otros ejemplos de caracterizaci´on de conjuntos y as´ı podr´a poner en pr´actica esta habilidad.
Ahora que se tiene una idea de c´omo identificar conjuntos y su importancia, se tienen bases para analizar la estructura algebraica de estos bajo las operaciones de adici´on y multiplicaci´on escalar junto con los axiomas que hacen que estos conjuntos se vuelvan un espacio vectorial aplicable a diversas situaciones de la vida real.
En el momento en el que se abordaron las operaciones de suma y multiplicaci´on por escalar se hizo referencia a propiedades de las operaciones, algunas de ellas fueron:
donde u, v, w pueden ser una matriz, una n-upla, una funci´on, un polinimio, entre otros y las constantes son n´umeros reales. N´otese que en estas propiedades hay dos tipos de conjuntos: uno, un conjunto de objetos que se suelen denominar ”vectores” y otro, el conjunto de los de los n´umeros reales. La operaci´on de suma se define sobre el conjunto de vectores y el de la multiplicaci´on por un escalar entre el conjunto de vectores y el conjunto de los n´umeros reales. Las operaciones de suma y multiplicaci´on definidas entre dichos conjuntos junto con ciertas propiedades, determinan una estructura de espacio vectorial.
Recuerde que para sumar dos polinomios se debe sumar los coeficientes de los t´erminos semejantes, por lo cual, se obtendr´a como resultado otro polinomio de grado n. Es decir, la suma cumple la propiedad de la cerradura.
Qn + Rn = bnxn^ + bn− 1 xn−^1 +... + b 1 x + b 0 + cnxn^ + cn− 1 xn−^1 +... + c 1 x + c 0 = (bn + cn)xn^ + (bn− 1 + cn− 1 )xn−^1 +... + (b 1 + c 1 )x + (b 0 + b 0 )
Qn + Rn = Rn + Qn (bn + cn)xn^ + (bn− 1 + cn− 1 )xn−^1 +... + (b 0 + c 0 ) = (cn + bn)xn^ + (cn− 1 + bn− 1 )xn−^1 +... + (c 0 + b 0 )
Teniendo en cuenta que los coeficientes de los polinomios son n´umeros reales y que sobre estos est´a definida la propiedad conmutativa, se concluye que:
(bn + cn)xn^ + (bn− 1 + cn− 1 )xn−^1 +... + (b 0 + c 0 ) = (bn + cn)xn^ + (bn− 1 + cn− 1 )xn−^1 +... + (b 0 + c 0 ) Qn + Rn = Rn + Qn
[(an + bn) + cn]xn^ + [(an− 1 + bn− 1 ) + cn− 1 ]xn−^1 +... + [(a 0 + b 0 ) + c 0 ] Teniendo en cuenta que en los n´umeros reales se cumple la propiedad asociativa, se aplica esta propiedad a los coeficientes de la suma de los polinomios para obtener lo siguiente: [(an + bn) + cn]xn^ + [(an− 1 + bn− 1 ) + cn− 1 ]xn−^1 +... + [(a 0 + b 0 ) + c 0 ] = [an + (bn + cn)]xn^ + [an− 1 + (bn− 1 + cn− 1 )]xn−^1 +... + [a 0 + (b 0 + c 0 )]
Al resolver dichas ecuaciones se obtiene que bn = 0, bn− 1 = 0,.. ., b 0 = 0; por tanto el polinomio cero es Qn = 0 = 0xn^ + 0xn−^1 +... + 0
(jk)Pn = j(kPn) (jk)anxn^ + (jk)an− 1 xn−^1 +... + (jk)a 1 x + (jk)a 0 = j(kan)xn^ + j(kan− 1 )xn−^1 +... + j(ka 1 )x + j(ka 0 )
Teniendo en cuenta que la multiplicaci´on entre escalares en R es asociativa, se concluye que la igualdad anterior se cumple.
N´otese que para probar los axiomas de espacio vectorial se uso en varias ocasiones las propiedades definidas en los n´umeros reales. Por tanto, es importante tenerlas presentes pues aqu´ı son una herramienta fundamental.
Sab´ıas que...
El vector cero no siempre es un objeto cuyos elementos son todos cero, por tanto, el elemento inverso tampoco es el usual −u?. En el recurso que hay luego de esta lectura econtrar´a un ejemplo de un espacio vectorial con estas particularidades.
Ejemplo 5. Espacio vectorial de las matrices Mm×n.
El conjunto de matrices con las operaciones de suma y multiplicaci´on por un escalar definidos en la lectura fundamental del escenario 1 satisfacen los axiomas de espacio vectorial.
Ejemplo 6. Un conjunto que no constituye un espacio vectorial.
Sea S el conjunto de puntos en R^3 que est´an sobre la recta x = t + 1, y = 2t, z = t − 1 (Grossman, 2008, p.298). A continuaci´on se muestra los axiomas que no cumple este conjunto. Aunque se describen los axiomas que no se cumplen, con s´olo probar que un axioma no se cumple, se concluye que no es un espacio vectorial.
