Unidad 4 / Escenario 8
Lectura Fundamental
Aplicando conceptos y procesos del
´algebra lineal
Contenido
1 Palabras claves
2 Introducci´on
3 Aplicando lo aprendido
4 Practico lo aprendido
5 Lista de referencias de figuras
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Álgebra Lineal Escenario 8, Resúmenes de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal Escenario 8 - Aplicando conceptos y procesos del álgebra lineal
Tipo: Resúmenes
2020/2021
1 / 14
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Unidad 4 / Escenario 8
Lectura Fundamental
Aplicando conceptos y procesos del
´algebra lineal
Contenido
1 Palabras claves
2 Introducci´on
3 Aplicando lo aprendido
4 Practico lo aprendido
5 Lista de referencias de figuras
- Palabras claves
Vectores, Espacios vectoriales, Transformaciones lineales, Valores y vectores propios.
- Introducci´on
A lo largo del m´odulo se han abordado los conceptos b´asicos del ´algebra lineal y dentro del proceso se han expuesto contextos e ideas con el fin de asociar los conocimientos a situaciones de la vida real, e identificar as´ı la forma en que se puede estructurar el pensamiento para alcanzar un nivel de aplicabilidad m´as profundo de los temas. Un elemento importante en todo proceso de aprendizaje consiste en reconocer qu´e se ha aprendido, y esto plantea los siguientes interrogantes:
- ¿Cu´ales conceptos se abordaron y c´omo se aplican en la cotidianidad?
- ¿Qu´e tanto se recuerda del conocimiento visto y c´omo se evidencia si el recuerdo es v´alido?
- ¿Qu´e estrategias se pueden emplear para recuperar lo olvidado?
Responder estos cuestionamientos es el objetivo de esta lectura y para ello se presentar´an tres secciones donde se retomar´an los principales conceptos del m´odulo, a partir de los cuales se dar´an las pautas para mejorar los procesos de aprendizaje que el lector emplea para aprender el ´algebra lineal.
- Aplicando lo aprendido
3.1. Objetos del ´algebra lineal y su uso en la representaci´on de informaci´on
Los objetos b´asicos del ´algebra lineal que se expusieron en este m´odulo correspondieron a matrices, n-´uplas, polinomios y funciones y a partir de situaciones se mostr´o c´omo se pod´ıan emplear para organizar y representar informaci´on de un contexto, una situaci´on o un problema. Para verificar su adecuada apropiaci´on y comprensi´on, a continuaci´on se recordar´an tanto los objetos como su uso.
Contexto 1: Uso de la representaci´on matricial
Los flujos de red son ampliamente utilizados en m´ultiples situaciones de la vida real (redes de internet, redes de trabajo, redes sociales, redes de autopistas con entradas y salidas, redes de circuitos, entre otros) y se fundamentan en el principio de que el flujo total de entrada al sistema de la red debe ser igual al de salida. La figura 1 expone un flujo de red, ¿se podr´ıa representar esta informaci´on de forma que se identifique el comportamiento del flujo bajo el principio establecido? La respuesta es s´ı y se logra por medio de representaciones matriciales como se muestra a continuaci´on:
u: contiene los tiempos requeridos en la fabricaci´on de cada televisor en el maquinado, la constituci´on electr´onica, la puesta a punto y la prueba.
Contexto 3: Uso de polinomios en la representaci´on de informaci´on
El cableado de algunos puentes colgantes tiene forma parab´olica la cual est´a asociada a una expresi´on de tipo polin´omica. En la figura 2 se aprecia la forma del cable de un puente de estos, que de acuerdo con las dimensiones y caracter´ısticas de resistencia y sostenimiento, entre muchas otras, se puede expresar como un polinomio de grado dos de la siguiente forma:
Figura 2. Representaci´on matem´atica puente colgante. Fuente:Dusan Loncar. (2017). Recuperado de https://goo.gl/rjgocy
Una bater´ıa de una cantidad conocida de voltios que est´a conectada a una serie de circuitos en el cual la inductancia y resistencia estan dadas, y tiene una representaci´on por medio de funciones que permite determinar la corriente en cualquier instante y suelen ser de la forma i(t) = E R^0 + ce−^
RL t donde R, L y E son valores conocidos que corresponden a la inductancia, la resistencia y el voltaje impreso sobre el circuito, mientras c es una constante que se determina con unas condiciones dadas sobre el sistema.
Con estas ideas, es deber del lector comenzar a ejercitar su mente para identificar en su entorno personal o laboral c´omo representar informaci´on con objetos del ´algebra lineal, y para ello se recomienda seguir un proceso como el siguiente:
- Identificar las variables que intervienen en el contexto, situaci´on o problema y simbolizarlas.