(a, b, c) + (p, q, r) = (a + p, b + q, c + r) a + p = t 3 + 1 b + q = 2t 3 c + r = t 3 − 1
Definici´on 4.2. Sea S un subconjunto no vac´ıo de un espacio vectorial V. S es un subespacio vectorial si satisface los siguientes axiomas:
a) S es cerrado bajo la suma de vectores. Es decir, para todo u, v ∈ S se cumple que (u + v) ∈ S
b) S es cerrado bajo la multiplicaci´on por un escalar. Esto es: sea k ∈ R, para todo u ∈ S se cumple que ku ∈ S
A continuaci´on se presentan algunos ejemplos.
Ejemplo 7. Sea V el espacio vectorial de las matrices M 2 × 2 y H un subconjunto de V determinado por
H =
a 1 + a 0 0
(Tomado de Grossman, 2008, p. 304)
Antes de proceder a verificar si se satisfacen los axiomas de subespacio, es pertinente caracterizar el conjunto H. Los elementos de este conjunto son matrices de tama˜no 2 × 2 en las que los elementos de la segunda fila son todos cero y el elemento a 12 (1 + a) es el elemento de la posici´on a 11 (a) aumentado en uno. Por tanto, se debe probar si al sumar dos matrices cualesquiera de H se obtiene como resultado una matriz con las mismas caracter´ısticas. Observe:
Sea u =
a 1 + a 0 0
y v =
b 1 + b 0 0
u + v =
a 1 + a 0 0
b 1 + b 0 0
a + b 1 + a + 1 + b 0 0
a + b a + b + 2 0 0
Ahora se debe verificar si la matriz resultante cumple con las caracter´ısticas de las matrices del conjunto H: los elementos de la segunda fila de la matriz resultante son todos cero, pero el elemento de la posici´on a 21 (a + b + 2) no es igual al elemento de la posici´on a 11 (a + b) aumentado en 1. Por tanto, se conluye que el subconjunto H no es un subespacio.
Ejemplo 8. Sea V el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el intervalo [0, 1] y Hun subconjunto tal que H = {f ∈ V : f (0) = f (1) = 0} (Grossman, 2008, p.304)
El subconjunto H es el conjunto que se caracteriz´o en el ejemplo 2; es decir el conjunto de funciones continuas en [0, 1] tales que f (0) = f (1) = 0. Ahora se procede a comprobar los dos axiomas de cerradura para determinar si es un subespacio vectorial:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f + g)(0) = f (0) + g(0) = 0 + 0 = 0 (f + g)(1) = f (1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (f + g)(0) = (f + g)(1) = 0
Por tanto, se concluye que la funci´on suma f + g cumple las caracter´ısticas de los elementos de H; es decir, se cumple la cerradura bajo la suma.
(kf )(x) = k[f (x)] k[f (0)] = k(0) = 0 k[f (1)] = k(0) = 0
Por lo cual se concluye que k[f (0)] = k[f (1)] = 0. Es decir la funci´on que se obtiene al realizar la multiplicaci´on por un escalar pertenece al conjunto H. Como se satisfacen los dos axiomas, se puede afirmar que H es un subespacio vectorial.
C´omo mejorar...
En la lectura complementaria 1 encontrar´a m´as ejemplos de subespacios vectoriales. ¡Rev´ıselos!.
En la lectura del escenario anterior se estableci´o que todo vector es posible expresarlo mediante una combinaci´on lineal de vectores que pertencen al mismo conjunto. Esto es u = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... anvn, donde a 1 , a 2 ,... , an son escalares y v 1 , v 2 ,... , vn son elementos de un espacio vectorial.
No obstante, en ocasiones no siempre un conjunto de vectores genera todos los elementos de un espacio vectorial. Al conjunto de vectores de un espacio vectorial que genera todos los elementos de dicho espacio, a partir de una combinaci´on lineal, se le denomina conjunto generador. Algunos ejemplos son los siguientes:
Ejemplo 9. En el espacio vectorial M 22 ,
el conjunto de matrices (^) {( 1 0 0 0
generan a M 22 =
a b c d
, pues es posible escribirlas como la siguiente combinaci´on lineal. ( a b c d
= a
En el caso anterior, el espacio y subespacio vectorial est´a definido, pero en ocasiones se da un conjunto de elementos y se debe determinar qu´e subespacio vectorial genera.
siguiente manera:
3 a + 4b 0 a + 3b − c 3 b − 5 c
=^ a
+^ b
+^ c
Por tanto, el conjunto
genera el espacio vectorial M.
En s´ıstensis
En esta secci´on se han empleado dos t´erminos: “genera” y “espacio generado”, por lo que resulta necesario aclarar la diferencia entre ellos. El t´ermino “genera” se usa para indicar que todo vector de un espacio vectorial se puede escribir como una combinaci´on lineal de un conjunto de vectores dado. El t´ermino “espacio generado” hace referencia al conjunto de combinaciones lineales de un conjunto de vectores.
Cabe mencionar que un espacio vectorial puede tener m´as de un conjunto generador. Estos conjuntos generadores son ´utiles para el an´alisis de diversas situaciones, dado que en ocasiones es m´as pr´actico analizar los vectores de dichos conjuntos y luego generalizar los resultados hacia el espacio vectorial. Por tal raz´on, es necesario determinar un conjunto generador que tenga la menor cantidad de elementos, esto depende de las relaciones existentes entre los elementos de dicho conjunto. Dicha caracter´ıstica ser´a estudiada a continuaci´on.
Definici´on 6.1. Dado un subconjunto S = {v 1 , v 2 , v 3 ,... , vn} de un espacio vectorial V, se dice que los vectores de S son linealmente dependientes si existen constantes c 1 , c 2 , c 3 ,... , cn no todos cero tales que
c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 +... + cnvn = 0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes (Grossman, 2008, p.318).
Las siguientes son algunas maneras de interpretar la definici´on anterior:
Sab´ıas que...
En el contexto geom´etrico dos vectores en R^2 son linealmente dependientes cuando son paralelos, dado que uno es multiplo escalar del otro. En la siguiente gr´afica se observa que los dos vectores son paralelos pues tienen la misma direcci´on, adem´as (1. 5 , 2 .5) = 12 (3, 5)
Figura 3: Representaci´on gr´afica de vectores linealmente dependientes en R^2. Fuente:Elaboraci´on propia
Ejemplo 12. Determinar si
2 x, x^3 − 3 , 1 + x − 4 x^3 , x^3 + 18x − 9
son linealmente dependientes.
Para determinar si los vectores dados son linealmente dependientes se debe realizar el siguiente proceso:
c 1 (2x) + c 2 (x^3 − 3) + c 3 (1 + x − 4 x^3 ) + c 4 (x^3 + 18x − 9) = 0 2 c 1 x + c 2 x^3 − 3 c 2 + c 3 + c 3 x − 4 c 3 x^3 + c 4 x^3 + 18c 4 x − 9 c 4 = 0 2 c 1 + c 3 + 18c 4 = 0 c 2 − 4 c 3 + c 4 = 0 − 3 c 2 + c 3 − 9 c 4 = 0
para determinar el valor de α de manera que los vectores dados sean linealmente independientes, sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones. Para ello, se har´a uso del literal a). Esto es:
Calcular el determinante de la matriz
− 1 α 2
, el cual debe ser diferente de 0 para que los vectores sean
linealmente independientes.
∣∣ ∣∣ ∣∣
− 1 α 2
∣∣ =^ α^ −^ 1 Por tanto, los vectores dados son linealmente independientes cuando^ α^ −^1 6 = 0,^ α^6 = 1.
En s´ıntesis...
Para averiguar si un conjunto de vectores son linealmente independientes o dependientes se realiza una combi- naci´on lineal igualada al elemento neutro para la suma del espacio vectorial al cual pertenecen. Luego, realice lo siguiente:
Como habr´a observado en esta lectura, reconocer un conjunto, la condici´on que se establece entre sus elementos y la forma de expresarlo matem´aticamente, constituye una habilidad esecial para determinar si dicho conjunto con las operaciones de suma y multiplicaci´on escalar definidos en ellos posee la estructura de espacio vectorial. Por otra parte, establecer ciertas relaciones entre los objetos de un espacio o subespacio vectorial permite hacer generalizaciones sobre el conjunto al cual pertenecen; en este sentido, es conveniente trabajar con conjuntos gene- radores cuya cantidad de elementos sea m´ınima y a partir de los cuales es posible caracterizar el espacio vectorial que los genera. En el siguiente escenario se estudiar´a este tipo de conjuntos generadores.
(a, b, c) ∈ R^3 : x, y, z > 0
en el cual se definen las siguientes operaciones suma (⊕) y multiplicaci´on por un escalar ⊗ de la siguiente manera: Sea u = (a, b, c) y (p, q, r) en V , u ⊕ v = (ap, bq, cr) Sea k ∈ R, k ⊗ u = (ka, kb, −kc) Realice lo siguiente:
a) Calcule:
b) Determine si V es un subespacio vectorial.
(a, b, c) ∈ R^3 : a = 2b
(a, b, c) ∈ R^3 : b = a + c
1 a 0 a
es un subespacio vectorial, con la suma y multiplicaci´on por escalar usual.
a) En M 2 × 2 ;
(Grossman, 2008,p.311).
b) En P 3 ;
x^3 + 2x + 1, x^2 − x + 2, x^3 + 2, −x^3 + x^2 − x + 1
a) EnRn^ : (− 3 , 4 , 2), (7, − 1 , 3), (1, 2 , 8) b) En P 3 : −x, x^2 − x, x^3 − x
c) En M 22 :
Referencias
[1] Grossman,S. (2012). Algebra lineal´. (7a. ed.) McGraw-Hill Interamericana. Tomado de http://www.ebooks7- 24.com