- Establecer y escribir relaciones entre las variables. En matem´aticas las relaciones son igualdades o desigual- dades.
- Asociar la relaci´on establecida con los objetos del ´algebra lineal y reescribirlos con dicho lenguaje.
A partir de las relaciones establecidas, que ser´an sistemas de ecuaciones lineales, sumas o productos entre n-uplas, polinomios o funciones, se hace necesario recordar los procesos de resoluci´on u operaci´on aprendidos, con el fin de encontrar una soluci´on o un camino de estudio del contexto, situaci´on o problema que se desee abordar. Para afianzar los conocimientos, se recomienda hacer el ejercicio que se expone en esta lectura y que consiste en hacer res´umenes de lo aprendido.
Habiendo identificado el amplio uso que tienen los objetos del ´algebra lineal en la representaci´on de informaci´on en la vida real, el paso a seguir consiste en analizar, como conjunto, a todos los elementos que posean las mismas caracter´ısticas, con el fin de determinar: si con algunos de ellos se pueden generar objetos del mismo tipo o de otro, qu´e acciones (que para el caso de las matem´atica se entiende como qu´e operaciones) se pueden hacer con ellos y c´omo se podr´ıan establecer esos elementos, lo cual concierne a todo lo aprendido en la unidad de espacios vectoriales.
3.2. Espacios vectoriales, sus derivados e importancia en el establecimiento de conjuntos que
representan informaci´on
Al considerar los conjuntos de matrices, n-uplas, polinomios o funciones que representan un contexto, situaci´on o problema, se deben responder interrogantes como:
- ¿Est´a definida la adici´on entre esos objetos?
- ¿Est´a definida la multiplicaci´on escalar con dichos objetos?
Las anteriores son las acciones b´asicas que debe cumplir un conjunto para que tenga sentido su aplicaci´on en la vida real, en caso de no cumplirse esas operaciones no habr´a proceso alguno que se pueda hacer con ellos.
Las operaciones mencionadas son necesarias para definir un espacio vectorial, por lo que cada conjunto que se establezca deber´a cumplir lo siguiente o no podr´a aplicarse a contextos de la vida real.
Sea V un conjunto de objetos llamados vectores y el conjunto de los n´umeros reales junto con las operaciones de adici´on y multiplicaci´on por escalar, V es un espacio vectorial si para todo u,v y w en V y todo k, j ∈ R se satisfacen los axiomas de:
- Cerradura bajo la adici´on.
- Conmutativa sobre la adici´on de vectores.
- Asociativa de la adici´on de vectores.
- Existencia del vector cero como elemento neutro de la adici´on.
- Existencia del vector inverso como elemento anulador de la adici´on.
- Cerradura sobre la multiplicaci´on por un escalar.
- Asociativa en la multiplicaci´on por escalar.
- Distributividad respecto a la adici´on de vectores.
- Distributividad respecto a la adici´on de escalares.
- Existencia del elemento id´entico como elemento neutro de la multiplicaci´on escalar.
Note que el conjunto corresponde a todas las 4-uplas que se pueden construir clasificando los tiempos de producci´on en maquinado, electr´onico, puesta a punto y prueba, para cualquier tipo de art´ıculo. Es importante resaltar que los valores de las componentes est´an en los reales positivos porque el tiempo no puede ser una cantidad negativa.
Si se consideran las otras dos aplicaciones expuestas en la secci´on anterior se tendr´an alternativas similares a las mencionadas, as´ı que como parte del proceso de aprendizaje, el lector debe intentar constituir el tipo de conjunto que se formar´ıa al pensar en todos los polinomios y las funciones asociadas a los temas mencionados, para luego establecer si cumplen las condiciones de espacio vectorial.
Para probar si son espacios vectoriales hay que verificar los axiomas mencionados, esto queda como ejercicio de pr´actica para el lector.
Despu´es de haber identificado si los conjuntos son espacios vectoriales se puede ahondar en el tema buscando conjuntos generadores y bases de ellos, para lo cual se usar´a lo aprendido sobre las bases can´onicas de los espacios vectoriales estudiados en el m´odulo, ya que el proceso de construir una base distinta a las indicadas implica tiempo y conocimientos m´as profundos del ´algebra lineal.
Para el conjunto M 5 × 5 cuyas componentes de la matriz toman los valores −1, 0 y 1, un posible conjunto generador ser´ıa el de todas las matrices tales que una sola de sus componentes vale 1, mientras las dem´as valen 0:
Gen(M 5 × 5 ) =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1
El proceso que sige es determinar si toda matriz del conjunto M 5 × 5 se puede escribir como una combinaci´on lineal de los elementos generadores y si ellos son linealmente independientes para establecerlo como una base de M 5 × 5 .Para esto, se considerar´a la matriz general A ∈ M 5 × 5 , con la condici´on de que cada aij es −1, 0 o 1 con i, j = 1, 2 , 3 , 4 y 5, lo cual se expresa as´ı:
A =
( (^) a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a^3141 aa^3242 aa^3343 aa^3444 aa^3545 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55
y se escribir´a la combinaci´on lineal para resolver el sistema y determinar si se cumple la condici´on de generador. ( (^) a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a^31 a^32 a^33 a^34 a^35 a^4151 aa^4252 aa^4353 aa^4454 aa^4555
= c 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
- c 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
- c 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
- c 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
- ... + c 25
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Es claro que resolver este ejercicio es bastante extenso por lo que se hace necesario usar una herramienta de software que reduzca el tiempo de c´alculo, usando Mathematica, por ejemplo, se pueden obtener las respuestas.
Despu´es de usar un software que apoye el proceso de resoluci´on y en caso de que este arroje resultados coherentes, se dice que los elementos considerados generan la matriz A, por lo que el conjunto de todos ellos ser´a un conjunto generador.
De una forma an´aloga se procede para determinar si los elementos del Gen(M 5 × 5 ) son linealmente independientes y para ello se presentar´a la estructura, pero por el tama˜no y la cantidad de operaciones se hace necesario volver a usar un software para resolver el sistema. Al hacer lo indicado, si el software arroja que la ´unica forma de cumplirse la combinaci´on escrita se tiene cuando los coeficientes ci = 0 con i = 1, 2 , 3 , ..., 25 se dir´a que las matrices del Gen(M 5 × 5 ) son linealmente independientes. A continuaci´on se presenta la estructura que tendr´ıa la combinaci´on
lineal para verificar independencia:
c 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
- c 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
- c 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
- c 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
- ... + c 25
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
En caso de que se cumplan las condiciones dadas se afirmar´a que el conjunto es una base del conjunto M 5 × 5.
De un modo an´alogo se puede proceder para determinar si los conjuntos establecidos para los otros contextos poseen o no un conjunto generador y una base. Esto queda como ejercicio para el lector.
3.3. Transformaciones lineales, valores y vectores propios. Su importancia para determinar el
comportamiento de la respuesta de un sistema
La importancia de las transformaciones lineales radica en la practicidad que tiene usar el supuesto de que su soluci´on es un m´ultiplo del objeto de entrada porque con ´el se puede analizar el comportamiento de la transformaci´on. Sin embargo, antes de identificar si una transformaci´on es o no lineal hay que reconocerla y esto consiste en representarla y escribirla simb´olicamente. Observe c´omo se hace para los contextos presentados en esta lectura.
Contexto 1
Para representar y escribir simb´olicamente la transformaci´on que se observa en el contexto 1 se considera solo la matriz del sistema y el vector de entrada, no se usa el vector resultante porque se va a tratar de identificar cu´al ser´ıa la respuesta de la transformaci´on en cualquier caso. De acuerdo con esto se identifica la transformaci´on como se expone a continuaci´on:
De la representaci´on matricial ( (^) − 1 0 0 0 1 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
T (v) se escribe as´ı:
T : R^5 → M 5 × 1 ↓ ↓
( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 ) →
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
T ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 ) =
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
Contexto 2
Para representar y escribir simb´olicamente la transformaci´on que se observa en el contexto 2 se debe identificar c´omo se calculan los costos en t´erminos del tiempo de producci´on en cada factor. Dado que esta informaci´on no se indica en el enunciado se pueden hacer supuestos; por ejemplo, que se tiene el costo de cada factor y que estos son a, b, c y d cuyos valores son unidades monetarias que pueden ir desde miles hasta millones u otro, seg´un los art´ıculos que se produzcan y el pa´ıs en donde se fabrican, para este caso se van a considerar n´umeros reales
- T (λv) =
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
λf 1 λf 2 λf 3 λf 4 λf 5
- T (λv) =
− 1 λf 1 +0+0+0+λf 5 1 λf 1 +(−1)λf 2 +0+0+ 0+1λf 2 +(−1)λf 3 +0+ 0+0+1λf 3 +(−1)λf 4 + 0+0+0+1λf 4 +(−1)λf 5
=^ λ
− 1 f 1 +0+0+0+f 5 1 f 1 +(−1)f 2 +0+0+ 0+1f 2 +(−1)f 3 +0+ 0+0+1f 3 +(−1)f 4 + 0+0+0+1f 4 +(−1)f 5
=^ λ
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
(^) = λT (v).
- Se concluye que T (λv) = λT (v).
- Se analizar´a si T (u + v) = T (u) + T (v) con u y v vectores de R^5
- T (u + v) =
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
f 6 f 7 f 8 f 9 f 10
- Si se usa la propiedad distributiva de vectores se tiene que
T (u + v) =
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
f 6 f 7 f 8 f 9 f 10
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 6 f 7 f 8 f 9 f 10
= T (u) + T (v) .
- Se concluye que T (u + v) = T (u) + T (v).
Al cumplirse lo anterior, se establece que la transformaci´on dada es lineal y con este hecho se pueden determinar los valores y vectores propios de la misma suponiendo que esta transformaci´on cumple que T (v) = λv. En caso que sea posible establecer soluciones de la transformaci´on diferentes a la trivial (el vector cero) las combinaciones lineales de los vectores propios generar´an la soluci´on general del sistema.
- Se hallar´an los valores propios.
- Operar A − λI.
A − λI =
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
− λ
0 1 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
( (^) λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 λ
− 1 −λ 0 0 0 1 1 − 1 −λ 0 0 0 0 1 − 1 −λ 0 0 0 0 1 − 1 −λ 0 0 0 0 1 − 1 −λ
- Hallar el valor de det(A − λI).
det(A − λI) = −λ^5 − 5 λ^4 − 10 λ^3 − 10 λ^2 − 5 λ = λ(−λ^4 − 5 λ^3 − 10 λ^2 − 10 λ − 5)
Note que aqu´ı se escribi´o el resultado del determinante, si se desea verificar hay que hacer todo el proceso para hallar el determinante de la matriz 5 × 5 presentada en el numeral 1. Tambi´en puede ser de utilidad emplear un software como Wolfram Alpha.
- Averiguar cu´ando el valor del determinante da cero o se anula.
λ(−λ^4 − 5 λ^3 − 10 λ^2 − 10 λ − 5) = 0
Aplicando la ley de los productos nulos y resolviendo cada ecuaci´on se tiene que
λ = 0 o −λ^4 − 5 λ^3 − 10 λ^2 − 10 λ − 5 = 0
Al resolver la ecuaci´on −λ^4 − 5 λ^3 − 10 λ^2 − 10 λ − 5 = 0 los valores obtenidos son imaginarios o complejos y corresponden a: λ ≈ − 1 .80902 + 0. 587785 i, λ ≈ − 1. 80902 − 0. 587785 i, λ ≈ − 0 .690983 + 0. 951057 i y λ ≈ − 0. 690983 − 0. 951057 i. Se sugiere revisar la lectura anterior para recordar el significado de las ra´ıces de un polinomio.
- Se hallan los vectores propios.
Este proceso implica tomar cada valor propio y reemplazarlo en el sistema (A − λI)v = 0, el cual debe resolverse con alguno de los m´etodos aprendidos en la primera unidad del m´odulo. Se presentar´a la estructura para el caso λ = 0 y queda como actividad de refuerzo para el lector hacer al menos uno de los que resultaron complejos. (A − λI)v = 0
− 1 −λ 0 0 0 1 1 − 1 −λ 0 0 0 0 1 − 1 −λ 0 0 0 0 1 − 1 −λ 0 0 0 0 1 − 1 −λ
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
1 − 1 − 0 0 0 0 0 1 − 1 − 0 0 0 0 0 1 − 1 − 0 0 0 0 0 1 − 1 − 0
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
Al resolver el sistema la soluci´on obtenida es
f 1 f 2 f 3 f 4 f 5
(^11) 1 1
- Se concluye seg´un los valores y vectores propios obtenidos.
Dado que la opci´on λ = 0 genera el vector soluci´on
1 1 (^11)
este es el generador de todas las soluciones
reales del sistema. De acuerdo con lo expuesto en la lectura anterior, los valores caracter´ısticos de matrices reales son considerados como las ra´ıces reales de la ecuaci´on caracter´ıstica, por lo que las ra´ıces complejas no se abordan en este m´odulo por competer al campo de los valores caracter´ısticos complejos que requiren de
Figura 3. Representaci´on gr´afica de la estructura de enlaces de una p´agina a otra. Fuente: Elaboraci´on propia.
Referencias
[1] Grossman,S. (2012). Algebra lineal´. (7a. ed.) McGraw-Hill Interamericana. Tomado de http://www.ebooks7- 24.com
- Lista de referencias de figuras
- Nicholson, W.K.(2013).Flujos de red. En Linear algebra with Applications (p.27)7th^ ed. United States of America.
- Dusan Loncar. (2017).Arcilla.[Imagen]. Recuperado de https://goo.gl/rjgocy.